図形と方程式６｜２種類の[円の方程式]をマスターしよう

前回の記事までで，$xy$平面上の点や直線に関する性質について説明しました．

「円」は「中心の位置」と「半径」が分かれば描くことができます．これは，コンパスで円を書くことをイメージすれば分かりやすいでしょう．

一般に，$xy$平面上の中心$(x_1,y_1)$，半径$r$の「円の方程式」は

$\begin{align*} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2 \end{align*}$

と表されます．この記事では，$xy$平面上の「円」について説明します．

一連の記事はこちら

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1 円の定義と特徴付け
- 1.1 円の定義
- 1.2 円の特徴付け
2 円の方程式
3 まとめ

円の定義と特徴付け

「円の方程式」を考える前に，「円」の定義と特徴付けを最初に確認しておきます．

円の定義

「円」の定義は次の通りです．

$r>0$とする．平面上の図形Cが円であるとは，ある１点OとC上の全ての点との距離が$r$であることをいう．また，この点Oを円Cの中心といい，$r$を半径という．

平たく言えば，「ある１点からの距離が等しい点を集めたもの」を円と言うわけですね．

円の特徴付け

コンパスで円を描くときは

コンパスを広げる
紙に針を刺す

という手順を踏んでから線を引きますね．これはそれぞれ

「半径」を決める
「中心」を決める

ということに対応しています．

つまり，「円は『中心』と『半径』によって特徴付けられる」ということになります．

よって，「どんな円ですか？」と聞かれたときには，

中心
半径

を答えれば良いわけですね．

円を考えるとき，中心と半径が分かれば，その円がどのような円であるが分かる．

円の方程式

$xy$平面上の[円の方程式]には

平方完成型
展開型

の２種類があります．

「平方完成型」の円の方程式

まずは「平方完成型」の円の方程式から説明します．

[円の方程式]　$a$, $b$は実数，$r$は正の数とする．$xy$平面上の中心$(a,b)$，半径$r$の円の方程式は

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\quad \dots (*) \end{align*}$

と表される．逆に，式$(*)$で表される$xy$平面上の図形は，中心$(a,b)$，半径$r$の円を表す．

ベースとなる考え方は２点間の距離です．

$xy$平面上の中心$(a,b)$，半径$r$の円を考えます．

円の定義から，半径が$r$であることは，円周上の点$(x,y)$と中心$(a,b)$の距離が$r$ということなので，

$\begin{align*} \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \end{align*}$

となります．

【図形と方程式５｜【２点間の距離】と【点と直線の距離】】

$xy$平面上の[２点間の距離]は三平方の定理がベースになっています．また，$xy$平面上の[点と直線の距離]は頻出なので，しっかり公式を使えるようになっておいてください．

両辺とも常に正なので，２乗しても同値で

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\quad \dots (*) \end{align*}$

が得られました．

逆に，今度は式$(*)$が表す$xy$平面上のグラフを考え，グラフ上の点を$(x,y)$とすると，今の議論を逆に辿って点$(x,y)$が

中心$(a,b)$
半径 r

上に存在することが分かります．

この証明を見ると，[円の方程式]は「中心」と「円周上の点」の距離が一定であるという円の性質が本質にあることが分かりますね．

さらに，２点間の距離は[三平方の定理]がベースにありましたので，円の方程式

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{align*}$

は[三平方の定理]の式の形をしていますね．

また，$a=b=0$とすると原点中心の円を考えることになるので，[原点中心の円の方程式]は以下のようになることもアタリマエにしておきましょう．

[原点中心の円の方程式]　$r$は正の数とする．$xy$平面上の原点中心，半径$r$の円の方程式は

$\begin{align*} x^2+y^2=r^2\quad \dots (\ast) \end{align*}$

と表される．逆に，式$(\ast)$で表される$xy$平面上の図形は，原点中心，半径$r$の円を表す．

何にせよ，[円の方程式]は[三平方の定理]をベースに考えれば覚える必要はありませんね．

中心と半径が分かっていれば，「平方完成型」の円の方程式を適用できる．

「展開型」の円の方程式

中心$(a,b)$，半径$r$の円の方程式$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$を展開して整理すると，

