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複素数7|複素平面上の拡大縮小/回転は複素数をかけろ!

2つの複素数$z$, $w$について,

  • $z$の絶対値は$r$,偏角は$\theta$
  • $w$の絶対値は$s$,偏角は$\phi$

とすると,

  • 積$zw$の絶対値は$rs$
  • 積$zw$の偏角は$\theta+\phi$

となるのでした.

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えることによって,複素平面上の[拡大縮小/回転]を考えることができます.

この記事では,複素平面上の

  • 点の[拡大縮小/回転]
  • ベクトルの[拡大縮小/回転]

について説明します.

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点の拡大縮小と回転

複素平面上の点の[拡大縮小/回転]を

  1. 原点中心の場合
  2. 一般の点中心の場合

の2ステップで考えましょう.

原点中心の場合

冒頭で書いた[極形式の積]を公式の形で確認しておきましょう.

[極形式の積] 極形式で表された2つの複素数$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$, $w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$に対して,

\begin{align*} zw=rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\} \end{align*}

が成り立つ.

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えてみると,複素数$z$が表す点に対して,

  • 原点$\mrm{O}(0)$からの距離を$s$倍
  • 原点$\mrm{O}(0)$中心に偏角を$+\phi$

した点が複素数$zw$の表す点となっています.

このことは,以下のようにまとめることができますね.

[原点中心の点の回転] $s\geqq0$, $\phi$を実数とする.複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して,複素数

\begin{align*} z'=z\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}

が表す点$\mrm{Q}(z’)$は

  • 原点中心に$s$倍拡大
  • 原点中心に$+\phi$回転

した点である.

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要するに,複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して,

  • 原点からの距離を$s$倍したければ,$z$に$s$をかければよく
  • 原点中心に偏角を$+\phi$したければ,$z$に$\cos{\phi}+i\sin{\phi}$をかければよい

というわけですね.

一般の点中心の場合

次に,複素平面上の原点とは限らない点$\mrm{A}(\alpha)$中心の[拡大縮小/回転]を考えましょう.

複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して,

  • 点$\mrm{A}(\alpha)$からの距離を$s$倍
  • 点$\mrm{A}(\alpha)$中心に偏角を$+\phi$

した点を$\mrm{Q}(z’)$としましょう.

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このとき,点Aが原点$\mrm{O}(0)$にくるように点A, P, Qを平行移動すると,点Pは点$\mrm{P’}(z-\alpha)$,点Qは点$\mrm{Q’}(z’-\alpha)$に移ります.

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点$\mrm{Q’}(w-\alpha)$は,点$\mrm{P’}(z-\alpha)$に対して

  • 原点$\mrm{O}(0)$からの距離を$s$倍
  • 原点$\mrm{O}(0)$中心に偏角を$+\phi$

した点となっているので,先ほどみた原点中心の[拡大縮小/回転]の考え方から

\begin{align*} &z'-\alpha=(z-\alpha)\cot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \\\iff&z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}

が成り立ちます.以上をまとめると,以下のようになりますね.

[点$\mrm{A}(\alpha)$中心の点の回転] $s\geqq0$, $\phi$を実数とする.複素平面上の点$\mrm{A}(\alpha)$,点$\mrm{P}(z)$に対して,複素数

\begin{align*} z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}

が表す点$\mrm{Q}(z’)$は

  • 原点中心に$s$倍拡大
  • 原点中心に$+\phi$回転

した点である.

点$\mrm{A}(\alpha)$が原点にくるように全体を平行移動し,原点中心の[拡大縮小/回転]を考えればよいので,

\begin{align*} z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}

を覚える必要はありませんね.

また,当然のことながら,$\alpha=0$の場合には

\begin{align*} z'=z\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}

となって,原点中心の[拡大縮小/回転]と一致しています.

ベクトルの拡大縮小と回転

いまみた点$\mrm{A}(\alpha)$中心の[拡大縮小/回転]の式は

\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}

でしたが,これは複素平面上のベクトルの[拡大縮小/回転]と考えると,すっきり説明ができます.

複素平面上のベクトル

$xy$平面は複素平面と同一視できるので,$xy$平面上のベクトルは複素平面上のベクトルと同一視できます.例えば,

  • $xy$平面上の点$\mrm{A}(1,1)$, $\mrm{B}(4,3)$に対して,$\Ve{AB}=(3,2)$
  • 複素平面上の点$\mrm{A}(1+i)$, $\mrm{B}(4+3i)$に対して,$\Ve{AB}=3+2i$

が対応します.

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このように,複素平面上の2点$\mrm{A}(\alpha)$, $\mrm{B}(\beta)$があるとき,$\Ve{AB}$は複素数$\beta-\alpha$で表すことができます.

ベクトルの拡大縮小/回転

ここでもう一度,点$\mrm{A}(\alpha)$中心の[拡大縮小/回転]を考えます.

すなわち,複素平面上の点$\mrm{P}(z)$に対して,

  • 点$\mrm{A}(\alpha)$からの距離を$s$倍
  • 点$\mrm{A}(\alpha)$中心に偏角を$+\phi$

した点を$\mrm{Q}(z’)$とします.この状況は

  • ベクトル$\Ve{AP}$の長さを$s$倍
  • ベクトル$\Ve{AP}$の偏角を$+\phi$

したベクトルが$\Ve{AQ}$である,ということもできますね.

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このように,

  • 点$\mrm{A}(\alpha)$中心の回転
  • 点Aを始点とするベクトルの回転

は同じものとみることができます.

さて,点$\mrm{A}(\alpha)$中心の回転であることから,

\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}

が成り立つわけですが,$\mrm{A}(\alpha)$, $\mrm{P}(z)$, $\mrm{Q}(z’)$であることから,

  • 左辺の$z’-\alpha$は$\Ve{AQ}$を表し,
  • 右辺の$z-\alpha$は$\Ve{AP}$を表す

ということが分かります.このことをまとめると,以下のようになります.

[ベクトルの回転] $s\geqq0$, $\phi$を実数とする.複素平面上の3点$\mrm{A}(\alpha)$, $\mrm{P}(z)$, $\mrm{Q}(z’)$に対して,

\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}

が成り立つとき,ベクトル$\Ve{AQ}$は

  • ベクトル$\Ve{AP}$を$s$倍拡大
  • ベクトル$\Ve{AP}$を$+\phi$回転

したベクトルである.

このように,ベクトルの回転とみると$z’-\alpha$と$z-\alpha$をまとめて考えることができ,すっきりと理解することができますね.

最後までありがとうございました!

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