複素数の極形式を用いた積・商は一瞬で計算できる！

前回の記事では

絶対値$r$（原点からの距離）
偏角$\theta$

の２つを用いて複素数を$r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$と表す方法である極形式を説明しました．

さて，極形式の良いところは

掛け算$r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$
割り算$\dfrac{r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})}{s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})}$

が一瞬で計算できる点です．

この記事では

複素数の極形式の復習
複素数の極形式の積・商
複素数の極形式の積・商の証明

を順に説明します．

「複素数」の一連の記事

複素数の極形式の復習
複素数の極形式の積・商
1. 極形式の積
2. 極形式の商
複素数の極形式の積・商の公式の証明
1. 極形式の積
2. 極形式の商

複素数の極形式の復習

複素数の極形式は次のように定義されるものでした．

複素数$z$について，絶対値を$r$，偏角を$\theta$とすると，

$\begin{align*}z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\end{align*}$

と表せる．この複素数の表し方を極形式(polar form)という．

詳しくは以下の記事を参照してください．

複素数３
複素数の「極形式」は絶対値と偏角がポイント！

a+biという複素数の表し方は和や差を考える際には便利です．しかし，積や商を求める際には「極形式」という表し方の方が便利なことが多いです．この記事では，複素数の極形式を解説し，具体例を考えます．

複素数の極形式の積・商

以下，複素数の極形式の掛け算・逆数・割り算を考えていきましょう．

極形式の積

極形式の積について，以下が成り立ちます．

[極形式の積]　$r\geqq0$, $s\geqq0$とし，$\theta$, $\phi$を実数とする．複素数$z,w$が

$\begin{align*}&z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}), \\&w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{align*}$

と極形式で表したとき，

$\begin{align*}zw=rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\}\end{align*}$

が成り立つ．

たとえば，複素数$z,w$が

$\begin{align*}&z=\frac{3}{2}\bra{\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}}}, \\&w=2\brb{\cos\bra{\frac{\pi}{4}}+i\sin\bra{\frac{\pi}{4}}}\end{align*}$

と極形式で表されたとすると，積$zw$は

$\begin{align*}zw &=\frac{3}{2}\cdot2\brb{\cos{\bra{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}}}+i\sin{\bra{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}}}} \\&=3\bra{\cos{\frac{5\pi}{12}}+i\sin{\frac{5\pi}{12}}},\end{align*}$

となります．

このように，

絶対値$r$, $s$の複素数をかければ，絶対値$rs$の複素数になる
偏角$\theta$, $\phi$の複素数をかければ，偏角$\theta+\phi$の複素数になる

というわけですね．

極形式の商

極形式の積と複素数の逆数を併せると，以下の極形式の商が成り立つことが分かります．

[極形式の商]　$r\geqq0$, $s\geqq0$とし，$\theta$, $\phi$を実数とする．複素数$z,w$が

$\begin{align*}&z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}), \\&w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{align*}$

と極形式で表したとき，

$\begin{align*}\frac{z}{w}=\frac{r}{s}\{\cos{(\theta-\phi)}+i\sin{(\theta-\phi)}\}\end{align*}$

が成り立つ．

たとえば，複素数$z,w$が

$\begin{align*}&z=\frac{3}{2}\bra{\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}}}, \\&w=2\brb{\cos\bra{\frac{\pi}{4}}+i\sin\bra{\frac{\pi}{4}}}\end{align*}$

と極形式で表されたとすると，商$\dfrac{z}{w}$は

$\begin{align*}\frac{z}{w} &=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\brb{\cos{\bra{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}}+i\sin{\bra{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}}} \\&=\frac{3}{4}\brb{\cos\bra{-\frac{\pi}{12}}+i\sin\bra{-\frac{\pi}{12}}}\end{align*}$

となります．

つまり，

絶対値$r$の複素数を，絶対値$s$の複素数で割れば，絶対値$\dfrac{r}{s}$の複素数になる
偏角$\theta$の複素数を，偏角$\phi$の複素数で割れば，偏角$\theta-\phi$の複素数になる

というわけですね．

なお，とくに$z=1$, $w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$とすると，

$\begin{align*}&\frac{1}{w}=\frac{1}{s}\{\cos{(-\phi)}+i\sin{(-\phi)}\} \\\iff& w^{-1}=s^{-1}\{\cos{(-\phi)}+i\sin{(-\phi)}\}\end{align*}$

と逆数もすぐに得られますね．

この逆数の公式を複素数の反転ということがあります．

複素数の極形式の積・商の公式の証明

上で紹介した２つの公式を証明しましょう．

極形式の積

三角関数の加法定理を使うことでシンプルに証明できます．

[極形式の積]　$r\geqq0$, $s\geqq0$とし，$\theta$, $\phi$を実数とする．複素数$z,w$が

$\begin{align*}&z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}), \\&w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{align*}$

と極形式で表したとき，

$\begin{align*}zw=rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\}\end{align*}$

が成り立つ．

三角関数の加法定理

$\begin{align*}&\cos{\theta}\cos{\phi}-\sin{\theta}\sin{\phi}=\cos{(\theta+\phi)}, \\&\sin{\theta}\cos{\phi}+\cos{\theta}\sin{\phi})=\sin{(\theta+\phi)}\end{align*}$

より

$\begin{align*}zw =&r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \\=&rs\{(\cos{\theta}\cos{\phi}-\sin{\theta}\sin{\phi})+i(\sin{\theta}\cos{\phi}+\cos{\theta}\sin{\phi})\} \\=&rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\}\end{align*}$