$\begin{align*} x^2-2ax+y^2-2by+\bra{a^2+b^2-r^2}=0 \end{align*}$

となります．つまり，円の方程式は

$\begin{align*} x^2+Ax+y^2+By+C=0\quad\dots(1) \end{align*}$

とも表せます．よって，方程式(1)の形の方程式は円を表しうるわけですね．

ここで，次の問題を考えましょう．

次の$x$, $y$の方程式のグラフを求めよ．

$x^2+y^2-2y-3=0$
$x^2-x+y^2-y=0$
$x^2-2x+y^2-6y+10=0$
$x^2-4x+y^2-2y+6=0$

(1)　$x^2+y^2-2y-3=0$の左辺を平方完成して

$\begin{align*} &x^2+y^2-2y-3=0 \\\iff&x^2+(y^2-2y+1)-1-3=0 \\\iff&x^2+(y-1)^2=2^2 \end{align*}$

となるので，「平方完成型」の円の方程式より，グラフは中心$(0,1)$，半径２の円となります．

(2)　$x^2-x+y^2-y=0$の左辺を平方完成して

$\begin{align*} &x^2-x+y^2-y=0 \\\iff&\bra{x^2-x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}+\bra{y^2-y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}=0 \\\iff&\bra{x-\frac{1}{2}}^2+\bra{y-\frac{1}{2}}^2=\bra{\frac{1}{\sqrt{2}}}^2 \end{align*}$

となるので，「平方完成型」の円の方程式より，グラフは中心$\bra{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$，半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円となります．

(3)　$x^2-2x+y^2-6y+10=0$の左辺を平方完成して

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2-6y+10=0 \\\iff&(x-2x+1)-1+(y-6y+9)-9+10=0 \\\iff&(x-1)^2+(y-3)^2=0 \end{align*}$

となるので，この方程式を満たす$(x,y)$は$(x,y)=(1,3)$のみとなります．よって，この方程式は１点$(1,3)$のみのグラフを表します．

(4)　$x^2-4x+y^2-2y+6=0$の左辺を平方完成して

$\begin{align*} &x^2-4x+y^2-2y+4=0 \\\iff&(x^2-4x+4)-4+(y^2-2y+1)-1+6=0 \\\iff&(x-1)^2+(y-3)^2=-1 \end{align*}$

となります．左辺は常に０以上なので，$-1$になることはありません．よって，この方程式を満たす$(x,y)$は存在しないので，この方程式が表すグラフは存在しません．

そもそも$x$, $y$の方程式のグラフとは，その方程式をみたす点$(x,y)$の集合のことなのでした．

なので，(3)のように１つの組$(x,y)$に対してのみ方程式を満たさないのであれば１点のみのグラフとなりますし，(4)のようにどんな組$(x,y)$に対しても方程式を満たさないのであればグラフは存在しません．

【図形と方程式２｜「方程式が表すグラフ」ってそもそも何？】

例えば，$x$, $y$の方程式$y=2x-1$を考えたとき，$(x,y)=(0,-1), (1,1), (2,3)$などはこの方程式を満たします．このように，方程式満たすような$(x,y)$を$xy$平面上にプロットしてできる図を「方程式のグラフ」といいます．

このように，方程式

$\begin{align*} x^2+Ax+y^2+By+C=0 \end{align*}$

は必ずしも円とはなり得ないことを注意しておきましょう．

$x$, $y$の方程式$x^2+Ax+y^2+By+C=0$は円を表しうる．その際，平方完成することによって，中心，半径が分かる．

補足

では，$x$, $y$の方程式

$\begin{align*} x^2+Ax+y^2+By+C=0 \end{align*}$

がどういうときにどのようなグラフになるのかをまとめておきましょう．

$x$, $y$の方程式$x^2+Ax+y^2+By+C=0$は

$A^2+B^2-4C>0$のとき，円のグラフをもつ
$A^2+B^2-4C=0$のとき，一点のみからなるグラフをもつ
$A^2+B^2-4C<0$のとき，グラフをもたない

$x$, $y$の方程式$x^2+Ax+y^2+By+C=0$は

$\begin{align*} &x^2+Ax+y^2+By+C=0 \\\iff&\bra{x+\frac{A}{2}}^2+\bra{y+\frac{B}{2}}^2=\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C \end{align*}$

となるので，右辺

$\begin{align*} &\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C \\=&\frac{1}{4}(A^2+B^2-4C) \end{align*}$

の正負によって，(上で見た問題と同様に)グラフが本質的に変化しますね．よって，

$A^2+B^2-4C>0$のとき，円のグラフをもつ
$A^2+B^2-4C=0$のとき，一点のみからなるグラフをもつ
$A^2+B^2-4C<0$のとき，グラフをもたない

となります．

まとめ

このように，円は

「平方完成型」の方程式
$\begin{align*}(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2\end{align*}$
「展開型」の方程式
$\begin{align*}\bra{x+\frac{a}{2}}^2+\bra{y+\frac{b}{2}}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c\end{align*}$