運動の基本５｜軸の向きはどう定めるべき？正しい向きは？

前の記事では，等加速度直線運動の具体例として

• 自由落下
• 鉛直投げ下ろし
• 鉛直投げ上げ

を考えました．

その際，真っ先に「『鉛直下向き』を正方向とします．」と書いてきましたが，もし「鉛直上向き」を正方向にとるとどうなるでしょうか？

一般に，物理では座標をおいて考えることはよくあります．

この記事では，

1. 最初に向きを決める理由
2. 向きを変えるとどうなるのか

を説明します．

最初に向きを決める理由

「速度」，「加速度」，「変位」などは

• 大きさ
• 向き

を併せたものなので，「速度」や「変位」はベクトルを用いて表すことができるのでした．

さて，東西南北でも上下左右でも構いませんが，何らかの向きの基準があるからこそ「北向き」や「下向き」などと表現できるのであって，何もないところにポツンと「矢印」を置かれても，「どっちを向いている」と説明することはできません．

このように，速度にしろ変位にしろ，「向き」を表現するためには何らかの基準がなければなりません．

そこで，矢印を置いたところに座標が書かれていれば，矢印の向きを座標で表現できます．

このように，最初に座標を決めておくと「向き」を座標で表現できて便利なわけですね．

向きを変えるとどうなるか

前回の記事の「鉛直投げ上げ」の例をもう一度考えてみましょう．

前回の記事では，この問題を鉛直下向きに軸をとって考えました．

しかし，初めに決める「向き」は「鉛直上向き」だろうが，「鉛直下向き」だろうが構いませんし，なんなら斜めに軸をとっても構いません．

とはいえ，鉛直投げ上げの問題では，物体は鉛直方向にしか運動しませんから，「鉛直上向き」か「鉛直下向き」に軸をとるのが自然でしょう．

「鉛直下向き」で考えた場合

[解答]

「鉛直下向き」を正方向とし，原点を小球Aを離した位置とます．また，

1. 小球Cを投げ上げた地点の高さを$x[\mrm{m}]$
2. 小球Cが地面に到達するまでの時間を$t[\mrm{s}]$

としましょう．

分かっている条件は

• 初速度：$v_{0}=+19.6[\mrm{m/s}]$
• 地面に到達したときの速度：$v=-98[\mrm{m}]$
• 重力加速度：$g=+9.8[\mrm{m/s^2}]$

ですね．

(1)　変位$x$が欲しいので，変位$x$と速度$v$の関係式である$v^2-{v_0}^2=2ax$を使うと，

を得ます．

すなわち，小球Bを投げ下ろした高さは$470.4[\mrm{m}]$です．

(2)　時間$t$が欲しいので，時間$t$と速度$v$の関係式である$v=v_0+at$を使うと，

を得ます．

すなわち，手を離して12秒後に小球Cは地面に到達することが分かります．

「鉛直上向き」で考えた場合

[解答]

「鉛直上向き」を正方向とし，原点を小球Aを離した位置とます．また，

1. 小球Cを投げ上げた地点の高さを$x[\mrm{m}]$
2. 小球Cが地面に到達するまでの時間を$t[\mrm{s}]$

としましょう．

分かっている条件は

• 初速度：$v_{0}=+19.6[\mrm{m/s}]$
• 地面に到達したときの速度：$v=-98[\mrm{m}]$
• 重力加速度：$g=-9.8[\mrm{m/s^2}]$

ですね．先ほどと軸の向きが逆なので，これらの正負がすべて逆になるのがポイントです．

(1)　変位$x$が欲しいので，変位$x$と速度$v$の関係式である$v^2-{v_0}^2=2ax$を使うと，

を得ます．

$x<0$となりましたが，「鉛直上向き」に軸をとっていますから，地面が負の位置になっているのが正しいですね．

すなわち，小球Bを投げ下ろした高さは$470.4[\mrm{m}]$です．

(2)　時間$t$が欲しいので，時間$t$と速度$v$の関係式である$v=v_0+at$を使うと，

を得ます．

すなわち，手を離して12秒後に小球Cは地面に到達することが分かります．

軸を「鉛直下向き」「鉛直上向き」にとってときましたが，同じ答えが求まりましたね！