漸化式の基本２｜等差数列，等比数列の漸化式

【漸化式の基本1|漸化式の導入】の続きです．

前回の記事では，「漸化式とは何か」と「解ける漸化式」について説明しました．

念のため復習しておくと，「数列 $\{a_n\}$ に関する漸化式」とは $a_n$ の値が順番に決まっていくような $\{a_n\}$ の関係式のことを言い，「漸化式が解ける」とは漸化式から数列の一般項が導けることをいうのでした．

この記事では，「解ける漸化式」のうち，最も基本的な2種類の漸化式

等差数列を表す漸化式
等比数列を表す漸化式

について説明します．

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等差数列を表す漸化式

実数 d を定数とし，漸化式 $a_{n+1}=a_n+d$ を考えます．この漸化式 $a_{n+1}=a_n+d$ は解ける漸化式で，一般項は公差 d の等差数列となります．

実際，漸化式 $a_{n+1}=a_n+d$ は $a_{n+1}-a_n=d$ と変形できるので， $a_2-a_1$ , $a_3-a_2$ ，……は全て d に等しいことが分かります．これは， $\{a_n\}$ が公差 d の等差数列であることに他なりません．

今のことを式で証明します．漸化式 $a_{n+1}=a_n+d$ から，一般項 $a_n$ を式変形で求めます．

$a_{n+1}=a_n+d,a_{n}=a_{n-1}+d,\dots,a_{3}=a_{2}+d,a_{2}=a_{1}+d$

なので，

$a_{n+1}=a_n+d=a_{n-1}+2d=\dots=a_{1}+nd$

となります．しかし，もともとは $n\ge1$ だったので $n+1\ge2$ であることに注意し， $n+1$ を $n$ に置き換えると $a_{n}=a_{1}+(n-1)d\ (n\ge2)$ となります．

ただし，この式に $n=1$ を代入すると $a_{1}=a_{1}$ となっていつでも正しいので，式 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ は $n+1\ge2$ のときだけでなく， $n=1$ のときにも正しいことが分かります．

以上から，漸化式 $a_{n+1}=a_n+d$ の一般項は $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ であることが分かりました．

確かに，これは等差数列ですね．

等比数列を表す漸化式

実数 r を定数とし，漸化式 $a_{n+1}=ra_n$ を考えます．この漸化式 $a_{n+1}=ra_n$ は解ける漸化式で，一般項は公比 r の等比数列となります．

実際，漸化式 $a_{n+1}=ra_n$ は $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r$ と変形できるので， $\dfrac{a_2}{a_1}$ , $\dfrac{a_3}{a_2}$ ，……は全て r に等しいことが分かります．これは， $\{a_n\}$ が公差 r の等差数列であることに他なりません．