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漸化式の基本2|漸化式の基本の[等差数列]と[等比数列]

前回の記事で説明したように,数列$\{a_n\}$に対して

\begin{align*} a_{n+1}=a_n+2n \end{align*}

のような項同士の関係式を漸化式といい,漸化式から一般項$a_n$を求めることを漸化式を解くというのでした.

漸化式はいつでも簡単に解けるとは限りませんが,簡単に解ける漸化式として

  • 等差数列の漸化式
  • 等比数列の漸化式

は他の解ける漸化式のベースになることが多く,確実に押さえておくことが大切です.

この記事では,この2タイプの漸化式「等差数列の漸化式」と「等比数列の漸化式」を説明します.

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等差数列の漸化式

まず,等差数列を復習しましょう.

1つ次の項に移るごとに,同じ数が足されている数列を等差数列という.また,このときに1つ次の項に移るごとに足されている数を公差という.

この定義から,例えば公差3の等差数列$\{a_n\}$は

  • $a_2=a_1+3$
  • $a_3=a_2+3$
  • $a_4=a_3+3$
  • ……

となっていますから,これらをまとめると

\begin{align*} a_{n+1}=a_n+3\quad (n=1,2,3,\dots) \end{align*}

と表せます.もちろん,逆にこの漸化式をもつ数列$\{a_n\}$は公差3の等差数列ですね.

公差を一般に$d$としても同じことですから,一般に次が成り立つことが分かります.

[等差数列] $d$を定数とする.このとき,数列$\{a_n\}$について,次は同値である.

  • 漸化式$a_{n+1}=a_n+d$が成り立つ.
  • 数列$\{a_n\}$は公差$d$の等差数列である.

さて,公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の一般項は

\begin{align*} a_{n}=a_1+(n-1)d\quad\dots(*) \end{align*}

でしたから,今みた定理と併せて漸化式$a_{n+1}=a_n+d$は$(*)$と解けることになりますね.

等比数列の漸化式

まず,等差数列を復習しましょう.

1つ次の項に移るごとに,同じ数がかけられている数列を等比数列という.また,このときに1つ次の項に移るごとにかけられている数を公比という.

等比数列の漸化式についても,等差数列と並行に話を進めることができます.

この定義から,例えば公比3の等比数列$\{b_n\}$は

  • $b_2=3b_1$
  • $b_3=3b_2$
  • $b_4=3b_3$
  • ……

となっていますから,これらをまとめると

\begin{align*} b_{n+1}=3b_n\quad (n=1,2,3,\dots) \end{align*}

と表せます.もちろん,逆にこの漸化式をもつ数列$\{b_n\}$は公比3の等差数列ですね.

公比を一般に$r$としても同じことですから,一般に次が成り立つことが分かります.

[等比数列] $r$を定数とする.このとき,数列$\{b_n\}$について,次は同値である.

  • 漸化式$b_{n+1}=rb_n$が成り立つ.
  • 数列$\{b_n\}$は公比$r$の等比数列である.

さて,公比$d$の等比数列$\{a_n\}$の一般項は

\begin{align*} a_{n}=a_1r^{n-1}\quad\dots(**) \end{align*}

でしたから,今みた定理と併せて漸化式$b_{n+1}=rb_n$は$(**)$と解けることになりますね.

具体例

それでは具体例を考えましょう.

$a_1=1$を満たす数列$\{a_n\}$に対して,次の漸化式を解け.

  1. $a_{n+1}=a_n+2$
  2. $a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}$
  3. $a_{n+1}=2a_n$
  4. $a_{n+1}=-a_n$

ただ公式を適用しようとするのではなく,それぞれの漸化式を見て意味を考えることが大切です.

  1. 2を加えて次の項に移っているから公差2の等差数列
  2. $-\frac{3}{2}$を加えて次の項に移っているから公差$-\frac{3}{2}$の等差数列
  3. 2をかけて次の項に移っているから公比2の等比数列
  4. $-1$をかけて次の項に移っているから公比$-1$の等比数列

と考えれば,初項が$a_1=1$であることから直ちに漸化式を解くことができますね.

(1) 漸化式$a_{n+1}=a_n+2$より数列$\{a_n\}$は公差2の等差数列だから,一般項$a_n$は初項$a_1$に公差2を$n-1$回加えたものである.

よって,一般項$a_n$は

\begin{align*} a_n =&a_1+2(n-1) \\=&1+2(n-1) \\=&2n-1 \end{align*}

である.

(2) 漸化式$a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}$より公差$-\frac{3}{2}$の等差数列だから,一般項$a_n$は初項$a_1$に公差$-\frac{3}{2}$を$n-1$回加えたものである.

よって,一般項$a_n$は

\begin{align*} a_n =&a_1-\frac{3}{2}(n-1) \\=&1-\frac{3}{2}(n-1) \\=&-\frac{3}{2}n+\frac{5}{2} \end{align*}

である.

(3) 漸化式$a_{n+1}=2a_n$より公比2の等比数列だから,一般項$a_n$は初項$a_1$に公比2を$n-1$回かけたものである.

よって,一般項$a_n$は

\begin{align*} a_n =&2^{n-1}a_1 \\=&2^{n-1}\cdot1 \\=&2^{n-1} \end{align*}

である.

(4) 漸化式$a_{n+1}=-a_n$より公比$-1$の等比数列だから,一般項$a_n$は初項$a_1$に公比$-1$を$n-1$回かけたものである.

よって,一般項$a_n$は

\begin{align*} a_n =&(-1)^{n-1}a_1 \\=&(-1)^{n-1}\cdot1 \\=&(-1)^{n-1} \end{align*}

である.

次の記事では,証明で重要な手法である数学的帰納法について説明します.

最後までありがとうございました!

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