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数学一覧

三角比5|(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単!

直角三角形を用いて三角比を定義するのでは,0^\circ<\theta<90^\circなる\thetaに対してしか\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えることはできないのでした.

そこで,前回の記事では単位円を使って0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circなる\thetaに対しても,\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}の場合に考えられるようになりました.

この記事では\sin{(180^\circ-\theta)}, \cos{(180^\circ-\theta)}, \tan{(180^\circ-\theta)}\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}で表す(180^\circ-\theta)型の三角比の変換公式を考えます.

また,(180^\circ-\theta)型の三角比の変換公式を使うことで,三角形の面積を\sinで表すことができます.

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三角比4|角度が90°以上の三角比はこう考える!

三角比は直角三角形の1つの鋭角を\thetaとして考えるので,0^{\circ}<\theta<90^{\circ}の場合にしか\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えることができませんでした.

つまり,直角三角形で三角比を考えると\sin{45^\circ}\cos{60^\circ}などを定義することはできますが,\sin{120^\circ}\cos{135^\circ}などを定義することができません.

そこで,0^{\circ}<\theta<90^{\circ}以外の場合にも\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えようというのが,今回の記事の目標です.

「そんなもん定義して何になんの?」

と思うかもしれませんが,これがとても役に立つのです.

具体的には,後の記事で扱う【正弦定理】と【余弦定理】を考えるときに,三角比の角度\theta90^\circ以上の場合に定義されていると便利なのです.

この記事では,0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circを満たす\thetaに対して\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考え,いくつかの基本的な三角比の性質を説明します.

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三角比3|実は当たり前!?3つの(90°-θ)型の変換公式

前々回の記事では三角比\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を定義し,前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

について解説しました.

これまで,三角比の角度は\thetaで考えてきましたが,角度\thetaが別のものに置き替わったものを\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表したいことがあります.

三角比では,\sin{(90^\circ-\theta)}, \cos{(90^\circ-\theta)}, \tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を使って表すことができます.

そして,これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが,実は証明はとてもシンプルなため,この証明が理解できていれば悩むことはなくなります.

本記事では,これら(90^\circ-\theta)型の3つの角度の変換公式について説明します.

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三角比2|sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

前回の記事では三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を定義し,30^\circ60^\circ90^\circの三角比の値を計算しました.

さて,三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}は独立したものではなく,互いに関係性をもっています.この関係式は全部で4つあり,三角比の計算をする上では非常に重要です.

また,角度\thetaが変わったときに,三角比もどのように変わるのかも知りたいところです.

三角比では\sin{(90^\circ-\theta)}\cos{(90^\circ-\theta)}\tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表すことができ,この3つの角度の変換公式が重要です.

本記事では,これら三角比の間の4つの関係式と,3つの角度の変換公式を説明します.

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三角比1|三角比って何?三角比の考え方から解説!

三角関数は高校数学で非常に大きく扱われる分野であり,実際に使いこなせると非常に便利な道具の一つです.

中学数学までは直角三角形などの特殊な三角形でしかなかなか辺の長さを求められなかったのが,三角比,三角関数の登場で今まで長さが求められなかった辺に長さを「名付ける」ことができるようになります.

一方で,この便利さを実感するためには,変換公式などの基本事項をさっと使えるようになっておく必要があり,この段階でつまずいてしまう生徒は少なくありません.

定義はルールですからしっかり覚える必要はありますが,公式についてはある程度は覚えやすい考え方やコツがあります.

この一連の記事では,できるだけ覚えることが少なく済むように,三角関数を説明します.

この最初の記事では,三角比の定義と,有名角の三角比の値を説明します.

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解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 証明すべきことを筋道を立てて考えられるか
  2. 誘導から図形の対称性に気付けるか

です.

(1)の誘導に気づくことができれば,解答自体は短く終えることができます.

ただ,受験ではなかなか使われない考え方なので,しっかり図が描けていても気付くのは少々難しいかもしれません.

発想力が差になる問題なので,この問題が解けなくてもそれほど心配する必要はないでしょう.

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解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問5

この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 法線ベクトルが求められるか
  2. 曲線の長さを求める公式を適用できるか
  3. \dfrac{1}{1+t^2}の積分を求められるか

です.

1つ1つはノータイムで出来て欲しい内容ですが,計算に慣れていないと少々時間をとるかもしれません.

数学IIIの計算は安定感を持って素早く出来たいところです.

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