「集合」は数学の共通語！集合の最初の基礎知識

数学における集合はざっくり言えば「モノの集まり」ということができ，基本的な概念のひとつです．

とはいえ，高校数学の中では集合の重要さが分かりにくいのも事実で，あまり重要視されない分野かもしれません．

しかし，高校数学において集合は論理を扱うために用いられることが多く，集合の考え方を用いて

対偶を用いた証明
背理法

といった証明手法を学びます（詳しくはのちの記事で説明しています）．

この記事では

集合とは何か？
集合の表し方
２つの集合の関係

を順に説明します．

「論理と集合」の一連の記事

論理と集合の基本

背理法
1. １背理法はこう考える！仕組みを具体例から理解しよう
2. ２背理法が有効な証明問題の特徴！２タイプを意識せよ！

集合とは何か？
集合の表し方
２つの集合の関係
1. 部分集合
2. 集合の相等

集合とは何か？

高校数学において，集合は以下のように定義します．

数学的な対象の集まりを集合という．

たとえば，

$3$以上$10$以下の整数全部の集合
$6$の正の約数全部の集合
正多角形全部の集合

など集合には様々なものが考えられます．

集合の表し方

例えば，集合$A$を「$6$の正の約数全部の集合」とするとき，$A$は

$\begin{align*}1,\ 2,\ 3,\ 6\end{align*}$

からできていることになります．

このような集合を構成する対象を次のようにいいます．

集合を構成する１つ１つの対象を要素(または元げん)という．

また，集合$A$が要素$a$をもつとき，$a$は$A$に属するといい$a\in A$と表す．また，$b$が$A$に属さないときは$b\not\in A$と表す．

つまり，$6$の正の約数の集合$A$の要素は$1$, $2$, $3$, $6$で，例えば$1\in A$や$3\in A$と表すわけですね．

さて，集合は次の２つの表し方があります．

集合の表し方１

ひとつめは単に集合に属する要素を書き並べて表す方法で，例えば$6$の正の約数の集合$A$は

$\begin{align*}A=\{1,2,3,6\}\end{align*}$

と表します．つまり，中括弧$\{\qquad\}$で要素を括ることで表します．

集合の表し方２

ふたつめは集合に属する要素の性質を書いて表す方法で，例えば$6$の正の約数の集合$A$は

$\{n|\text{$n$は$6$の正の約数}\}$

と表します．もう少し詳しく説明すると

前の“$\{n|$”の部分で「この集合は$n$全部の集合である」と宣言
後ろの“$|\text{$n$は$6$の約数}\}$”の部分で「$n$は$6$の正の約数である」と宣言

する表し方です．併せて「$6$の正の約数$n$全部の集合である」ということになります

「集合の表し方１」のように要素を書き並べて表す方法を外延的記法といい，「集合の表し方１」のように要素の性質で集合を表す方法を内包的記法といいます（が，どちらも覚えなくても構いません）．

表し方の具体例

具体的に集合を表してみましょう．

次のそれぞれの集合を，要素を並べて表す方法と要素の性質で表す方法の２通りで表せ．

$3$以上$10$以下の整数全部の集合$A$
$100$以下の負でない偶数全部の集合$B$

(1)　$3$以上$10$以下の整数全部の集合$A$は

$A=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$
$A=\{n|\text{$n$は正の整数かつ$ 3\leqq n\leqq10$}\}$

と表せる．

(2)　$100$以下の負でない偶数全部の集合$B$は

$B=\{0,2,4,6,\dots,98,100\}$
$B=\{n|\text{$n\leqq100$かつ$n$は負でない偶数}\}$

と表せる．

(2)の集合$B$は$B=\{n|\text{$0\leqq n\leqq100$かつ$n$は偶数}\}$と表しても構いません．このように，性質を用いて表す書き方は１つではありません．

では，次の問題はどうでしょうか？

$-2$以上$1$未満の実数全部の集合$I$を，要素の性質で表す方法で表せ．

$-2$以上$1$以下の実数全部の集合$I$は

$\begin{align*}I=\{x|-2\leqq n<1\}\end{align*}$

と表せる．

この問題の集合$I$は数直線上にべったりと張り付いている集合なので，要素を書き並べる方法で表すのは難しいです．

要素を書き並べて表す方法はどのような要素が属しているか分かり易いのですが，このように書き表すのが難しいことも少なくありません．

このようなときのために，要素の性質で表す方法にも慣れておきましょう．

２つの集合の関係

最後に，２つの集合の関係について説明します．

部分集合

集合が２つあるとき，一方が他方にすっぽり含まれている場合があります．このようなときは次のようにいいます．

集合$A$の要素が全て集合$B$の要素でもあるとき，$A$を$B$の部分集合（または$B$は$A$を含む）といい$A\subset B$と表す．また，$A$が$B$の部分集合でないとき，$A\not\subset B$と書く．

たとえば，

$A=\{\dots,-12,-6,0,6,12,\dots\}$ ($6$の倍数の集合)
$B=\{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}$ ($3$の倍数の集合)

とするとき，$A$の要素は全てBの要素なので$A\subset B$となります．

集合$A$の要素が全て集合$A$の要素ですから，どんな集合$A$に対しても$A\subset A$はいつでも成り立つことに注意しましょう．

つまり，記号$\subset$はすっぽり含まれていることを意味するような形をしていますが，同じ集合であっても$\subset$を用いるわけですね．

集合の相等

このことに注意して，次のように「集合が等しい」ということを定義します．

集合$A$, $B$が$A\subset B$かつ$B\subset A$を満たすとき，$A$, $B$は等しいといい$A=B$と表す．

例えば，次のようになりますね．

集合$A$, $B$を

$A=\{n|\text{$n$は$2$の倍数かつ$3$の倍数}\}$
$B=\{n|\text{$n$は$6$の倍数}\}$

で定めるとき，$A=B$であることを示せ．

きちんと定義に従って，$A\subset B$かつ$B\subset A$を示せば良いですね．

[１]　$A\subset B$を示す．このためには，$A$の要素が全て$B$に属していることを示せばよい．

$A$の任意の要素$n$は$2$の倍数だから，$n=2k$ ($k$は整数)と表すことができる．

ここで，もし$k$が$3$の倍数でなければ$n$は$3$の倍数になり得ないから，$k$は$3$の倍数である．よって，$k=3\ell$ ($\ell$は整数)と表すことができる．

これより$n=6\ell$となり$n$は$6$の倍数だから$B$に属する．これで$A\subset B$が示された．

[２]　$B\subset A$を示す．このためには，$B$の要素が全て$A$に属していることを示せばよい．

$B$の任意の要素$n$は$6$の倍数だから，$n=6k$ ($k$は整数)と表すことができる．

よって，$n=2\times 3k$だから$n$は$2$の倍数であり，$n=3\times 2k$だから$n$は$3$の倍数である．

これより$n$は$A$に属するから，これで$A\subset B$が示された．

[１], [２]より$A=B$が従う．

論理と集合１
「集合」は数学の共通語！集合の基礎知識

集合とは何か？

集合の表し方

集合の表し方１

集合の表し方２

表し方の具体例

２つの集合の関係

部分集合

集合の相等

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