この記事では，命題の

• 逆
• 裏
• 対偶

について説明します．これらのうちで重要なものは「対偶」です．

条件 p , q の否定をそれぞれ, で表すとき，命題を命題の対偶といいます．

実は命題の真偽とその対偶の真偽は必ず一致するという性質があります．

この記事では，この対偶の性質について説明し，どのような場合に便利か説明します．

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前回の記事では，条件 p と q に対して，命題の

• 必要条件
• 十分条件

について説明しました．

さて，「 x の条件」は「 x の集合」と対応させて考えることができ，命題の真偽を考える際に集合を使って考えるとスッキリ分かる場合があります．

この記事では

• 「 x の条件」とそれに対応する「 x の集合」
• 命題と集合の関係

を説明します．

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数学では「仮定」が何で，「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です．

これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい，すべてが破綻することもあります．

たとえば，「 p であるとき， q を証明せよ．」という問いで，証明の中で q を使ってしまうという誤りがよくあります．

これは「まだ q が成り立つか分かっていないのに， q が成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです．

この記事では，論理関係の基本として，必要条件，十分条件について詳しく説明します．

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前回の記事の中で

• 和集合
• 共通部分
• 補集合

について説明しました．これらを組み併せた

• 共通部分の補集合
• 和集合の補集合

がどうなるのかを教えてくれる定理として「ド・モルガンの法則」があります．

「ド・モルガンの法則」は補集合を考える際に基本的な定理なので，当たり前に使えるようになっておいてください．

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集合は数学の基礎で，ほとんどの数学の基礎は集合にある大切な概念です．

しかし，高校数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思いますし，大学で専門的に数学をする場合以外でそこまで意識しなくてもそれほど問題はない場合が多いのも事実です．

しかし，高校数学でも「場合の数」や「確率」などの分野で積極的に集合を扱う場面もあるため，集合の扱いには慣れておく必要があります．

この記事では，集合の基礎知識を整理します．

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【背理法1|背理法の仕組みと例】の続きです．

前回の記事では，「背理法」の基本的な考え方を説明しました．「最初に結論が間違っていると決め付けて，それを利用して矛盾を導くことでその決めつけが間違っている」という論法が「背理法」でした．

例えるなら，「相手の嘘を暴くには，相手にその嘘と矛盾することを喋らせれば良い」というわけですね

この記事では，どのようなタイプの証明に「背理法」が有効なのかを説明します．また，その理由も説明します．

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数学の証明には色々な論法が用いられますが，その中でも「背理法」は非常に重要な証明法です．

「背理法」は本質には「命題とその対偶の真偽は一致する」という事実があります．

【参考記事：論理と集合の基本5|「逆，裏，対偶」と対偶の利用】

背理法を用いて証明するものの代表としては，「が無理数である」や「素数は無限に存在する」などが挙げられます．

また，受験数学では有名な「は無理数か．」という京都大学の過去の入試問題も背理法を使って解くことができます．

この記事ではまず「背理法」がどんな論法なのかを説明し，次の記事で「背理法」がどのような証明に対して有効なのかを説明します．

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