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場合の数9|多項定理とは?実は二項定理と同じ考え方!

前々回の記事では,(a+b)^nの展開公式である[二項定理]について説明しました.

また,前回の記事では具体的なnに対して(a+b)^nの展開を計算できる[パスカルの三角形]について説明しました.

この記事では,二項定理では2項(a+b)^nの展開でしたが,これが3項(a+b+c)^nや4項(a+b+c+d)^nと項が増えたときにどうなるかという公式を[多項定理]といいます.

[二項定理]が場合の数の考え方を使って導出されたのと同様に,[多項定理]も同じく場合の数を用いて導出します.

考え方も[二項定理]とほとんど同じですが,これまでに見てきた場合の数を理解できていなければ難しいでしょう.その意味で,[多項定理]を理解できるのは,これまでのものがある程度理解できている証拠でもあります.

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二項定理

最初に[多項定理]がどのような定理かを説明し,後から考え方を説明します.

多項定理の内容

次の定理を[多項定理]といいます.

[多項定理] k個の実数(複素数)a_1a_2,……,a_kと正の整数nに対して,(a_1+a_2+\dots+a_k)^{n}a_{1}^{n_1}a_{2}^{n_2}\dots a_{k}^{n_k} (n=n_1+n_2+\dots+n_k)の係数は

\dfrac{n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{k}!}

である.

最初に書いたように,[多項定理]は[二項定理]の拡張で,[多項定理]でk=2とすると[二項定理]となります.

実際にk=2の場合の[多項定理]は

(a_1+a_2)^na_{1}^{n_1}a_{2}^{n_2} (n=n_1+n_2)の係数が\dfrac{n!}{n_{1}!n_{2}!}である」

ということになり,\dfrac{n!}{n_{1}!n_{2}!}=\Co{n}{n_1}(=\Co{n}{n_2})なので確かに二項定理になっています.

[二項定理]の場合と同様に,[多項定理]が威力を発揮するのはnが大きいときです.例えば,(a+b+c)^{6}を実際に展開しようとすると,かなり面倒な計算をすることになります.

しかし,[多項定理]から,(a+b+c)^{6}のたとえばa^2b^3cの係数は

\dfrac{6!}{2!3!1!}=60

と分かります.他にもa^2c^4の係数は

\dfrac{6!}{2!0!4!}=15

と分かります.

なお,0!=1であることに注意してください.

[多項定理]は(a_1+a_2+\dots+a_k)^nの展開公式であり,[二項定理]の拡張になっている.

多項定理の考え方

[多項定理]の考え方は[二項定理]の考え方と同じです.

たとえば,k=3n=4の場合を考えてみます.このとき,

(a+b+c)^4=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)

です.ここで,

  1. (\boldsymbol{a}+b+c)(\underline{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)の太字部分をかけるとa^4
  2. (\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(a+\boldsymbol{b}+c)を太字部分をかけるとa^3b
  3. (\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(a+b+\boldsymbol{c})を太字部分をかけるとa^3c
  4. (\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(a+\boldsymbol{b}+c)(\boldsymbol{a}+b+c)を太字部分をかけるとa^2ba
  5. (\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(a+\boldsymbol{b}+c)(a+\boldsymbol{b}+c)を太字部分をかけるとa^2b^2
  6. (\boldsymbol{a}+b+c)(\boldsymbol{a}+b+c)(a+\boldsymbol{b}+c)(a+b+\boldsymbol{c})を太字部分をかけるとa^2bc
  7. ……

と全部で3^4項,つまり81項できることが分かります.

また,このとき掛け合わされているabcの個数はいずれも4ですね.(たとえば,a^4aが4個,a^2bcaが2個とbが1個とcが1個の合わせて4個)

つまり,4つのa+b+cからabcを選ぶことによって,全ての項が表せるわけですね.

ただし,a^2baなどはa^3bに等しくなります.このように,4個の(a+b+c)のうちから3個でaを取り出し,1個でbを取り出し(,0個でcを取り出し)た項は全てa^3bに等しくなります.

したがって,4個の(a+b+c)のうちから「3個でaを取り出し,1個でbを取り出す場合の数」だけa^3bが出てくることになるので,場合の数は3個のaと1個のb(と0個のc)を並べる場合の数に等しく,

\dfrac{4!}{3!1!0!}

となります.

これを全ての項で同様に考えることで,(a+b+c)^4a^{\ell}+b^{m}+c^{n} (\ell+m+n=4)の係数が

\dfrac{n!}{\ell!m!n!}

となることが分かります.

多項定理の証明

「多項定理の考え方」と同様に,[多項定理]を証明することができます.

[多項定理の証明]

(a_1+a_2+\dots+a_k)^nを展開すると,a_1^{n_1}a_2^{n_2}\dots a_k^{n_k} (n_1+n_2+\dots+n_k=n)の項によって表される.

(a_1+a_2+\dots+a_k)^n=\underbrace{(a_1+a_2+\dots+a_k)(a_1+a_2+\dots+a_k)\dots(a_1+a_2+\dots+a_k)}_{n}

である.

a_1^{n_1}a_2^{n_2}\dots a_k^{n_k} (n_1+n_2+\dots+n_k=n)の係数を考える.

(a_1+a_2+\dots+a_k)^nn個のa_1+a_2+\dots+a_kのうちから,a_1を取り出すn_1個を選び,a_2を取り出すn_2個を選び,……,a_{k}を取り出すn_{k}個を選ぶ場合の数だけa_1^{n_1}a_2^{n_2}\dots a_k^{n_k}が出てくることになる.

この場合の数は,n_1個のa_1n_2個のa_2,……,n_{k}個のa_{k}を並べる場合の数に等しい.これは「同じものを含む順列」である.

よって,(a_1+a_2+\dots+a_k)^nを展開すればa_1^{n_1}a_2^{n_2}\dots a_k^{n_k}の係数は\f{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}である.

[証明終]

同じものを含む順列については以下の記事を参考にしてください.

[二項定理]も[多項定理]も,考え方をから重要な展開公式なのでしっかりフォローしてください.

係数\dfrac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}n個のa_1+a_2+\dots+a_kのうち,どのn_1個からa_1を取り出し,どのn_2個からa_2を取り出し,……,どのn_k個からa_kを取り出すかという場合の数を表している.

 

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