論理と集合の基本１｜集合の基礎知識

集合は数学の基礎です．全ての数学の基礎は集合にあるといってよいほど大切な概念です．しかし，高校数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います．

確かに大学で専門的に数学をする場合以外では，そこまで意識しなくても大丈夫な場合が多いのも事実です．しかし，数学を学ぶ上で最低限の集合に関する知識はもっておきたいところです．

とはいえ，高校数学の段階では「場合の数」や「確率」などの分野で集合を扱うことになります．集合の和集合，共通部分，補集合などの扱いには慣れておく必要があります．

集合

集合とは「数学的な対象の集まり」のことをいいます．たとえば，「1以上10以下の整数の集合」や「自然数全部の集合」などがあります．集合はいろいろ考えることができます．

もしかすると，今の説明で

「……あれ？集合の定義って曖昧じゃない？」

と思った人もいるかもしれません．実はその感覚は正しく，厳密に集合を定義するには「公理的集合論」を学ぶ必要があります．

ですから，集合の定義についてはこれ以上は触れませんが，集合とは「数などの数学的なモノの集まり」とざっくり思っていても，殆どの場合で問題は起こらないので大丈夫でしょう．

集合の要素と部分集合

集合を構成している1つ1つの対象を「要素」といいます．「要素」のことは「元(ゲン)」ともいいますが，どちらの言葉を使っても同じです．

が集合が要素であるとき，と書き「はに属する」という．また，がに属さないとき，と書く．

集合の要素が全て集合の要素でもあるとき，と書き「はに含まれる」または「はを含む」という．がに含まれないとき，と書く．

“，“と”，“の使い分けに注意して下さい．，は「集合と要素の関係」を表し，，は「集合と集合の関係」を表します．この違いはハッキリさせておいてください．

また，「集合と集合が等しい」つまりとは「かつであること」をいいます．

ここで注意したいことは，と書くとがすっぽりの中に入っていなければならないと思う人もいますが，それは間違いでのときでもは正しいです．

集合の例と表し方

「集合」は中カッコで表します．たとえば，

は「とととを要素とする集合」ですし，

は「の約数全部の集合」です．また，集合は有限個の要素からなる集合だけではなく，自然数全部の集合

や正の偶数全部の集合

のように無限個の要素からなる集合も考えることができます．

また，集合の表し方として，次のような表し方もします．たとえば，「の約数全部の集合」は

はの約数

とも表します．これはどういう表し方かというと，前の

の部分で，まず「この集合は全部の集合である」と宣言しています．これだけでは意味が分かりませんが，後ろの

はの約数

の部分で，「はの約数である」と宣言しています．併せて，「はの約数であり，この集合は全部の集合である」という意味を持ちます．

たとえば，

は以上の整数

は「は以上の整数であり，この集合は全部の集合である」という意味になります．実際に要素を書き並べると，

ですから，「正の奇数全部の集合」です．また，

は整数

は「は整数であり，この集合は全部の集合である」という意味で，「偶数全部の集合」ということもできます．実際に要素を書き並べると，

となります．

このように，集合は「要素を書き並べて表す」こともできますし，「のように表す」こともできます．前者の「要素を書き並べて表す表し方」を「内包的記法」といい，後者の「の表し方」を「外延的記法」といいます．

「内包的記法」，「外延的記法」という言葉は覚える必要はありません．

内包的記法で書かれていても，外延的記法で書かれていても，どのような集合かが分かるようにはなっておく必要があります．

空集合

ここで，「空集合」という特別な集合を説明しておきます．なお，「空集合」の読み方は「クウシュウゴウ」です．

「要素を1つももたない集合」を「空集合」という．

内包的記号で無理矢理書けばということになります．

空集合は記号でと書きます．ゼロを串刺しにした記号です．空集合としてギリシャ文字の ()を使うこともありますが，私個人としてはの方が好きです．

どちらを用いるかは趣味の問題なので，あまり気にする必要はありません．

また，空集合について重要な点は，「空集合は任意の集合の部分集合とする」ということです．つまり，「集合がどんな集合であっても，とする」のです．

和集合と共通部分

，を集合とします．このとき，，の和集合と共通部分を次のように定義します．

，を集合とする．

「，の少なくとも一方に属する要素全部の集合」を「との和集合」といい，と表す．

また，「，の両方に属する要素全部の集合」を「との共通部分」といい，と表す．

和集合とは外延的記法をもちいて次のように表せます．

または，かつ

ここで注意ですが，日常では「または」は「どちらか一方」という意味で用いることが多いですが，数学では「または」は「少なくとも一方」の意味で用います．

ですから，数学の「または」は両方に含まれていてもOKです．

例1

集合，に対しては，

，

です．

例2

偶数全部の集合は整数，奇数全部の集合は整数に対しては，

は整数，

です．なお，のは整数は「整数全部の集合」ですね．

なんで空集合という概念を考えるのか疑問に思った人もいるかもしれませんが，この例2のように，共通部分の要素が存在しない場合などに，空集合が自然に使えて便利だからです．

補集合

「集合の補集合」とは，簡単には「集合に含まれていない要素全部の集合」のことをいいます．しかし，実はこれだけの説明では不十分です．

補集合を考えるときは，「どの集合の中での話なのか」ということは意識しておかなければなりません．

たとえば，集合を以上以下の整数からなる集合とします．すなわち，です．「このとき，の補集合は?」と聞かれても，全体集合が分からないので，これだけでは答えようがありません．

そこで，たとえば以上以下の整数からなる集合をとし，「このとき，のにおける補集合は?」という質問にはと答えることができます．

もし，以上以下の整数からなる集合をとし，「このとき，のにおける補集合は?」という質問にはと答えることができます．

このように，「どの集合の中での話なのか」が変わると「補集合」も変わってきます．

この「今考えている全体の集合」のことを「全体集合」といいます．この全体集合という言葉を用いて，「補集合」は次のように定義されます．

全体集合をとし，をの部分集合とする．このとき，に属さないの要素全部の集合を「におけるの補集合」といい，と表すことが多い：

「全体集合」はいつでも意識してください．

じつは，数学には「閉包」という概念があり，大学に入るとで「集合の閉包」を表すことが多く，補集合はという記号を使うことが多くなります(cはcomplementの頭文字)．

しかし，高校生のうちに「閉包」を習うことはないので，という記号で問題ないでしょう．

【論理と集合の基本2|ド・モルガンの法則】に続きます．