数列

漸化式の基本3|数学的帰納法の仕組みと例

漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式】の続きです.

「数学的帰納法」は「背理法」に並んで,高校数学で学ぶ大切な証明法の一つで,「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮することが多いです.

【参考記事:背理法1|背理法の仕組みと例
【参考記事:背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

「数学的帰納法」のイメージとしては「ドミノ倒し」に似ており,最初のピースを倒すと次々にピースが倒れていく感覚があります.

「数学的帰納法」は非常に大切なので,確実に押さえてください.

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漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式

漸化式の基本1|漸化式の導入】の続きです.

前回の記事では,「漸化式とは何か」と「解ける漸化式」について説明しました.

念のため復習しておくと,「数列\{a_n\}に関する漸化式」とはa_nの値が順番に決まっていくような\{a_n\}の関係式のことを言い,「漸化式が解ける」とは漸化式から数列の一般項が導けることをいうのでした.

この記事では,「解ける漸化式」のうち,最も基本的な2種類の漸化式

  1. 等差数列を表す漸化式
  2. 等比数列を表す漸化式

について説明します.

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漸化式の基本1|漸化式の導入

数列の基本6|等差×等比の和】の続きです.

「漸化式」は数列の知識をある程度前提とする分野であるため,数列が苦手な人にとってはとても辛い分野です.しかし,「数列」とそれに続く「漸化式」は数学のあらゆる場面に登場するため,必ずモノにしたい分野です.

高校数学で出題される「漸化式」は「解く」ことが出来るものが多く,それらの「解き方」は確立されています.そのため,「解ける漸化式」は空気を吸うように解けるようになっていることが望まれます.

とはいっても,「公式を使えるだけで理解していない」というのはよくないですから,まずはしっかり「漸化式」を理解してください.

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数列の基本6|等差×等比の和の求め方

[この記事の最後には,解説動画があります]

数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和】の続きです.

例えば,3,5,7,9,\dotsは等差数列で,2,6,18,54,\dotsは等比数列ですから,

3\times2,\ 5\times6,\ 7\times18,\ 9\times54,\ \dots

 は等差数列,等比数列の各項で積を取った数列です.このような数列の第nまでの和はnを使って表すことができます.

このような「等差×等比の数列の和」は頻出で,是非ともできるようになっておくことが望まれます.

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数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和

[この記事の最後には,解説動画があります]

数列の基本4|階差数列の一般項と和の公式】の続きです.

数列の和を求めるときに,「部分分数分解」を使うことがよくあります.

部分分数分解はマイナーな知識と思われがちですが,ちゃんと数Bの教科書にも載っていますし,理系の人は数IIIで分数関数を積分するときにもよく使います.

また,部分分数分解は形を丸覚えするのではなく,自分で導出できるようにしておいてください.部分分数分解が苦手な人はこの記事で自分のものにしてください.

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数列の基本4|階差数列の一般項と公式

[この記事の最後には,解説動画があります]

数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出】の続きです.

階差数列に苦手意識をもっている人は少なくないようです.しかし,階差数列そのものが難しいというより,「公式が理解できない」といった理由であることが多いです.

しかし,階差数列はイメージを持っていれば,至って自然な公式であることが分かります.

確かに,見た目はごつい印象を受ける公式ですが,苦手意識を持っていた人は,この記事で不安を解消してください.

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数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出

[この記事の最後には,解説動画があります]

前の記事【数列の基本2|等差数列と等比数列の和の公式】の続きです.

等差数列の和,等比数列の和は前回の記事で扱いました.他に数列の和で重要なものに1乗和,2乗和,3乗和があります.

1乗和1+2+3+\dots+n,2乗和1^2+2^2+3^2+\dots+n^2,3乗和1^3+2^3+3^3+\dots+n^3nを用いて表せるようになっておかなければなりません.

なお,1乗和の導出は簡単で,さらに3乗和は1乗和の2乗になっているので,実質的に覚えるのは2乗和だけで十分です.

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