「論理と集合」一覧

「もとの命題の真偽」と「その対偶の真偽」は一致します．この性質はとても大切で，もとの命題の証明が面倒であっても，対偶の証明は簡単なことがあります．この記事では，対偶の性質を説明し，証明問題の対偶を使った証明を具体的に考えます．

命題p⇒qが真であるとき，pとqのそれぞれに対応する集合PとQはP⊂Qの関係を満たすことを説明します．これにより，命題の真偽を視覚的に表すことができます．

[必要条件]と[十分条件]は数学を学ぶ上でベースになるもので，この考え方なくして数学はできないといっても過言ではありません．この記事では，「必要性，十分性の判別にはこの方法！」という鉄板の考え方を紹介します．

「共通部分A∩Bの補集合」は(Aの補集合)∪(Bの補集合)に等しく，「和集合A∪Bの補集合」は(Aの補集合)∩(Bの補集合)に等しいです．この定理を「ド・モルガンの法則」のといい，集合の補集合に関して，基本的な定理です．

集合は数学の基礎で，ほとんどの数学の基礎は集合にある大切な概念で，高校数学では「場合の数」や「確率」などの分野で積極的に集合を扱う場面もあります．この記事では，集合の基本的な概念を，具体例とともに説明します．

背理法は「証明したいことを否定するとシンプルになる証明」で威力を発揮します．たとえば，[否定の証明]，[「少なくとも〜」の証明]，[対偶が簡単に示せる証明]がこれにあたります．この記事では，具体的に背理法で証明できる問題を考えます．

背理法は「結論の否定を仮定する」「前提との矛盾を導く」という２つのステップが重要です．「整数aに対し，a^2が偶数ならaも偶数であることを示せ．」「√2が無理数であることの証明」を例にとって実際に背理法の使い方をみます．