図形と方程式8|円の接線の方程式は一発で求めよう!

前回の記事では,どのようなときに

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

となるのかについて説明しました.

2つめのパターンの「直線と円がちょうど1つの共有点をもつ(接する)場合」について,実は$xy$平面において

  • 円$C$の方程式
  • 円周上の点Pの座標

が分かれば,円$C$の点Pでの接線の方程式が求められます.

この記事では,この接線の方程式の求め方を説明します.

原点中心の円に接する直線

まずは原点中心,半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$に接する直線の方程式は次で求められます.

[原点中心の円の接線] 原点O中心,半径$r$の円$C:x^2+y^2=r^2$ $(r>0)$に点$\mrm{P}(\alpha,\beta)$で接する直線$\ell$の方程式は

\begin{align*} \ell:\alpha x+\beta y=r^2 \end{align*}

である.

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形としては,円の方程式$x^2+y^2=r^2$の

  • $x$を1つだけ$\alpha$に変えて
  • $y$を1つだけ$\beta$に変えたもの

になっていますね.

具体例

公式の導出の前に,具体例を見てみましょう.

次の円$C$と円$C$上の点Pについて,点Pでの円$C$の接線の方程式を求めよ.

  1. $C:x^2+y^2=4$,$\mrm{P}(1,\sqrt{3})$
  2. $C:x^2+y^2=9$,$\mrm{P}(0,3)$
  3. $C:x^2+y^2=2$,$\mrm{P}(-\sqrt{2},0)$

(1) 求める接線の方程式は

\begin{align*} &1\cdot x+\sqrt{3}\cdot y=4 \\\iff& x+\sqrt{3}y=4 \end{align*}

である.

(2) 求める接線の方程式は

\begin{align*} &0\cdot x+3\cdot y=9 \\\iff& 3y=9 \\\iff& y=3 \end{align*}

である.

(3) 求める接線の方程式は

\begin{align*} &(-2)\cdot x+0\cdot y=4 \\\iff& -2x=4 \\\iff& x=-2 \end{align*}

である.

$xy$平面上の円$C$の方程式と円$C$上の点Pの座標が与えられたとき,点Pでの円$C$の方程式は公式より直ちに求まる.

公式の導出

それでは公式を証明しましょう.

まずは直線OPの方程式を求めます.

[1] $\alpha=0$のとき

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直線OPは

  • 原点$\mrm{O}(0,0)$を通り
  • 傾きは$\dfrac{\beta}{\alpha}$なので

直線OPの方程式$y=\dfrac{\beta}{\alpha}x$ですから,分母を払って整理すると,

\begin{align*} \mrm{OP}:\beta x-\alpha y=0\quad(*) \end{align*}

となります.

[2] $\alpha=0$のとき

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点Pは$y$軸上に存在するので,直線OPの方程式は$x=0$と表せます.

また,点Aが円$C$上にあることから$\alpha$と$\beta$は同時に0にはならないから$\beta\neq0$なので,

\begin{align*} x=0 \iff& \beta x=0 \\\iff& \beta x-\alpha y=0 \end{align*}

となります.よって,[1]と同じく直線OPの方程式は$\beta x-\alpha y=0$となることが分かりました.

さて,

  • 直線$\ell$は点$\mrm{P}(\alpha,\beta)$を通り,
  • 直線$\ell$は点Pで円$C$に接しているので,直線$\ell$と直線OPは垂直

となるので,直線OPの方程式から直線$\ell$の方程式も得られますね.

直線$\ell$の方程式は点$\mrm{P}(\alpha,\beta)$を通り,直線$\mrm{OP}:\beta x-\alpha y=0$に垂直でしたから,直線$\ell$の方程式は

\begin{align*} \ell:-(-\alpha) (x-\alpha)+\beta (y-\beta)=0 \end{align*}

となります.点$\mrm{A}(\alpha,\beta)$が円$C:x^2+y^2=r^2$上の点であることから$\alpha^2+\beta^2=r^2$であることに注意すると,この直線$\ell$の方程式は

\begin{align*} &\alpha(x-\alpha)+\beta(y-\beta)=0 \\\iff&\alpha x+\beta y=\alpha^2+\beta^2 \\\iff&\alpha x+\beta y=r^2 \end{align*}

となり,公式が導出できましたね.

なお,「平行/垂直な直線」と「通る点」から直線の方程式を求める方法については,以下の記事を参照してください.

一般の中心の円に接する直線

次に,原点中心とは限らない円の場合の接線の方程式を考えます.

[一般の円の接線] 点$(p,q)$中心,半径$r$の円$C:(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$に点$\mrm{P}(\alpha,\beta)$で接する直線$\ell$の方程式は次で得られる.

\begin{align*} \ell:(\alpha-p)(x-p)+(\beta-q)(y-q)=r^2 \end{align*}

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先ほどの原点中心の円の場合と同じく,この場合にも円の方程式$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$の

  • $x$を1つだけ$\alpha$に変えて
  • $y$を1つだけ$\beta$に変えたもの

になっています.

導出は先ほどの原点中心の場合の結果で,$xy$平面上の平行移動を考えれば以下のように得られます.

円$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$は点$(p,q)$中心なので,

  • $x$軸方向に$-p$
  • $y$軸方向に$-q$

平行移動させると,原点中心の円$C’:x^2+y^2=r^2$となります.

同じ平行移動で点Pは$\mrm{P}'(\alpha-p,\beta-q)$に移動し,円$C’$の点P’での接線$\ell’$の方程式は[原点中心の円の接線]の公式より

\begin{align*} \ell':(\alpha-p)x+(\beta-q)y=r^2 \end{align*}

となります.この接線$\ell’$を先ほどの平行移動と逆に動かせば,求めたかった接線$\ell$になるので,接線$\ell$の方程式は

\begin{align*} \ell:(\alpha-p)(x-p)+(\beta-q)(y-q)=r^2 \end{align*}

となり,公式が導出できました.

最後までありがとうございました!

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