【SPONSORED LINK】

複素数2|複素数を見る!?複素平面と絶対値の考え方

前回の記事では,

  • 2乗して-1になる虚数単位i
  • a, bを用いて,a+biと表される複素数

を定義しましたが,これだと直感的なイメージがわきにくいですね.

実は,複素数は平面上の点として表すことで,視覚的に理解できる「複素平面」というものがあります.

複素平面を考えて複素数を直感的に理解することで,複素数を使って様々なことができるようになります.

この記事では,複素平面の考え方を説明します.

【SPONSORED LINK】

複素平面

まずは複素平面の考え方から説明します.

複素平面の定義

複素平面は以下のように定義されます.

複素数a+bixy平面上の(a,b)と同一視して表す平面を複素平面(または複素数平面)という.複素平面では,x軸に対応する軸を実軸y軸に対応する軸を虚軸という.

Rendered by QuickLaTeX.com

例えば,以下のようになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

軸の“Re”を「実」と書いたり,“Im”を「虚」と書くことも多いです.

また,xy平面上の点Pが(x,y)を表すときに\mrm{P}(x,y)と書くように,複素平面上の点Pが複素数zを表すとき\mrm{P}(z)と書きます.

なお,本来は点と複素数は異なるものですが,複素平面上のすべての点は複素数と対応するので,「複素数zを表す点」を点zということも多いです.

a, bを実数とするとき,xy平面上の点(a,b)を複素数a+biと同一視することで,複素平面を考えることができる.また,x軸は実部に,y軸は虚部に対応するので,それぞれの軸を複素平面上では実軸,虚軸という.

例1(実軸対称)

例えば,z=a+biとすると,zの共役複素数は\overline{z}=a-biなので,

Rendered by QuickLaTeX.com

となり,複素平面上の複素数zの表す点と,zの共役複素数\overline{z}の表す点は実軸対称となります.

例2(原点対称)

例えば,z=a+biとすると,z-1倍は-z=-a-biなので,

Rendered by QuickLaTeX.com

となり,複素平面上の複素数zの表す点と,z-1倍の-zの表す点は原点対称となります.

例3(虚軸対称)

例えば,z=a+biとすると,z-1倍の共役複素数は-\overline{z}=-a+biなので,

Rendered by QuickLaTeX.com

となり,複素平面上の複素数zの表す点と,z-1倍の共役複素数-\overline{z}の表す点は原点対称となります.

複素平面上の点\mrm{P}(z)に対して,

  • \overline{z}の表す点は,点Pと実軸対称
  • -zの表す点は,点Pと原点対称
  • -\overline{z}の表す点は,点Pと虚軸対称

である.

絶対値

実数にも「絶対値」というものがありましたが,複素数にも「絶対値」を考えることができます.

絶対値の定義

最初に,実数の場合の絶対値の定義を確認しておきましょう.

[実数の絶対値] 実数aに対して,数直線上の0と点aの距離をa絶対値といい,|a|で表す.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,絶対値の性質として

\begin{align*} |a|=\begin{cases}a&(a\geqq0)\\-a&(a<0)\end{cases} \end{align*}

は成り立ちますが,こちらは定義ではないので注意してください.

さて,この実数の絶対値と同様に,複素数の絶対値は以下のように定義されます.

[複素数の絶対値] 複素数zに対して,複素平面上の0と点zの距離をz絶対値といい,|z|で表す.

Rendered by QuickLaTeX.com

実数も複素数も「絶対値」といえば,原点0との距離のことをいうわけですね.

絶対値の計算

それでは,複素数zの絶対値|z|がどのように計算できるのか考えましょう.

複素平面上の点\mrm{P}(a+bi) (a, bは実数)はxy平面上の点\mrm{P}(a,b)と同一視されるのでした.

Rendered by QuickLaTeX.com

xy平面上の点(a,b)と原点(0,0)の距離は

\begin{align*} \sqrt{(a-0)^2+(b-0)^2}=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}

なので,|z|=\sqrt{a^2+b^2}となります.両辺を2乗して|z|^2=a^2+b^2でもありますね.

さらに,zの共役複素数は\overline{z}=a-biなので,

\begin{align*} z\overline{z} =(a+bi)(a-bi) =a^2+b^2 \end{align*}

が成り立ちます.よって,|z|^2=z\overline{z}とも書くことができます.

以上をまとめると,以下のようになります.

複素数z=a+biに対して,

\begin{align*} |z|^2=a^2+b^2=z\overline{z} \end{align*}

が成り立つ.

ここで,xが実数なら|x|^2=x^2が成り立ちますが,zが複素数なら|z|^2z^2は必ずしも等しくないということに注意してください.

また,等式|z|^2=z\overline{z}zの実部,虚部が分かっていなくてもいつでも使えますね.

複素数z=a+bi (a, bは実数)はxy平面上の点(a,b)と同一視されるので,0とzの距離|z|について|z|^2=a^2+b^2が成り立つ.また,z\overline{z}=a^2+b^2だから|z|^2=z\overline{z}でもある.

積の絶対値

実数a, bに対して|ab|=|a||b|が成り立つように,これは複素数に対しても同様に成り立ちます.

複素数z, wに対して,|zw|=|z||w|が成り立つ.

[証明]

|zw|, |z||w|はともに0以上なので,|zw|^2=(|z||w|)^2を示せば|zw|=|z||w|が成り立ちますね.

\begin{align*} |zw|^2 =&zw\cdot\overline{zw} \\=&z\overline{z}\cdot w\overline{w} \\=&|z|^2\cdot|w|^2 \\=&(|z||w|)^2 \end{align*}

なので,|zw|=|z||w|が従います.

[証明終]

よって,|z^n|にこの公式を繰り返し用いれば,

\begin{align*} |z^n| =&|zz^{n-1}| =|z||z^{n-1}| \\=&|z||zz^{n-2}| =|z||z||z^{n-2}| \\=&\dots \\=&|z||z|\dots|z| =|z|^n \end{align*}

となって,|z^n|=|z|^nが成り立つことも分かりますね(厳密に証明するには数学的帰納法を用いればよい).

最後まで読んで下さってありがとうございました!

こちらから記事一覧ページへ飛べます!

【SPONSORED LINK】

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

記事

一覧へ

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る

オススメ

参考書

大学数学の

姉妹ブログ