図形と方程式８｜円の接線の方程式

【図形と方程式の基本7|円と直線の共有点】の続きです．

前の記事では，どのようなときに

直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
直線と円が共有点をもたない

となるのかについて説明しました．この記事では，2の「直線と円がちょうど1つの共有点をもつ(接する)場合」について，接線が円に対してどのように得られるのかを説明します．

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1 円に接する直線の方程式
2 公式の導出
3 補足

円に接する直線の方程式

原点中心，半径 $r$ の円 $x^2+y^2=r^2$ に接する直線の方程式を考え，円と直線の接線の座標を $(\alpha,\beta)$ とします．

このときの直線の方程式は次で求められます．

[定理]　原点中心，半径 $r$ の円 $x^2+y^2=r^2$ に点 $(\alpha,\beta)$ で接する直線 $l$ の方程式は次で得られる．

$l:\alpha x+\beta y=r^2$

形としては，円の方程式 $x^2+y^2=r^2$ の $x$ を1つだけ $\alpha$ に変え， $y$ を1つだけ $\beta$ に変えたものになっています．

これはベクトルを使えばまさに直ちに導出される事実なのですが，ここではベクトルを使わずに図形と方程式的に考えてみます．

公式の導出

直線の方程式は $y$ 軸に平行な場合， $x$ 軸に平行な場合は少し特殊でした．

ですから，[定理]の導出では，

接線 $l$ が $x$ 軸に平行な場合
接線 $l$ が $y$ 軸に平行な場合
接線 $l$ が $x$ 軸にも $y$ 軸にも平行でない場合

に場合分けして考えます．

接線がx軸に平行な場合

このとき，直線 $l$ は点 $(0,r)$ または $(0,-r)$ で円に接します．

点 $(0,r)$ で接する場合，直線 $l$ の方程式は $y=r$ です．いま， $(\alpha,\beta)=(0,r)$ から $\alpha=0,\beta=r$ ですから， $l:y=r$ は

$y=r\Leftrightarrow 0x+ry=r^2\Leftrightarrow \alpha x+\beta y=r^2$

と書き換えられます．

したがって，確かに直線 $l$ は $\alpha x+\beta y=r^2$ と書けることが分かり，[定理]が成り立つことが分かります．

点 $(-r,0)$ で接する場合も同様に，[定理]が成り立ちます．

接線がy軸に平行な場合

このとき，直線 $l$ は点 $(r,0)$ または $(-r,0)$ で円に接します．

点 $(r,0)$ で接する場合，直線 $l$ の方程式は $x=r$ です．いま， $(\alpha,\beta)=(r,0)$ から $\alpha=r,\beta=0$ ですから， $l:x=r$ は

$x=r\Leftrightarrow rx+0y=r^2\Leftrightarrow \alpha x+\beta y=r^2$

と書き換えられます．

したがって，確かに直線 $l$ は $\alpha x+\beta y=r^2$ と書けることが分かり，[定理]が成り立つことが分かります．

点 $(-r,0)$ で接する場合も同様に，[定理]が成り立ちます．

接線がx軸にもy軸にも平行でない場合

このとき， $\alpha,\beta$ はどちらも0ではありません．

原点と接点 $(\alpha,\beta)$ を結んだ直線を $L$ とすると，直線 $L$ の傾きが $\dfrac{\beta}{\alpha}$ であることから，

$L:y=\dfrac{\beta}{\alpha}x$

と分かります．よって，この式で分母を払って整理することで， $L:\alpha{y}-\beta{x}=0$ であると分かります．接線 $l$ は点 $(\alpha,\beta)$ を通り，直線 $L$ と直交するから，

$l:\alpha(x-\alpha)+\beta(y-\beta)=0$

と分かります．

【参考記事：図形と方程式の基本4|2直線の関係)】

この式を整理すると， $l:\alpha x+\beta y=\alpha^2+\beta^2$ です．

さらに， $(\alpha,\beta)$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点なので， $\alpha^2+\beta^2=r^2$ が成り立ちます．したがって， $l:\alpha x+\beta y=r^2$ となり，[定理]が成り立つことが分かります．

補足

3つ目の「接線が $x$ 軸にも $y$ 軸にも平行でない場合」の説明を見ればわかるように，直線 $l$ は $\alpha x+\beta y=r^2$ でなく， $\alpha(x-\alpha)+\beta(y-\beta)=0$ と書くこともできます．

[定理]では，原点中心の円に関して考えてきましたが，実はより広く次の定理が成り立ちます．

[より広い定理]　点 $(x_1,y_1)$ 中心，半径 $r$ の円 $(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$ に点 $(\alpha,\beta)$ で接する直線 $l$ の方程式は次で得られる．

$l:(x_1-\alpha)(x-\alpha)+(y_1-\beta)(y-\beta)=0$

[定理]は[より広い定理]の $x_1=y_1=0$ の場合ですね．

形としては，[より広い定理]も円の方程式 $(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$ の $x$ を1つだけ $\alpha$ に変え， $y$ を1つだけ $\beta$ に変えたものになっています．

これもベクトルを使えばまさに直ちに導出される事実です．これこそ図形と方程式的に考えると計算が面倒で，是非ともベクトルを使って説明したいところです．

この記事では書きませんが，この直線の方程式の本質は「ベクトルの内積」にあります．興味のある人は考察してみてください．

【図形と方程式の基本9|2円の共有点を通る円と直線】に続きます．