数列の最初の一歩は等差数列と等比数列！

中学入試などでは，例えば

「$1,3,7,13,21,31,\square$の$\square$に入る数字を求めよ」

といった問題が出題されることがあります．

実はこれはまさに数列の問題で，これを詳しく扱っていくのが高校数学での数列です．

高校数学での数列で基礎となるのは

等差数列
等比数列

です．少し複雑な数列も等差数列または等比数列に帰着させることが多いので，この２つの数列はしっかり理解しておきましょう．

この記事では，これら

等差数列
等比数列

について説明します．

「数列」の一連の記事はこちら

・数列の基本
【１数列の基礎は等差数列と等比数列！】←今の記事
【２等差数列の和の公式を直感的に理解する方法】
【３等比数列の和の公式を具体例から理解する】
【４数列の和を表すシグマ記号Σの定義と性質】
【５超重要な１乗和/２乗和/３乗和の公式】
【６階差数列の考え方は簡単！階差数列の公式】
【７部分分数分解を用いて計算する数列の和】
【８ [等差×等比]型数列の和は引き算がポイント】

・漸化式の基本
【９漸化式とは？漸化式の考え方を例から解説！】
【10 等差数列，等比数列の漸化式】
【11 数学的帰納法はイメージはドミノ倒し！】

1 数列の基本
- 1.1 数列とは
- 1.2 数列の表し方
2 等差数列と等比数列
- 2.1 等差数列
- 2.2 等比数列
3 等差数列と等比数列の一般項
- 3.1 等差数列の一般項
- 3.2 等比数列の一般項
4 数列の和

数列の基本

まず，数列の基本から説明します．

数列とは

数列とは以下のものを言います．

数を一列に並べたものを数列という．数列の中でも

途中で終わる数列を有限数列
無限に続く数列を無限数列

という．

例えば，以下は全て数列です．

$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$
$2,\ 3,\ 4,\ 5,\dots$
$2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots$
$1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\dots$
$5,\ 168.2, -\pi,\ 25684,\dots$

最初のものは有限数列で，最初以外は全て無限数列ですね．

最後の数列には規則がなさそうに見えますが関係ありません．数が並んでいれば規則性があろうがなかろうが全て数列と言います．

数列の表し方

一般に，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots$を$\{a_n\}$と表します．

数列$\{a_n\}$について，$k$番目の数$a_k$を第$k$項という．また，第1項を初項といい，有限数列の最後の項を末項という．

さらに，任意の$n$に対して考える$a_n$を一般項という．

具体例１

一般項が$a_n=2n$の数列$\{a_n\}$は

$\begin{align*}&a_1=2\times1=2, \\&a_2=2\times2=4, \\&a_3=2\times3=6,\dots\end{align*}$

ですね．

具体例２

一般項が$b_n=\bra{-\frac{1}{2}}^n$の数列$\{b_n\}$は

$\begin{align*}&b_1=\bra{-\frac{1}{2}}^1=-\frac{1}{2},\quad \\&b_2=\bra{-\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{4},\quad \\&b_3=\bra{-\frac{1}{2}}^3=-\frac{1}{8},\dots\end{align*}$

ですね．

等差数列と等比数列

数が並んでさえいれば規則性があろうがなかろうが全て数列ではありますが，めちゃくちゃな数列を考えてもよい結果は得られそうにないですね．

そこで，最も考えやすい基本的な数列として

等差数列
等比数列

があります．

等差数列

等差数列とは以下のような数列を指します．

１つ次の項に移るごとに，同じ数が足されている数列を等差数列という．また，このときに１つ次の項に移るごとに足されている数を公差という．

具体例１

等差数列

$\begin{align*}1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\dots\end{align*}$

は初項$1$，公差$1$ですね．

具体例２

等差数列

$\begin{align*}3,\ 4.5,\ 6,\ 7.5,\ 9,\dots\end{align*}$

は初項$3$，公差$1.5$ですね．

具体例３

等差数列

$\begin{align*}7,\ 5,\ 3,\ 1,\ -1,\dots\end{align*}$

は初項$7$，公差$-2$ですね．

等比数列

等比数列も等差数列とほとんど同様に議論を進めることができます．

１つ次の項に移るごとに，同じ数がかけられている数列を等比数列という．また，このときに１つ次の項に移るごとにかけられている数を公比という．

具体例１

等比数列

$\begin{align*}1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots\end{align*}$

は初項$1$，公比$2$ですね．

具体例２

等比数列

$\begin{align*}9,\ 3,\ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\dots\end{align*}$

は初項$9$，公比$\dfrac{1}{3}$ですね．

具体例３

等比数列

$\begin{align*}2,\ -4,\ 8,\ -16,\ 32,\dots\end{align*}$

は初項$2$，公比$-2$ですね．

等差数列と等比数列の一般項

次に，等差数列と等比数列の一般項がどのように表せるかを考えましょう．

等差数列の一般項

初項$a$，公差$d$の等差数列は

初項は$a$
第２項は$a+d$
第３項は$a+2d$
第４項は$a+3d$
……
第１００項は$a+99d$
……

と項が順に求まっていきます．このことから，次が成り立つことがみてとれますね．

初項$a$，公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の一般項は

$\begin{align*}a_n=a+(n-1)d\end{align*}$

である．

このように，初項と公差が分かれば，等差数列の一般項が得られることは当たり前にしておきましょう．

また，逆に一般項が$a_n=a+(n-1)d$の数列$\{a_n\}$を考えると，

$\begin{align*}&a_1=a+(1-1)d=a, \\&a_{n+1}-a_{n}=(a+nd)-\{a+(n-1)d\}=d\end{align*}$

ですから$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列になります．よって，上の定理の逆も成り立ちますね．

等比数列の一般項

初項$a$，公比$r$の等比数列は

初項は$a$
第２項は$ar$
第３項は$ar^2$
第４項は$ar^3$
……
第１００項は$ar^99$
……

と項が順に求まっていきます．このことから，次が成り立つことがみてとれますね．

初項$a$，公比$d$の等比数列$\{a_n\}$の一般項は

$\begin{align*}a_n=ar^{n-1}\end{align*}$

である．

このように，初項と公比が分かれば，当比数列の一般項が得られることは当たり前にしておきましょう．

また，逆に一般項が$a_n=ar^{n-1}$の数列$\{a_n\}$を考えると，

$\begin{align*}&a_1=ar^{1-1}=a, \\&\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{ar^{n}}{ar^{n-1}}=r\end{align*}$

ですから$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列になります．よって，上の定理の逆も成り立ちますね．

等差数列と等比数列の違いは一定の数をかけていくか足していくかだけで，並行に話を進めることができますね．

数列の和

数列$\{a_n\}$に対して

$\begin{align*}a_1+a_2+\dots+a_n\end{align*}$

といった数列の和を求めたいことがよくあり，数列$\{a_n\}$が等差数列，等比数列の場合は和がどのように求められるかよく知られています．

そこで，次の記事では

等差数列の和の公式
等比数列の和の公式

を説明します．

数列１
最初の一歩は等差数列と等比数列！

数列の基本

数列とは

数列の表し方

具体例１

具体例２

等差数列と等比数列

等差数列

具体例１

具体例２

具体例３

等比数列

具体例１

具体例２

具体例３

等差数列と等比数列の一般項

等差数列の一般項

等比数列の一般項

数列の和

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