数列５<br>超重要な１乗和・２乗和・３乗和の公式

前回の記事で扱った

等差数列の和
等比数列の和

は数列の和の中でも簡単に求まるものですが，あまり変な数列を考えると数列の和が簡単に計算できないことも多いですが，

１乗和$1+2+3+\dots+n$
２乗和$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$
３乗和$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$

は頻繁に現れる和で，計算することができます．

「数列」の一連の記事

１乗和，２乗和，３乗和の公式
公式の導出

１乗和，２乗和，３乗和の公式

以下が１乗和，２乗和，３乗和の公式です．

[公式]　次の和の公式が成り立つ．

$\begin{align*} &1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \\&1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&1^3+2^3+\dots+n^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

なお，「１乗和」という表現は少し気持ち悪いですが，「２乗和」，「３乗和」との対応で「１乗和」という表現を使うことにします．

同じことですが，和の$\sum$を用いると

$\begin{align*} &\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

とも書けますね．

さて，後に述べるように１乗和はすぐに導けますが，２乗和，３乗和の公式は覚えてしまうことを推奨しています．

２乗和，３乗和の導出を知っておくことは大切ですが，２乗和と３乗和の導出は時間がかかってしまうため，公式を覚えておかないと時間のロスになってしまうのです．

とはいえ，３乗和は１乗和の２乗になっているので覚えやすいですね．

ですから，結局覚えるのはほとんど２乗和だけで良いことになりますね．

公式の導出

１乗和は「等差数列の和の公式」もしくは，「直感的な方法」からすぐに分かります．

また，２乗和，３乗和は同じ方法で導出します．

この２乗和の公式，３乗和の導出法は「階差数列」の公式を求めるのと似た方法なので，この導出法は知っておいてください．

１乗和の公式の導出

1乗和の公式は「等差数列の和の公式からの導出法」と，「直感的な導出法」の２つが簡単です．

等差数列の和の公式からの導出法

初項$a$，公差$d$の等差数列の初項から第$n$項までの和は

$\begin{align*} a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}$

となることを思い出しましょう．

数列２
等差数列の和の公式を直感的に理解する方法

基本的な数列である等差数列の和を求める公式はよく知られています．この記事では，等差数列の和の公式を直感的に理解する方法を紹介し，具体例から使い方を説明します．

等差数列の和の中でも，初項１，公差１のときの和が１乗和なので，この等比数列の和の公式に$(a,d)=(1,1)$を代入して

$\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

と1乗和の公式が得られます．

視覚的な導出法

視覚的に導出することもできます．

１個のブロック，２個のブロック，３個のブロック，４個のブロック，……を以下のように並べていきましょう．

Rendered by QuickLaTeX.com

これを$n$まで続けると，$1+2+\dots+n$のブロックが下図のように並びます．

Rendered by QuickLaTeX.com

このブロックと同じものを逆さまにして連結させると，数のように$n\times(n+1)$の長方形になります．

Rendered by QuickLaTeX.com

この長方形は$n(n+1)$個のブロックで構成されており，元の$1+2+3+\dots+n$はその半分なので，

$\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

が得られました．

２乗和の公式の導出

[２乗和の公式]の導出には，次の等式を用います．

$\begin{align*} k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1 \end{align*}$

これは左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かります．

この等式の$k$に$k=1,2,\dots,n$を代入したものをすべてを足し合わせると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &n^3-(n-1)^3&=&3n^2&-&3n&+&1\\ &&\vdots&&&&&\\ &3^3-2^3&=&3\cdot3^2&-&3\cdot3&+&1\\ &2^3-1^3&=&3\cdot2^2&-&3\cdot2&+&1\\ +)&1^3-0^3&=&3\cdot1^2&-&3\cdot1&+&1\\ \hline &n^3-0^3&=&3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&-&3\sum\limits_{k=1}^{n}k&+&n \end{matrix} \end{align*}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って$n^3$と０だけが残っていますね．こうして等式

$\begin{align*} n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+n \end{align*}$

が得られました．この右辺の第２項の$\sum\limits_{k=1}^{n}k$は１乗和$\dfrac{n(n+1)}{2}$なので，

$\begin{align*} n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-\frac{3n(n+1)}{2}+n \end{align*}$

となります．これを整理すると，

$\begin{align*} 3\sum_{k=1}^{n}k^2 =&n^3+\frac{3n(n+1)}{2}-n \\=&\frac{n\brb{2n^2+3(n+1)-2}}{2} \\=&\frac{n\bra{2n^2+3n+1}}{2} \\=&\frac{n(2n+1)(n+1)}{2} \end{align*}$

となるので，両辺を３で割って，[２乗和の公式]

$\begin{align*} \dsum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6} \end{align*}$

が得られます．

３乗和の公式の導出

[３乗和の公式]の導出は[２乗和の公式]の導出と同じ方法でできます．まず，

$\begin{align*} k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1 \end{align*}$

であることも左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かりますね．

この$k$に$k=1,2,\dots,n$を代入して足し合わせると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &n^4-(n-1)^4&=&4n^3&-&6n^2&+&4n&-&1\\ &&\vdots&&&&&&&\\ &3^4-2^4&=&4\cdot3^3&-&6\cdot3^2&+&4\cdot3&-&1\\ &2^4-1^4&=&4\cdot2^3&-&6\cdot2^2&+&4\cdot2&-&1\\ +)&1^4-0^4&=&4\cdot1^3&-&6\cdot1^2&+&4\cdot1&-&1\\ \hline &n^4-0^4&=&4\sum\limits_{k=1}^{n}k^3&-&6\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&+&4\sum\limits_{k=1}^{n}k&-&n \end{matrix} \end{align*}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って$n^4$と０だけが残っています．こうして等式

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\dsum_{k=1}^{n}k^2+4\dsum_{k=1}^{n}k-n \end{align*}$

が得られました．右辺の第２項の$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$は２乗和$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，第３項の$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$は１乗和$\dfrac{n(n+1)}{2}$なので，

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\times\dfrac{n(n+1)}{2}-n \end{align*}$

となります．約分して，

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n \end{align*}$

となります．これを整理すると，

$\begin{align*} 4\dsum_{k=1}^{n}k^3 =&n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n \\=&n\brb{n^3+(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1} \\=&n\brb{n^3+(2n^2+3n+1)-(2n+2)+1} \\=&n\bra{n^3+2n^2+n} \\=&n^2\bra{n^2+2n+1} \\=&n^2(n+1)^2 \end{align*}$