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図形と方程式一覧

図形と方程式9|2円の共有点を通る円と直線はどう求める?

2点A, Bで交わる円C_1の方程式と円C_2の方程式が与えられたときに,2共有点A, Bを通る円や直線の方程式はどのように求められるでしょうか?

素朴に考えるなら,円C_1の方程式と円C_2の方程式を連立させて解くことでA, Bの座標が得られ,直線ABはここから求めることができます.

しかし,円の方程式は2次なので,計算は煩雑になるのでこの直接的なアプローチはあまり上手くありませんし,円の方程式を求めるのはさらに面倒そうです.

実は2点A, Bを通る直線や円までもが,一瞬で求められてしまう公式があります.

この公式は非常に汎用性が高いものなので,是非とも成り立つ理由から理解して身に付けてください.

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図形と方程式8|円の接線の方程式は一発で求めよう!

前回の記事では,どのようなときに

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

となるのかについて説明しました.

2つめのパターンの「直線と円がちょうど1つの共有点をもつ(接する)場合」について,実はxy平面において

  • Cの方程式
  • 円周上の点Pの座標

が分かれば,円Cの点Pでの接線の方程式が求められます.

この記事では,この接線の方程式の求め方を説明します.

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図形と方程式7|[円と直線の共有点]の2つの考え方とコツ

前回の記事までで,xy平面上の円と直線について説明してきました.

この記事では,xy平面上の円と直線の関係について説明します.

円と直線の位置関係は,

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

の3種類あります.

直線の方程式と円の方程式が与えられたとき,これら1~3のいずれになるのかを考える方法には

  • 判別式
  • 点と直線の距離

の2種類あり,これらはそれぞれ得意な場合が異なります.

この記事では,この2種類の考え方とそれぞれの得意な場合を説明します.

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図形と方程式6|2種類の[円の方程式]をマスターしよう

前回の記事までで,xy平面上の点や直線に関する性質について説明しました.

「円」は「中心の位置」と「半径」が分かれば描くことができます.これは,コンパスで円を書くことをイメージすれば分かりやすいでしょう.

一般に,xy平面上の中心(x_1,y_1),半径 r の「円の方程式」は

    \begin{align*} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2 \end{align*}

と表されます.この記事では,xy平面上の「円」について説明します.

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図形と方程式5|[2点間の距離]と[点と直線の距離]

座標上で考える距離については

  • 2点が与えられたときの[2点間の距離]
  • 1点と1直線が与えられたときの[点と直線の距離]

の2つが重要です.

[2点間の距離]は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが,[点と直線の距離]の公式は式の形が少し複雑で苦手意識のある人も少なくないようです.

この記事では,この2種類の距離

  • 2点間の距離
  • 点と直線の距離

の求め方を考えます.

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図形と方程式4|一般の直線の方程式と[平行・垂直条件]

xy平面上の傾きをもつ直線はy=ax+bの形で表されることを前回の記事で説明しました.

しかし,y=ax+bの式でxy平面上の全ての直線が表せるわけではありません.

そこで,y=ax+bでは表せない直線も含めて表せる直線の方程式を[一般の直線の方程式]といいます.

この記事では,[一般の直線の方程式]の基本事項について説明したのち,[一般の直線の方程式]の

  • 平行条件
  • 垂直条件

を説明します.

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図形と方程式3|直線の「傾き」の考え方を理解しよう!

前の記事では,xy平面上の「方程式が表すグラフ」がそもそも一体何なのかを説明しました.

平面上の図形の中で「直線」は最も単純な図形の1つでしょう.

実際,xy平面上の直線はax+by+c=0の形の方程式で表すことができ,xy平面上の図形の中でも基本中の基本です.

この記事では,xy平面上の直線のうちでも「傾きをもつ直線」について説明します.

なお,傾きを持たない場合も含む[一般の直線]については,次の記事で説明します.

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