微分法5|導関数と極大値,極小値

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】の続きです.

前回の記事で,関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることによって,関数f(x)の増減が分かるということについて説明しました.

さて,関数f(x)の増減が分かれば,関数f(x)の最大値や最小値も求めることができるようになります.

この記事では,最大値/最小値の候補となる「極値(極大値/極小値)」について説明します.

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微分法4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方

微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質】の続きです.

xy平面上に関数y=f(x)のグラフを描くときの最も素朴な方法は,x=0x=1x=2,……とy=f(x)に代入していき,通る点を確認する方法です.

このように,通る点をxy平面上に書き込むことを「プロット」と言いますが,グラフはプロットした点を確実に通ります.したがって,プロットすることによってグラフの形がどんな風になるのか,だいたい分かります.

しかし,プロットしてグラフを描く方法では,プロットした点の間ではどのようなグラフになっているのかが分からないという欠点もあります.

たとえば,x=0x=1でプロットしてグラフを書いても,厳密に分かっているのはx=0x=1での値だけであって,0<x<1ではグラフがぐにゃぐにゃに曲がっているかもしれません.

このように考えたとき,関数y=f(x)が増加しているのかになっているのか,減少しているのかが分かれば,安心してグラフを描くことができます.

この関数の増減を調べるために,導関数は非常に有効にはたらきます.

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微分法2|導関数の定義と直感的イメージ

微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義】の続きです.

関数y=f(x)x=aでの微分係数は,y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))を通る直線の平均変化率の極限として定義され,f'(a)と表すのでした.

すなわち,式で書けば,

f'(a)=\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h}\bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

で定義されるのでした.

さて,この記事では微分係数から自然に定義される導関数と,導関数の性質について説明します.

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微分法1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義

xy平面上の放物線y=f(x)と直線y=g(x)が接するかどうかといった問題は,判別式Dを用いてD=0となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

このタイプの問題は「放物線」と「直線」が与えられていて,それらが接するかどうかの判定です.

さて,これから解説する「微分」を用いると,「放物線」と「放物線上の点\mrm{A}」が与えられれば,点\mrm{A}での放物線の「接線」を求めることができます.

「微分」は非常に汎用性が高く,放物線だけでなく,そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます.

この記事では,「微分」を図形的な意味から解説します.

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4つの「化学の基本法則」|「原子説」と「分子説」の周辺

18世紀後半ごろから,実験などによって[質量保存の法則],[定比比例の法則],[倍数比例の法則],[気体反応の法則]など,実験によって様々な「化学の基本法則」が発見されてきました.

基本法則というだけあって,これらの法則は今日でも頻繁に用いられ,これらなしで現在の化学を語ることはもはや不可能となっています.

さて,「物質はどこまでも分割できるのか,それ以上分割できない最小粒子からできているのか」といった議論は古来よりなされてきました.

この疑問の答えとして[原子説]や[分子説]が現れました.その契機となったのが,上に挙げたような「化学の基本法則」の発見でした.

この記事では,「化学の基本法則」と[原子説],[分子説]についてまとめます.

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浮力の基本|浮力を正しく理解する

湯船やプールに浸かると体が軽くなりますし,水に木片を入れると木片が水に浮きます.また,ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮きます.
このように,流体(液体や気体)が物体を「浮かせる力」のこと「浮力」と言います.

物体が完全に沈んでいる場合でも,水面に浮かんでいる場合でも,「浮力」がどういうものかを知っていれば,どちらも同じ考え方で「浮力」の大きさを求めることができます.

「浮力」は苦手に思われることも多いですが,考え方さえ分かってしまえば全く難しいものではありません.

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