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漸化式の基本3|数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」!

[数学的帰納法]は高校数学で学ぶ重要な証明法の1つで,「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮します.

実際に[数学的帰納法]は[背理法]と並んで,大学受験では超頻出です.

初めて[数学的帰納法]を学んだとき,多くの人は「なんか不思議な論法やなあ」と思うようで,実際に問題を解くにつれて腑に落ちてくる人は多いようです.

この記事では,[数学的帰納法]のイメージを最初に説明し,その後に実際に数学的帰納法を用いて例題を考えます.

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漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式

漸化式の基本1|漸化式の導入】の続きです.

前回の記事では,「漸化式とは何か」と「解ける漸化式」について説明しました.

念のため復習しておくと,「数列\{a_n\}に関する漸化式」とはa_nの値が順番に決まっていくような\{a_n\}の関係式のことを言い,「漸化式が解ける」とは漸化式から数列の一般項が導けることをいうのでした.

この記事では,「解ける漸化式」のうち,最も基本的な2種類の漸化式

  1. 等差数列を表す漸化式
  2. 等比数列を表す漸化式

について説明します.

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漸化式の基本1|漸化式とは?漸化式の考え方を例から解説!

「漸化式」は数列の知識をある程度前提とする内容のため,数列が苦手な人にとってはとても辛い分野かも知れません.

しかし,「数列」とそれに続く「漸化式」は数学のあらゆる場面に登場するため,必ずモノにしたい分野です.

高校数学で出題される「漸化式」は「解く」ことが出来るものが多く,次の記事で扱う

  • 等差数列の漸化式
  • 等比数列の漸化式

を中心とした「解ける漸化式」は空気を吸うように解けるようになっていたいところです.

とはいっても,「公式を使えるだけで理解していない」というのではよくありませんから,まずはこの記事で「漸化式」の考え方をしっかり理解してください.

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数列の基本6|[等差×等比]型数列の和は引き算がポイント

例えば,3,5,7,9,\dotsは等差数列で,2,6,18,54,\dotsは等比数列ですから,

    \begin{align*} 3\times2,\quad 5\times6,\quad 7\times18,\quad 9\times54,\ \dots \end{align*}

は等差数列,等比数列の各項で積を取った数列ですね.

このような[等差×等比]型の数列の第nまでの和は,nを使って表すことができます.

この記事では,「[等差×等比]型の数列の和」の求め方を解説し,具体的に[等差×等比]型の数列の例を挙げて計算します.

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数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和

[部分分数分解]を使うことで求めることのできる数列の和があります.

[部分分数分解]はマイナーな知識と思われがちですが,教科書に載っている基本的な知識ですし,数IIIでは[部分分数分解]が必要になる積分もあります.

また,部分分数分解は形を丸覚えしている人がいますが,考え方から理解していれば部分分数分解の公式は瞬時に導けます.

そのため,しっかり自分で導出できるようにしておいてください.

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数列の基本4|階差数列の一般項と公式

いわゆる[階差数列の公式]は一見複雑な形をしているように見えるためか,階差数列に苦手意識をもっている人は少なくないようです.

しかし,階差数列のイメージは単純なので,実は[階差数列の公式]も至って自然な公式です.

確かに1点だけ注意しなければならないことはありますが,それも難しい話ではなく,注意さえしていればミスしないポイントです.

この記事では,階差数列をイメージから確認したあと,階差数列の公式を説明します.

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数列の基本3|超重要な[1乗和/2乗和/3乗和の公式]

前回の記事で扱った

  • 等差数列の和
  • 等比数列の和

は数列の和の中でも簡単に求まるものですが,あまり変な数列を考えると数列の和が簡単に計算できないことも多いです.

有名な数列の和としは,

  • 1乗和1+2+3+\dots+n
  • 2乗和1^2+2^2+3^2+\dots+n^2
  • 3乗和1^3+2^3+3^3+\dots+n^3

は頻繁に現れる和で,これはしっかり覚えておく必要があります.

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