複素平面上の[拡大縮小]と[回転]は複素数をかけろ！

２つの複素数$z$, $w$について，

$z$の絶対値は$r$，偏角は$\theta$
$w$の絶対値は$s$，偏角は$\phi$

とすると，

積$zw$の絶対値は$rs$
積$zw$の偏角は$\theta+\phi$

となるのでした．

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えることによって，複素平面上の[拡大縮小/回転]を考えることができます．

この記事では，複素平面上の

点の[拡大縮小/回転]
ベクトルの[拡大縮小/回転]

について説明します．

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【複素数１｜虚数単位って一体なに？複素数の考え方と基礎知識】
【複素数２｜複素数を見る！？複素平面と絶対値の考え方】
【複素数３｜複素数の「極形式」は絶対値と偏角がポイント！】
【複素数４｜複素数の指数計算は[ド・モアブルの定理]が鉄板】
【複素数５｜方程式の[ド・モアブルの定理]の解法は３ステップ】
【複素数６｜虚数解をもつ方程式の重要ポイント２つを確認！】
【複素数７｜複素平面上の拡大縮小/回転は複素数をかけろ！】←今の記事

1 点の拡大縮小と回転
- 1.1 原点中心の場合
- 1.2 一般の点中心の場合
2 ベクトルの拡大縮小と回転
- 2.1 複素平面上のベクトル
- 2.2 ベクトルの拡大縮小/回転

点の拡大縮小と回転

複素平面上の点の[拡大縮小/回転]を

原点中心の場合
一般の点中心の場合

の２ステップで考えましょう．

原点中心の場合

冒頭で書いた[極形式の積]を公式の形で確認しておきましょう．

[極形式の積]　極形式で表された２つの複素数$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$, $w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$に対して，

$\begin{align*} zw=rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\} \end{align*}$

が成り立つ．

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えてみると，複素数$z$が表す点に対して，

原点$\mrm{O}(0)$からの距離を$s$倍
原点$\mrm{O}(0)$中心に偏角を$+\phi$

した点が複素数$zw$の表す点となっています．

このことは，以下のようにまとめることができますね．

[原点中心の点の回転]　$s\geqq0$, $\phi$を実数とする．複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して，複素数

$\begin{align*} z'=z\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

が表す点$\mrm{Q}(z’)$は

原点中心に$s$倍拡大
原点中心に$+\phi$回転

した点である．

要するに，複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して，

原点からの距離を$s$倍したければ，$z$に$s$をかければよく
原点中心に偏角を$+\phi$したければ，$z$に$\cos{\phi}+i\sin{\phi}$をかければよい

というわけですね．

一般の点中心の場合

次に，複素平面上の原点とは限らない点$\mrm{A}(\alpha)$中心の[拡大縮小/回転]を考えましょう．

複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して，

点$\mrm{A}(\alpha)$からの距離を$s$倍
点$\mrm{A}(\alpha)$中心に偏角を$+\phi$

した点を$\mrm{Q}(z’)$としましょう．

このとき，点Aが原点$\mrm{O}(0)$にくるように点A, P, Qを平行移動すると，点Pは点$\mrm{P’}(z-\alpha)$，点Qは点$\mrm{Q’}(z’-\alpha)$に移ります．

点$\mrm{Q’}(w-\alpha)$は，点$\mrm{P’}(z-\alpha)$に対して

原点$\mrm{O}(0)$からの距離を$s$倍
原点$\mrm{O}(0)$中心に偏角を$+\phi$

した点となっているので，先ほどみた原点中心の[拡大縮小/回転]の考え方から

$\begin{align*} &z'-\alpha=(z-\alpha)\cot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \\\iff&z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}$

が成り立ちます．以上をまとめると，以下のようになりますね．

[点$\mrm{A}(\alpha)$中心の点の回転]　$s\geqq0$, $\phi$を実数とする．複素平面上の点$\mrm{A}(\alpha)$，点$\mrm{P}(z)$に対して，複素数

$\begin{align*} z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}$

が表す点$\mrm{Q}(z’)$は

原点中心に$s$倍拡大
原点中心に$+\phi$回転

した点である．

点$\mrm{A}(\alpha)$が原点にくるように全体を平行移動し，原点中心の[拡大縮小/回転]を考えればよいので，

$\begin{align*} z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}$

を覚える必要はありませんね．

また，当然のことながら，$\alpha=0$の場合には

$\begin{align*} z'=z\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

となって，原点中心の[拡大縮小/回転]と一致しています．

ベクトルの拡大縮小と回転

いまみた点$\mrm{A}(\alpha)$中心の[拡大縮小/回転]の式は

$\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

でしたが，これは複素平面上のベクトルの[拡大縮小/回転]と考えると，すっきり説明ができます．

複素平面上のベクトル

$xy$平面は複素平面と同一視できるので，$xy$平面上のベクトルは複素平面上のベクトルと同一視できます．例えば，

$xy$平面上の点$\mrm{A}(1,1)$, $\mrm{B}(4,3)$に対して，$\Ve{AB}=(3,2)$
複素平面上の点$\mrm{A}(1+i)$, $\mrm{B}(4+3i)$に対して，$\Ve{AB}=3+2i$

が対応します．

このように，複素平面上の２点$\mrm{A}(\alpha)$, $\mrm{B}(\beta)$があるとき，$\Ve{AB}$は複素数$\beta-\alpha$で表すことができます．

ベクトルの拡大縮小/回転

ここでもう一度，点$\mrm{A}(\alpha)$中心の[拡大縮小/回転]を考えます．

すなわち，複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して，

点$\mrm{A}(\alpha)$からの距離を$s$倍
点$\mrm{A}(\alpha)$中心に偏角を$+\phi$

した点を$\mrm{Q}(z’)$とします．この状況は

ベクトル$\Ve{AP}$の長さを$s$倍
ベクトル$\Ve{AP}$の偏角を$+\phi$

したベクトルが$\Ve{AQ}$である，ということもできますね．

このように，

点$\mrm{A}(\alpha)$中心の回転
点Aを始点とするベクトルの回転

は同じものとみることができます．

さて，点$\mrm{A}(\alpha)$中心の回転であることから，

$\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

が成り立つわけですが，$\mrm{A}(\alpha)$, $\mrm{P}(z)$, $\mrm{Q}(z’)$であることから，

左辺の$z’-\alpha$は$\Ve{AQ}$を表し，
右辺の$z-\alpha$は$\Ve{AP}$を表す

ということが分かります．このことをまとめると，以下のようになります．

[ベクトルの回転]　$s\geqq0$, $\phi$を実数とする．複素平面上の３点$\mrm{A}(\alpha)$, $\mrm{P}(z)$, $\mrm{Q}(z’)$に対して，

$\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

が成り立つとき，ベクトル$\Ve{AQ}$は

ベクトル$\Ve{AP}$を$s$倍拡大
ベクトル$\Ve{AP}$を$+\phi$回転

したベクトルである．

このように，ベクトルの回転とみると$z’-\alpha$と$z-\alpha$をまとめて考えることができ，すっきりと理解することができますね．