数学

2019.05.11

三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ

前回の記事では，小学校から使ってきた角度の表し方である「度数法」に代わって，数学的に都合の良い角度の表し方である「弧度法」を考えました．

「弧度法」は「〜ラジアン」という角度の表し方をするもので，半径 $1$ の扇形においては「(中心角) $[\mrm{rad}]$ =(弧の長さ)」が成り立つのでした．

今回の記事では，具体的にラジアンを用いて有名角の三角関数の値を考えていきます．

有名角の三角関数の値はサラサラと書けるようになっておかなければなりませんが，丸覚えしているようではいつミスが起こってもおかしくありません．

しっかり図をイメージして値がどうなるか理解しておいてください．

この記事では， $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ でない一般の $\theta$ に対して，有名角の $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ の値の考え方を説明します．

【前回の記事：三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！】

実は，小学校から使ってきた「度数法」は数学的には扱いづらい角度の表し方であり，三角関数のグラフを書くときなど，都合が悪いことが多々あります．一方，扇形の弧の長さを用いて定義する「弧度法」は数学的に都合がよく，数学では当たり前に用いられます．

2019.05.06

三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！

三角関数の偏角の変換公式( $(90^\circ+\theta)$ 型や $(180^\circ-\theta)$ 型など)は，全てを覚える必要はなく，実は基本の公式から簡単に導けるということを説明しました．

少し三角関数の性質から離れ，角度の話をします．

小学校以来， $30^\circ$ のように「〜度」という単位で角度を表してきましたが，これでは三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります．

より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があり，これは度数法よりも計算が簡単にできる単位なので，慣れれば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます．

今回の記事では，「弧度法」の定義と，弧度法に関する大切な公式を説明します．

【三角関数２｜偏角の変換公式は簡単に導ける！導出のコツ！】

三角関数になると負や $180^\circ$ を超える偏角を考えるため，三角比の場合の $(90^{\circ}-\theta)$ 型以外の変換公式が現れます．とはいえ，それらを全て覚える必要はなく，簡単に覚えられるいくつかの公式さえ分かっていれば，他の変換公式は簡単に導くことができます．

2019.04.22

三角関数２｜偏角の変換公式は簡単に導ける！導出のコツ！

前回の記事では，三角関数を定義し， $\sin$ と $\cos$ と $\tan$ の間に成り立つ4つの関係式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について説明しました．

特に，１つ目と２つ目の関係式から３つ目と４つ目の関係式はほぼ瞬時に導出できるため，ほとんど努力せず覚えることができるのでした．

さて，以前の記事で三角比の場合には，

$\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$
$\tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

が成り立つことを説明しましたが，この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます．

ただ，三角関数になると，他にも $\tan{(180^\circ+\theta)}$ や $\sin{(90^\circ+\theta)}$ などの変換公式も出てきます．

これらの公式は非常に多いため，全部を覚えようとすると挫折してしまいます．

というより，これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし，コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます．

しかし，実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで，他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています．

今回の記事では，偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します．

【前回の記事：三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！】

三角比は直角三角形を用いて定義しますが，これでは $\theta$ が $0<\theta<90^\circ$ の範囲にあるときしか $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を考えることができません．しかし， $xy$ 平面の単位円上の点を考えることで， $\theta$ が $0<\theta<90^\circ$ 以外の範囲にあるときに定義できるようになります．

2019.04.02

三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！

直角三角形の1つの鋭角を $\theta$ としたとき，3種類の辺の比を $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ と名付けたものを三角比というのでした．

このように，三角形の内角の和は常に $180^\circ$ だったので，直角三角形の1つの鋭角 $\theta$ は $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ の範囲しか動きません．

したがって，直角三角形を考えていたのでは，例えば

$\sin{120^\circ}$ のような $90^\circ$ を超える $\theta$
$\sin{-30^\circ}$ のような負の $\theta$

で $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を考えることができません．

そこで，実数 $\theta$ が $0<\theta<90^{\circ}$ の範囲にない場合にも， $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ をうまく定義できないか」と考えたものが三角関数です．

$xy$ 座標上にうまく直角三角形を置くと， $\cos{\theta}$ ， $\sin{\theta}$ をそれぞれある点の $x$ 座標， $y$ 座標と捉えることができます．

本記事では，三角関数を定義し，三角関数の間に成り立つ4つの関係式について説明します．

【前回の記事：三角比１｜三角比って何？三角比の考え方から解説！】
【前々前の記事：三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式】
【前々々回の記事：三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式】

三角比については，この3つの記事で解説しています．特に，

$\sin$ ， $\cos$ ， $\tan$ の4つの関係式
$(90^\circ-\theta)$ 型の角度の変換公式

は三角関数になっても現れる重要なものです．この三角関数の記事の前にしっかり復習しておくのが良いでしょう．

2019.03.30

三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式

前々回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を定義し，前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について解説しました．

これまで，三角比の角度は $\theta$ で考えてきましたが，角度 $\theta$ が別のものに置き替わったものを $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表したいことがあります．

三角比では， $\sin{(90^\circ-\theta)}$ ， $\cos{(90^\circ-\theta)}$ ， $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表すことができます．

そして，これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが，実は証明はとてもシンプルなため，この証明が理解できていれば悩むことはなくなります．

本記事では，この $90^\circ-\theta)$ 型の3つの角度の変換公式について説明します．

【前回の記事：三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式】

三角比は直角三角形を用いて定義されるのでした．そのため， $\sin$ ， $\cos$ ， $\tan$ はどれか1つでも分かれば，対応する直角三角形の形が定まり，他の2つの値を求めることができます．この前回の記事では $\sin$ ， $\cos$ ， $\tan$ の間の関係を表す4つの関係式について説明しています．

2019.03.28

三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

前回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を定義し， $30^\circ$ ， $60^\circ$ ， $90^\circ$ の三角比の値を計算しました．

さて，三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ は独立したものではなく，互いに関係性をもっています．この関係式は全部で4つあり，三角比の計算をする上では非常に重要です．

また，角度 $\theta$ が変わったときに，三角比もどのように変わるのかも知りたいところです．

三角比では $\sin{(90^\circ-\theta)}$ ， $\cos{(90^\circ-\theta)}$ ， $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表すことができ，この3つの角度の変換公式が重要です．

本記事では，これら三角比の間の4つの関係式と，3つの角度の変換公式を説明します．

【前回の記事：三角関数の基本１｜三角比の定義と，有名角の三角比の値】

$\ang{B}=\ang{B'}=90^\circ$ の2つの直角三角形 $\tri{ABC}$ ， $\tri{A'B'C'}$ を考えるとき， $\ang{A}=\ang{A'}$ なら直角三角形 $\tri{ABC}$ と $\tri{A'B'C'}$ は相似です．そのため， $\tri{ABC}$ ， $\tri{A'B'C'}$ の辺の比は等しくなります．したがって， $\ang{A}$ をが同じなら， $\tri{ABC}$ の大きさ関係なく辺の比はいつでも一定です．このことを利用して，辺の比に名前をつけたものが三角比です．