複素平面上の[拡大縮小]と[回転]は複素数をかけろ！

2つの複素数 $z$ , $w$ について，

$z$ の絶対値は $r$ ，偏角は $\theta$
$w$ の絶対値は $s$ ，偏角は $\phi$

とすると，

積 $zw$ の絶対値は $rs$
積 $zw$ の偏角は $\theta+\phi$

となるのでした．

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えることによって，複素平面上の[拡大縮小/回転]を考えることができます．

この記事では，複素平面上の

点の[拡大縮小/回転]
ベクトルの[拡大縮小/回転]

について説明します．

一連の記事はこちら

【複素数１｜虚数単位って一体なに？複素数の考え方と基礎知識】
【複素数２｜複素数を見る！？複素平面と絶対値の考え方】
【複素数３｜複素数の「極形式」は絶対値と偏角がポイント！】
【複素数４｜複素数の指数計算は[ド・モアブルの定理]が鉄板】
【複素数５｜方程式の[ド・モアブルの定理]の解法は３ステップ】
【複素数６｜虚数解をもつ方程式の重要ポイント２つを確認！】
【複素数７｜複素平面上の拡大縮小/回転は複素数をかけろ！】←今の記事

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点の拡大縮小と回転

複素平面上の点の[拡大縮小/回転]を

原点中心の場合
一般の点中心の場合

の２ステップで考えましょう．

原点中心の場合

冒頭で書いた[極形式の積]を公式の形で確認しておきましょう．

[極形式の積]　極形式で表された2つの複素数 $z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ , $w=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$ に対して，

$\begin{align*} zw=rs\{\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)}\} \end{align*}$

が成り立つ．

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えてみると，複素数 $z$ が表す点に対して，

原点 $\mrm{O}(0)$ からの距離を $s$ 倍
原点 $\mrm{O}(0)$ 中心に偏角を $+\phi$

した点が複素数 $zw$ の表す点となっています．

このことは，以下のようにまとめることができますね．

[原点中心の点の回転]　 $s\geqq0$ , $\phi$ を実数とする．複素平面上の点 $\mrm{P}(z)$ に対して，複素数

$\begin{align*} z'=z\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

が表す点 $\mrm{Q}(z')$ は

原点中心に $s$ 倍拡大
原点中心に $+\phi$ 回転

した点である．

要するに，複素平面上の点 $\mrm{P}(z)$ に対して，

原点からの距離を $s$ 倍したければ， $z$ に $s$ をかければよく
原点中心に偏角を $+\phi$ したければ， $z$ に $\cos{\phi}+i\sin{\phi}$ をかければよい

というわけですね．

一般の点中心の場合

次に，複素平面上の原点とは限らない点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心の[拡大縮小/回転]を考えましょう．

複素平面上の点 $\mrm{P}(z)$ に対して，

点 $\mrm{A}(\alpha)$ からの距離を $s$ 倍
点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心に偏角を $+\phi$

した点を $\mrm{Q}(z')$ としましょう．

このとき，点Aが原点 $\mrm{O}(0)$ にくるように点A, P, Qを平行移動すると，点Pは点 $\mrm{P'}(z-\alpha)$ ，点Qは点 $\mrm{Q'}(z'-\alpha)$ に移ります．

点 $\mrm{Q'}(w-\alpha)$ は，点 $\mrm{P'}(z-\alpha)$ に対して

原点 $\mrm{O}(0)$ からの距離を $s$ 倍
原点 $\mrm{O}(0)$ 中心に偏角を $+\phi$

した点となっているので，先ほどみた原点中心の[拡大縮小/回転]の考え方から

$\begin{align*} &z'-\alpha=(z-\alpha)\cot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \\\iff&z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}$

が成り立ちます．以上をまとめると，以下のようになりますね．

[点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心の点の回転]　 $s\geqq0$ , $\phi$ を実数とする．複素平面上の点 $\mrm{A}(\alpha)$ ，点 $\mrm{P}(z)$ に対して，複素数

$\begin{align*} z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}$

が表す点 $\mrm{Q}(z')$ は

原点中心に $s$ 倍拡大
原点中心に $+\phi$ 回転

した点である．

点 $\mrm{A}(\alpha)$ が原点にくるように全体を平行移動し，原点中心の[拡大縮小/回転]を考えればよいので，

$\begin{align*} z'=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})+\alpha \end{align*}$

を覚える必要はありませんね．

また，当然のことながら， $\alpha=0$ の場合には

$\begin{align*} z'=z\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

となって，原点中心の[拡大縮小/回転]と一致しています．

ベクトルの拡大縮小と回転

いまみた点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心の[拡大縮小/回転]の式は

$\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

でしたが，これは複素平面上のベクトルの[拡大縮小/回転]と考えると，すっきり説明ができます．

複素平面上のベクトル

$xy$ 平面は複素平面と同一視できるので， $xy$ 平面上のベクトルは複素平面上のベクトルと同一視できます．例えば，

$xy$ 平面上の点 $\mrm{A}(1,1)$ , $\mrm{B}(4,3)$ に対して， $\Ve{AB}=(3,2)$
複素平面上の点 $\mrm{A}(1+i)$ , $\mrm{B}(4+3i)$ に対して， $\Ve{AB}=3+2i$

が対応します．

このように，複素平面上の2点 $\mrm{A}(\alpha)$ , $\mrm{B}(\beta)$ があるとき， $\Ve{AB}$ は複素数 $\beta-\alpha$ で表すことができます．

ベクトルの拡大縮小/回転

ここでもう一度，点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心の[拡大縮小/回転]を考えます．

すなわち，複素平面上の点 $\mrm{P}(z)$ に対して，

点 $\mrm{A}(\alpha)$ からの距離を $s$ 倍
点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心に偏角を $+\phi$

した点を $\mrm{Q}(z')$ とします．この状況は

ベクトル $\Ve{AP}$ の長さを $s$ 倍
ベクトル $\Ve{AP}$ の偏角を $+\phi$

したベクトルが $\Ve{AQ}$ である，ということもできますね．

このように，

点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心の回転
点Aを始点とするベクトルの回転

は同じものとみることができます．

さて，点 $\mrm{A}(\alpha)$ 中心の回転であることから，

$\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

が成り立つわけですが， $\mrm{A}(\alpha)$ , $\mrm{P}(z)$ , $\mrm{Q}(z')$ であることから，

左辺の $z'-\alpha$ は $\Ve{AQ}$ を表し，
右辺の $z-\alpha$ は $\Ve{AP}$ を表す

ということが分かります．このことをまとめると，以下のようになります．

[ベクトルの回転]　 $s\geqq0$ , $\phi$ を実数とする．複素平面上の3点 $\mrm{A}(\alpha)$ , $\mrm{P}(z)$ , $\mrm{Q}(z')$ に対して，

$\begin{align*} z'-\alpha=(z-\alpha)\cdot s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{align*}$

が成り立つとき，ベクトル $\Ve{AQ}$ は

ベクトル $\Ve{AP}$ を $s$ 倍拡大
ベクトル $\Ve{AP}$ を $+\phi$ 回転

したベクトルである．

このように，ベクトルの回転とみると $z'-\alpha$ と $z-\alpha$ をまとめて考えることができ，すっきりと理解することができますね．