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ワンポイント数学3|根号(ルート)の基本と二重根号の外し方

根号(ルート)の中身が2乗であれば,根号\ro{\quad}が外れるのはよく知られていますが,そこでよくある間違いがあります.

実数aに対して,\sqrt{a^2}で根号\ro{\quad}を外すとどうなるのか,正しく言えるでしょうか?

\sqrt{a^2}=aは間違いですよ.

また,これが正しく言えなければ,\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません.

この記事で,根号\ro{\quad}の扱いを確実にしてください.

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ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値をきちんと定義から捉えられるようになると,ほとんど計算せず一瞬で答えが分かってしまう問題があります.

例えば,絶対値が絡んだ不等式|x-3|<5や方程式|x-2|+|x-4|=6は絶対値のイメージが分かっていればものの数秒で答えを出すことができます.

しかし,実際に予備校で教えていても,「絶対値は中身が0以上ならそのまま外す,中身が負ならマイナスをかけて外す」と絶対値の[性質]を言うことができる人は多いですが,これは絶対値の定義ではありません.

性質が言えることはそれで素晴らしいことですが,「じゃあ,これが成り立つ理由は?」を聞くと途端に考え込んでしまう人が多いのも事実です.

これは絶対値のイメージが意識できていないのが原因です.

絶対値のイメージをしっかり理解して,自信を持って絶対値を扱えるようにしてください.

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微分法7|方程式の解の個数,不等式の証明

微分の基本6|関数の最大値,最小値】の続きです.

前回の記事までで,増減表を用いて関数の極値や最大値,最小値を求められるようになりました.

これらを利用して,方程式の解の個数を調べたり,不等式の証明をすることができます.

やはり,やることは今までと同じく,導関数を求めて増減表を書きます.

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微分法6|関数の最大値,最小値

微分の基本5|導関数と極大値,極小値】の続きです.

関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることで,関数の増減を調べることができるのでした.そして,関数の増減を調べることができるということは,関数の最大値,最小値を求めることができます.

例えば,前回の記事で説明した極値は,最大値,最小値の候補の1つとなります.

この記事では,f(x)が最大値,最小値をとるようなxについて解説します.

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微分法5|導関数と極大値,極小値

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】の続きです.

前回の記事で,関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることによって,関数f(x)の増減が分かるということについて説明しました.

さて,関数f(x)の増減が分かれば,関数f(x)の最大値や最小値も求めることができるようになります.

この記事では,最大値/最小値の候補となる「極値(極大値/極小値)」について説明します.

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微分法4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方

微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質】の続きです.

xy平面上に関数y=f(x)のグラフを描くときの最も素朴な方法は,x=0x=1x=2,……とy=f(x)に代入していき,通る点を確認する方法です.

このように,通る点をxy平面上に書き込むことを「プロット」と言いますが,グラフはプロットした点を確実に通ります.したがって,プロットすることによってグラフの形がどんな風になるのか,だいたい分かります.

しかし,プロットしてグラフを描く方法では,プロットした点の間ではどのようなグラフになっているのかが分からないという欠点もあります.

たとえば,x=0x=1でプロットしてグラフを書いても,厳密に分かっているのはx=0x=1での値だけであって,0<x<1ではグラフがぐにゃぐにゃに曲がっているかもしれません.

このように考えたとき,関数y=f(x)が増加しているのかになっているのか,減少しているのかが分かれば,安心してグラフを描くことができます.

この関数の増減を調べるために,導関数は非常に有効にはたらきます.

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