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運動の基本５｜向きの決め方，向きを変えるとどうなるか

2015/9/13 2019/10/30 運動

【運動の基本4|等加速度直線運動の3つの公式の具体例】の続きです．

前の記事では具体例として「自由落下」，「鉛直投げ下ろし」，「鉛直投げ上げ」を扱いました．そのとき，私は「全て向きは『鉛直下向き』で考える」という断り書きをしました．

この記事では，

なぜ最初に向きを決めるのか
異なる向きで考えるとどうなるのか

について書きます．

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目次

1 最初に向きを決める理由
2 向きを変えるとどうなるか

最初に向きを決める理由

物理において，「速度」とは「速さ」と「向き」を併せた概念でした．つまり，「速度」は矢印で表すことができます．数学的に言えば，「速度」はベクトルです．

「速度の矢印」を表現するためには「向き」を表現しなければなりません．そして，「向き」を表現するためには何らかの基準がなければなりません．

ただ，何もないところにぽんっと「矢印」を置かれても，その「矢印」の向きは表現できません．しかし，ぽんっと「矢印」を置いたところに「座標」が書かれていれば，「矢印」の「向き」を表現できるはずです．

したがって，最初に向きを決めておくと，「速度」の「向き」を表現でき，話を進めるのが楽になるのです．

向きを変えるとどうなるか

最初に「向き」を決める理由は，その最初に決めた「向き」を使って速度などを表現するためでした．

あくまで，速度などを表現するために「向き」を決めるので，初めに決める「向き」は「鉛直上向き」だろうが，「鉛直下向き」だろうが，斜めを向いていようが構いません．

しかし，以下で「鉛直投げ上げ」を例に話を進めますが，初めに決める向きは「鉛直上向き」か「鉛直下向き」とするのが自然でしょう．

もちろん，斜めに向きをとってもなにも間違ってはいないのですが，「斜めに向きをとってしまうと議論が複雑になりそうなので，鉛直方向に向きを定めたい」というわけです．

さて，前回の記事の「鉛直投げ上げ」の例をもう一度考えてみます．

重力加速度は $9.8\mathrm{m/s^2}$ であるとし，空気抵抗は無視する．ある高さから小球Cを初速 $19.6\mathrm{m/s}$ で鉛直上向きに投げ，小球Cを落下させると地面に到達したとき小球Cの速さは $98\mathrm{m/s}$ であることが観測された．このとき，

小球Cを投げ上げた高さを求めよ．
地面に小球Cが到達するのは，投げ上げてから何秒後か求めよ．

「鉛直下向き」で考えた場合

全ての向きを「鉛直下向き」で考える．

[解答]

1．　状況は右の図のようになっています．(当然，小球Cは鉛直線上を運動していますが，分かりやすいように少しずらしています．)

地面の位置 $x$ を求めます．

分かっている条件は時刻0での速さ $19.6\mathrm{m/s}$ と小球Cが地面に到達した時の速さ $98\mathrm{m}$ です．

いま，初速は「鉛直上向き」で初めに決めた「鉛直下向き」と逆ですから， $v_0=-19.6$ ，地面についた時の速度は「鉛直下向き」で初めに決めた「鉛直下向き」と同じですから $v=98$ となります．

さらに，重力加速度の向きは「鉛直下向き」で初めに決めた「鉛直下向き」と同じですから $a=9.8$ です．

よって，公式 $v^2-{v_0}^2=2ax$ より，

$98^2-(-19.6)^2=2\times 9.8\times x \quad \therefore x=470.4$

を得ます．よって，地面の位置は $470.4$ です．もともと，地面が $0\mathrm{m}$ なので，小球Cを投げ上げた高さは $470.4\mathrm{m}$ です．

2．　小球Cが到達する時刻 $t$ を求めます．

分かっている条件は時刻 $v_0=-19.6$ ， $v=98$ なので，公式 $v=v_0+at$ から，

$98=19.6+9.8\times t\quad \therefore t=12$

を得ます．よって，手を離して12秒後に小球Cは地面に到達することが分かります．

「鉛直上向き」で考えた場合

全ての向きを「鉛直上向き」で考える．

[解答]

1．　状況は右の図のようになっています．(上の図と変わったのは，考える向きだけです)

地面の位置 $x$ を求めます．

分かっている条件は時刻0での速さ $19.6\mathrm{m/s}$ と小球Cが地面に到達した時の速さ $98\mathrm{m}$ です．

いま，初速は「鉛直上向き」で初めに決めた「鉛直上向き」と同じですから， $v_0=19.6$ ，地面についた時の速度は「鉛直下向き」で初めに決めた「鉛直上向き」と逆ですから $v=-98$ となります．

さらに，今は重力加速度が「鉛直下向き」なので $a=-9.8$ となることにも注意しなければなりません!

よって，公式 $v^2-{v_0}^2=2ax$ より，

$(-98)^2-19.6^2=2\times (-9.8)\times x \quad \therefore x=-470.4$

を得ます．よって，地面の位置は $-470.4$ です．(いま，考える向きは「鉛直上向き」ですから，地面が負の位置になっているのは図から当たり前ですね!)もともと，地面が $0\mathrm{m}$ なので，小球Cを投げ上げた高さは $470.4\mathrm{m}$ です．

2．　小球Cが到達する時刻 $t$ を求めます．

分かっている条件は時刻 $v_0=19.6$ ， $v=-98$ なので，公式 $v=v_0+at$ から，

$-98=19.6+(-9.8)\times t\quad \therefore t=12$

を得ます．よって，手を離して12秒後に小球Cは地面に到達することが分かります．

まとめ

「鉛直下向き」で考えた場合と，「鉛直上向き」で考えた場合をよく見比べると，「速度」，「位置」，「加速度」が正になったり負になったりしているだけです．

しかし，当然のことながら結局は同じ答えが出てきます．ですから，結論として

初めに決めた「考える向き」の決め方によって「速度」，「位置」，「加速度」が変わるが，どの場合で解いても結果は全て同じである．

といえます．向きを曖昧にして問題を解いてしまうと，プラスマイナスを混同してしまい，誤った答えになることがよくあります．最初に「どの向きで考えるか」ということを明確にしておくことが重要です．