２つの複素数$z$, $w$について，

• $z$の絶対値は$r$，偏角は$\theta$
• $w$の絶対値は$s$，偏角は$\phi$

とすると，

• 積$zw$の絶対値は$rs$
• 積$zw$の偏角は$\theta+\phi$

となるのでした．

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えることによって，複素平面上の[拡大縮小/回転]を考えることができます．

この記事では，複素平面上の

• 点の[拡大縮小/回転]
• ベクトルの[拡大縮小/回転]

について説明します．

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そもそも高校数学で複素数が現れたのは，２次方程式の実数でない解を表すためでした．

実数は2乗すると必ず0以上となるため，$x$が実数なら$x^2+1=0$の左辺は1以上となりこの等式は成り立ち得ません．

そこで，$x$の方程式$x^2+1=0$の解を$i$と表し，これを虚数単位というのでした．

このことからも予想できるように，複素数は$n$次方程式と密接な関係があります．

前回の記事までで説明した複素数の基本性質を用いて，この記事では

• 虚数解をもつ$n$次方程式
• 1の3乗根$\omega$

について説明します．

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前回の記事では，複素数を極形式に変形すると，複素数の積や商を簡単に計算できることを説明しました．

その結果として，複素数の指数計算が簡単にできる[ド・モアブルの定理]が成り立つのでした．

このように，複素数は指数計算に強いことは意識しておいて欲しいポイントです．

[ド・モアブルの定理]を用いると，$x^4=1-\sqrt{3}$のような$x^n=c$型の方程式を解くことができます．

この記事では，この$x^n=c$型の方程式の解き方を説明します．

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極形式は「原点からの距離」と「偏角」を用いて複素数を表す方法で，前回の記事では複素数の極形式の定義と極形式の例を考えました．

極形式の良いところは積や商の計算が簡単にできる点で，特に複素数の指数計算については[ド・モアブルの定理]と呼ばれる非常に便利な定理があります．

[ド・モアブルの定理]を用いれば，$(1-i)^5$のような指数計算も慣れれば数秒で求めることができます．

この記事では，極形式の計算に関する基本的な性質を説明し，ド・モアブルの定理を例を用いて説明します．

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複素数は$a+bi$ ($a$, $b$は実数，$i$は虚数単位)として表される数のことをいうのでした．

この$a+bi$という書き方は実部が$a$で虚部が$b$というシンプルな表現で和や差を考える際には便利ですが，積や商を求める際には$a+bi$の表現では和や差のように単純に計算はできませんでした．

そこで，複素数を「極形式」という表し方をすると，複素数の積や商を簡単に計算することができます．

とくに$(a+bi)^n$など複素数の指数を計算しようとすると計算は非常に面倒ですが，極形式の指数計算は非常に簡単で瞬時に答えが求まります．

この極形式の指数計算に関する定理を[ド・モアブルの定理]といいます．

この[ド・モアブルの定理]の説明は次の記事に回すとして，この記事では極形式の基本を具体例を用いて説明します．

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前回の記事では，

• 2乗して$-1$になる虚数単位$i$
• $a$, $b$を用いて，$a+bi$と表される複素数

を定義しましたが，これだと直感的なイメージがわきにくいですね．

実は，複素数は平面上の点として表すことで，視覚的に理解できる「複素平面」というものがあります．

複素平面を考えて複素数を直感的に理解することで，複素数を使って様々なことができるようになります．

この記事では，複素平面の考え方を説明します．

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数学IIで２次方程式を解くためにちょこっと登場した複素数ですが，数学IIIではこの複素数が１つの大きな分野として登場します．

「複素数は存在しない数だ」という説明をする人もいますが，複素数は図示して「見る」ことができるので，一度イメージが分かってしまえば直感的に考えることができます．

しかし，複素数は現代科学ではなくてはならないものであり，たとえば身の回りのあらゆる電子機器は複素数の理論なくして作ることができないといって良いでしょう．

このように，複素数は存在しないどころか，非常に重要な役割を役割を担っています．

大学受験の先を見据えれば，複素数は大学以上の物理や数学では当たり前のように登場しますから，理系ならばしっかり扱えるようになっておきたい分野です．

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