論理と集合の基本４｜命題と集合の関係

【論理と集合の基本3|必要条件と十分条件】の続きです．

前回の記事では，条件 $p$ と $q$ に対する $p\Rightarrow q$ の形の命題について，「必要条件」と「十分条件」を説明しました．

条件は集合を用いて表すことができるのですが，命題の真偽を集合の包含関係を用いて考えることができます．

この記事では，条件 $p$ をみたす集合 $P$ と条件 $q$ をみたす集合 $Q$ を考えたときの，命題 $p\Rightarrow q$ と集合 $P$ ， $Q$ の関係について書きます．

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1 条件と集合
2 「命題の真偽」と「集合の包含関係」
3 「命題と集合の関係」のイメージ

条件と集合

たとえば，まず次の条件 $p$ と $q$ を考えます．

$p$ ： $x$ は4の倍数である」，
$q$ ： $x$ は偶数である」

このとき，命題 $p\Rightarrow q$ は真です．

いま，条件 $p$ と $q$ は「 $x$ に関する条件」です．このとき，つぎの集合 $P$ ， $Q$ を考えると， $P$ ， $Q$ はそれぞれ条件 $p$ ， $q$ をみたす $x$ 全体の集合です．

$P=\{x|x$ は4の倍数 $\}$ ，
$Q=\{x|x$ は偶数 $\}$

$p$ は「 $x$ が4の倍数」ということなので， $P$ は「4の倍数全部の集合」です． $q$ は「 $x$ が偶数」ということなので， $Q$ は「偶数全部の集合」です．

このときの，条件 $p$ ， $q$ に対する $P$ ， $Q$ のような集合を「真理集合」と呼びます．

このとき，集合の包含関係をみると $P\subset Q$ となっています．これは，素朴に

$P=\{\dots,-4,0,4,\dots\}$ ，
$Q=\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$

と書き出せば分かります．

「命題の真偽」と「集合の包含関係」

上で「条件」( $p$ と $q$ )と「条件を表す集合」( $P$ と $Q$ )を考えました．これについて，次の「命題と集合の関係」が成り立ちます．

[命題と集合の関係]　条件 $p$ ， $q$ を考え， $p$ ， $q$ の真理集合をそれぞれ $P$ ， $Q$ とする．このとき，「命題 $p\Rightarrow q$ が真である」ことと，「 $P\subset Q$ である」ことは同値

上の例をみると，たしかにこれが成り立っていることが分かります．逆に言えば，

「命題 $p\Rightarrow q$ が偽である」ことと，「 $P\not\subset Q$ である」ことは同値

となります．なお，条件 $r$ ， $s$ に対し， $r\Leftrightarrow s$ であるとは，命題 $r\Rightarrow s$ ， $s\Rightarrow r$ がともに真であることをいいます．このことは前回の記事で説明した通りです．

さて，この「命題と集合の関係」は次のように理解することができます．

「命題 $p\Rightarrow q$ が真である」とは「条件 $p$ が成り立つとき，必ず条件 $q$ が成り立つ」ということであり，一方，「 $P\subset Q$ 」とは「集合 $P$ に属する要素 $x$ が全て集合 $Q$ にも属している」ということでした．

これは次のように言い換えることで同じことを言ってることが分かります．

「命題 $p\Rightarrow q$ が真である」
⇔「条件 $p$ が成り立つとき，必ず条件 $q$ が成り立つ」
⇔「条件 $p$ をみたす $x$ は必ず条件 $q$ をみたす」
⇔「集合 $P$ に属する要素 $x$ が全て集合 $Q$ にも属している」
⇔ $P\subset Q$

「命題と集合の関係」のイメージ

「命題と集合の関係」をベン図を使って表すことを考えます．

$p$ ， $q$ を条件とし， $p$ ， $q$ の真理集合をそれぞれ $P$ ， $Q$ とします．このとき，集合 $P$ ， $Q$ の関係を3種類の場合に分けて考えます．

$P\subset Q$
$P\cap Q\neq\emptyset$ だが， $P\subset Q$ でも $Q\subset P$ でもない．
$P\cap Q=\emptyset$

パターン1

「 $P\subset Q$ 」のときについて考えます．

これをベン図で書くと下図のようになります．ただし， $U$ は全体集合です．

$P$ ， $Q$ の定め方から，条件 $p$ をみたす $x$ は $P$ (青丸)に属し，条件 $q$ をみたす $x$ は $Q$ (黒丸)に属します．

したがって，条件 $p$ をみたす $x$ は必ず条件 $q$ をみたします．これは，「 $P\subset Q$ ならば $p\Rightarrow q$ である」ということに他なりません．

この例としては，上に挙げた

$p$ ： $x$ は4の倍数である」，
$q$ ： $x$ は偶数である」

をイメージすればよいでしょう．

パターン2

「 $P\cap Q\neq\emptyset$ だが， $P\subset Q$ でも $Q\subset P$ でもない」ときについて考えます．

これをベン図で書くと下図のようになります．ただし， $U$ は全体集合です．

このときは $p$ は( $q$ の)必要条件でもないし，十分条件でもありません．ですから， $q$ は( $p$ の)必要条件でもないし，十分条件でもありません．

この例としては，

$p$ ： $x$ は2の倍数である，
$q$ ： $x$ は3の倍数である

をイメージすればよいでしょう．このとき，

$P=\{\dots,-2,0,2,4,6,\dots\}$ ，
$Q=\{\dots,-3,0,3,6,\dots\}$

なので， $P\cap Q$ は6の倍数の集合だから $P\cap Q\neq\emptyset$ ですし，当然 $P\not\subset Q$ かつ $Q\not\subset P$ も成り立ちます．

パターン3

「 $P\cap Q=\emptyset$ 」のときについて考えます．

これをベン図で書くと下図のようになります．ただし， $U$ は全体集合です．

「パターン2」と同じく，このときも $p$ は( $q$ の)必要条件でもないし，十分条件でもありません．ですから， $q$ は( $p$ の)必要条件でもないし，十分条件でもありません．

この例としては，

$p$ ： $x$ は偶数である，
$q$ ： $x$ は4の倍数に1加えた整数である

をイメージすればよいでしょう．このとき，

$P=\{\dots,-2,0,2,4,6,\dots\}$ ，
$Q=\{\dots,-1,1,3,5,7,\dots\}$

なので， $P\cap Q=\emptyset$ となります．

【論理と集合の基本5|「逆，裏，対偶」と対偶の利用】に続きます．