1乗和，2乗和，3乗和の公式｜導出法から理解しよう

前回の記事で扱った

等差数列の和
等比数列の和

は数列の和の中でも簡単に求まるものですが，あまり変な数列を考えると数列の和が簡単に計算できないことも多いです．

有名な数列の和としは，

1乗和 $1+2+3+\dots+n$
2乗和 $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$
3乗和 $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$

は頻繁に現れる和で，これはしっかり覚えておく必要があります．

一連の記事はこちら

【数列の基本１｜等差数列と等比数列の一般項】
【数列の基本２｜等差数列と等比数列の和の公式】
【数列の基本３｜超重要な[１乗和/２乗和/３乗和の公式]】←今の記事
【数列の基本４｜階差数列の一般項と公式】
【数列の基本５｜部分分数分解を用いて計算する数列の和】
【数列の基本６｜等差×等比の和の求め方】

【漸化式の基本１｜漸化式とは？漸化式の考え方を例から解説！】
【漸化式の基本２｜等差数列，等比数列の漸化式】
【漸化式の基本３｜数学的帰納法の仕組みと例】

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1乗和，2乗和，3乗和の公式

以下が1乗和，2乗和，3乗和の公式です．

[公式]　次の和の公式が成り立つ．

$\begin{align*} &1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \\&1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&1^3+2^3+\dots+n^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

なお，「1乗和」という表現は少し気持ち悪いですが，「2乗和」，「3乗和」との対応で「1乗和」という表現を使うことにします．

同じことですが，和の $\dsum$ を用いると

$\begin{align*} &\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

と同じですね．

さて，後に述べるように1乗和はすぐに導けますが，2乗和，3乗和の公式は覚えてしまうことを推奨しています．

2乗和，3乗和の導出を知っておくことは大切ですが，2乗和と3乗和の導出は時間がかかってしまうため，公式を覚えておかないと時間のロスになってしまうのです．

とはいえ，3乗和は1乗和の2乗になっているので覚えやすいですね．ですから，結局覚えるのはほとんど2乗和だけで良いことになりますね．

1乗和はすぐに導出できるが，2乗和と3乗和はすぐには導出できないので覚えておく．

公式の導出

1乗和は「等差数列の和の公式」もしくは，「直感的な方法」からすぐに分かります．

また，2乗和，3乗和は同じ方法で導出します．この2乗和の公式，3乗和の導出法は「階差数列」の公式を求めるのと似た方法なので，この導出法は知っておいてください．

1乗和の公式の導出

1乗和の公式は「等差数列の和の公式からの導出法」と，「直感的な導出法」の2つが簡単です．

等差数列の和の公式からの導出法

初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和は

$\begin{align*} a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}$

となることを思い出しましょう．

【前回の記事：数列の基本２｜等差数列と等比数列の和の公式】

数列の和は簡単に求まるわけではありませんが，「等差数列の和」と「等比数列の和」はとても簡単に求めることができます．等差数列の和は平均を考えることで求まり，等比数列の和は $x^n-y^n$ の因数分解を用いることで求まります．

等差数列の和の中でも，初項1，公差1のときの和が1乗和なので，この等比数列の和の公式に $(a,d)=(1,1)$ を代入して

$\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

と1乗和の公式が得られます．

視覚的な導出法

視覚的に導出することもできます．

1個のブロック，2個のブロック，3個のブロック，4個のブロック，……を以下のように並べていきましょう．

これを $n$ まで続けると， $1+2+\dots+n$ のブロックが下図のように並びます．

このブロックと同じものを逆さまにして連結させると，数のように $n\times(n+1)$ の長方形になります．

この長方形は $n(n+1)$ 個のブロックで構成されており，元の $1+2+3+\dots+n$ はその半分なので，

$\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

が得られました．

2乗和の公式の導出

2乗和の公式のためには，次の等式が成り立つことに注意しておきます．

$\begin{align*} k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1 \end{align*}$

これは左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かります．

この等式の $k$ に $k=1,2,\dots,n$ を代入したものをすべてを足し合わせると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &n^3-(n-1)^3&=&3n^2&-&3n&+&1\\ &&\vdots&&&&&\\ &3^3-2^3&=&3\cdot3^2&-&3\cdot3&+&1\\ &2^3-1^3&=&3\cdot2^2&-&3\cdot2&+&1\\ +)&1^3-0^3&=&3\cdot1^2&-&3\cdot1&+&1\\ \hline &n^3-0^3&=&3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&-&3\sum\limits_{k=1}^{n}k&+&n \end{matrix} \end{align*}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って $n^3$ と0だけが残っています．こうして等式

$\begin{align*} n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+n \end{align*}$

が得られました．この右辺の第2項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k$ は1乗和 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ なので，

$\begin{align*} n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-\frac{3n(n+1)}{2}+n \end{align*}$

となります．これを整理すると，

$\begin{align*} 3\sum_{k=1}^{n}k^2 =&n^3+\frac{3n(n+1)}{2}-n \\=&\frac{n\brb{2n^2+3(n+1)-2}}{2} \\=&\frac{n\bra{2n^2+3n+1}}{2} \\=&\frac{n(2n+1)(n+1)}{2} \end{align*}$

となるので，両辺を3で割って，2乗和の公式

$\begin{align*} \dsum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6} \end{align*}$

が得られます．

3乗和の公式の導出

3乗和の公式の導出も2乗和の公式の導出と同じ方法なので，2乗和の公式の導出と並行に議論を進められます．

まず，

$\begin{align*} k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1 \end{align*}$

であることも左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かりますね．

この $k$ に $k=1,2,\dots,n$ を代入して足し合わせると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &n^4-(n-1)^4&=&4n^3&-&6n^2&+&4n&-&1\\ &&\vdots&&&&&&&\\ &3^4-2^4&=&4\cdot3^3&-&6\cdot3^2&+&4\cdot3&-&1\\ &2^4-1^4&=&4\cdot2^3&-&6\cdot2^2&+&4\cdot2&-&1\\ +)&1^4-0^4&=&4\cdot1^3&-&6\cdot1^2&+&4\cdot1&-&1\\ \hline &n^4-0^4&=&4\sum\limits_{k=1}^{n}k^3&-&6\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&+&4\sum\limits_{k=1}^{n}k&-&n \end{matrix} \end{align*}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って $n^4$ と0だけが残っています．こうして等式

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\dsum_{k=1}^{n}k^2+4\dsum_{k=1}^{n}k-n \end{align*}$

が得られました．右辺の第2項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$ は2乗和 $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ，第3項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$ は1乗和 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ なので，

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\times\dfrac{n(n+1)}{2}-n \end{align*}$

となります．約分して，

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n \end{align*}$

となります．これを整理すると，

$\begin{align*} 4\dsum_{k=1}^{n}k^3 =&n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n \\=&n\brb{n^3+(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1} \\=&n\brb{n^3+(2n^2+3n+1)-(2n+2)+1} \\=&n\bra{n^3+2n^2+n} \\=&n^2\bra{n^2+2n+1} \\=&n^2(n+1)^2 \end{align*}$