漸化式の基本２｜漸化式の基本の[等差数列]と[等比数列]

前回の記事で説明したように，数列$\{a_n\}$に対して

$\begin{align*} a_{n+1}=a_n+2n \end{align*}$

のような項同士の関係式を漸化式といい，漸化式から一般項$a_n$を求めることを漸化式を解くというのでした．

漸化式はいつでも簡単に解けるとは限りませんが，簡単に解ける漸化式として

等差数列の漸化式
等比数列の漸化式

は他の解ける漸化式のベースになることが多く，確実に押さえておくことが大切です．

この記事では，この２タイプの漸化式「等差数列の漸化式」と「等比数列の漸化式」を説明します．

一連の記事はこちら

【漸化式の基本１｜漸化式とは？漸化式の考え方を例から解説！】
【漸化式の基本２｜漸化式の基本の[等差数列]と[等比数列]】←今の記事
【漸化式の基本３｜数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」！】

等差数列の漸化式
等比数列の漸化式
具体例

等差数列の漸化式

まず，等差数列を復習しましょう．

１つ次の項に移るごとに，同じ数が足されている数列を等差数列という．また，このときに１つ次の項に移るごとに足されている数を公差という．

この定義から，例えば公差３の等差数列$\{a_n\}$は

$a_2=a_1+3$
$a_3=a_2+3$
$a_4=a_3+3$
……

となっていますから，これらをまとめると

$\begin{align*} a_{n+1}=a_n+3\quad (n=1,2,3,\dots) \end{align*}$

と表せます．もちろん，逆にこの漸化式をもつ数列$\{a_n\}$は公差３の等差数列ですね．

公差を一般に$d$としても同じことですから，一般に次が成り立つことが分かります．

[等差数列]　$d$を定数とする．このとき，数列$\{a_n\}$について，次は同値である．

漸化式$a_{n+1}=a_n+d$が成り立つ．
数列$\{a_n\}$は公差$d$の等差数列である．

さて，公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の一般項は

$\begin{align*} a_{n}=a_1+(n-1)d\quad\dots(*) \end{align*}$

でしたから，今みた定理と併せて漸化式$a_{n+1}=a_n+d$は$(*)$と解けることになりますね．

数列１
最初の一歩は等差数列と等比数列！

中学入試などでは，例えば「,3,7,13,21,31,\square$の$\square$に入る数字を求めよ」といった問題が出題されることがあります．実はこれはまさに数列の問題で，これを詳しく扱っていくのが高校数...

等比数列の漸化式

まず，等差数列を復習しましょう．

１つ次の項に移るごとに，同じ数がかけられている数列を等比数列という．また，このときに１つ次の項に移るごとにかけられている数を公比という．

等比数列の漸化式についても，等差数列と並行に話を進めることができます．

この定義から，例えば公比３の等比数列$\{b_n\}$は

$b_2=3b_1$
$b_3=3b_2$
$b_4=3b_3$
……

となっていますから，これらをまとめると

$\begin{align*} b_{n+1}=3b_n\quad (n=1,2,3,\dots) \end{align*}$

と表せます．もちろん，逆にこの漸化式をもつ数列$\{b_n\}$は公比３の等差数列ですね．

公比を一般に$r$としても同じことですから，一般に次が成り立つことが分かります．

[等比数列]　$r$を定数とする．このとき，数列$\{b_n\}$について，次は同値である．

漸化式$b_{n+1}=rb_n$が成り立つ．
数列$\{b_n\}$は公比$r$の等比数列である．

さて，公比$d$の等比数列$\{a_n\}$の一般項は

$\begin{align*} a_{n}=a_1r^{n-1}\quad\dots(**) \end{align*}$

でしたから，今みた定理と併せて漸化式$b_{n+1}=rb_n$は$(**)$と解けることになりますね．

数列１
最初の一歩は等差数列と等比数列！

具体例

それでは具体例を考えましょう．

$a_1=1$を満たす数列$\{a_n\}$に対して，次の漸化式を解け．

$a_{n+1}=a_n+2$
$a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}$
$a_{n+1}=2a_n$
$a_{n+1}=-a_n$

ただ公式を適用しようとするのではなく，それぞれの漸化式を見て意味を考えることが大切です．

２を加えて次の項に移っているから公差２の等差数列
$-\frac{3}{2}$を加えて次の項に移っているから公差$-\frac{3}{2}$の等差数列
２をかけて次の項に移っているから公比２の等比数列
$-1$をかけて次の項に移っているから公比$-1$の等比数列

と考えれば，初項が$a_1=1$であることから直ちに漸化式を解くことができますね．

(1)　漸化式$a_{n+1}=a_n+2$より数列$\{a_n\}$は公差２の等差数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公差２を$n-1$回加えたものである．

よって，一般項$a_n$は

$\begin{align*} a_n =&a_1+2(n-1) \\=&1+2(n-1) \\=&2n-1 \end{align*}$

である．

(2)　漸化式$a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}$より公差$-\frac{3}{2}$の等差数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公差$-\frac{3}{2}$を$n-1$回加えたものである．

よって，一般項$a_n$は

$\begin{align*} a_n =&a_1-\frac{3}{2}(n-1) \\=&1-\frac{3}{2}(n-1) \\=&-\frac{3}{2}n+\frac{5}{2} \end{align*}$

である．

(3)　漸化式$a_{n+1}=2a_n$より公比２の等比数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公比２を$n-1$回かけたものである．

よって，一般項$a_n$は

$\begin{align*} a_n =&2^{n-1}a_1 \\=&2^{n-1}\cdot1 \\=&2^{n-1} \end{align*}$

である．

(4)　漸化式$a_{n+1}=-a_n$より公比$-1$の等比数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公比$-1$を$n-1$回かけたものである．

よって，一般項$a_n$は

$\begin{align*} a_n =&(-1)^{n-1}a_1 \\=&(-1)^{n-1}\cdot1 \\=&(-1)^{n-1} \end{align*}$

である．

次の記事では，証明で重要な手法である数学的帰納法について説明します．