図形と方程式の基本２｜直線の方程式

【図形と方程式の基本１｜内分点と外分点】の続きです．

直線の方程式は中学校でも学習しますが，実は中学校で主に扱われる直線は一般的な式ではなく，では表せない直線が存在します．

【図形と方程式の基本４｜一般の直線の方程式と２直線の関係】で詳しく解説しますが，高校ではでは表せない直線も表すことができる一般の直線の方程式を学びます．

また，直線の方程式は「図形と方程式」の分野でも基本ですから，確実に押さえてください．

方程式の表す図形

「直線の方程式」を説明する前に，そもそも「方程式の表す図形」というものが何かを説明しなければなりません．これは教科書には詳しい説明が載っていませんが，このことはとても重要なので知っておくだけで非常に有効です．

ですから，できれば読んで理解して欲しいところですが，よく分からなければ軽く読み飛ばしてしまっても構いません．

定義

まず，「との方程式」とは，次のように定義されます．

高校までで方程式といえば，多くの場合で1次方程式や2次方程式といった未知数が1つしか含まれていない等式のことを指します．

しかし，実はやといった未知数が2つ含まれている等式も方程式と呼ばれています．

さて，「との方程式の表す図形」は次のように定義されます．

例1

ここで，との方程式について考えます．

たとえば，点，，などは方程式をみたします．一方，点，，などは方程式をみたしません．

このように，当然ながら方程式をみたす点，みたさない点はともに無限に存在します．

ここで，平面上の全ての点で方程式をみたすか，みたさないかを確認していき，方程式をみたす点全部からできる図形を「方程式の表す図形」というわけです．

「方程式の表す図形」も同様で，平面上の全ての点で方程式をみたすか，みたさないかを確認していき，方程式をみたす点全部からできる図形を「方程式の表す図形」といいます．

例2

方程式の表す図形がどんな形か分からなくても，点や点がこの図形上にあるかどうかということは，実際に代入してみれば分かります．

方程式の左辺にを代入すると，

となって，方程式をみたすので，点は方程式の表す図形上の点であることが分かります．

一方，方程式の左辺にを代入すると，

となって，方程式をみたさないので，点は方程式の表す図形上の点ではないことが分かります．

直線の方程式

さて，準備が終わったので，直線の方程式の説明に移ります．

結論から言えば，次の[事実]が成り立ちます．

つまり，これは，「自由に平面上に直線を引くと，この直線はの形で表される」し，「方程式は平面上の直線を表す」ということをいっているだけです．

なお，「，の少なくとも一方はでない」という条件は，ならとなって直線を表さない式になってしまうからです(詳しくは書きませんが，もしなら図形は平面全体，，なら図形は存在しません)．

また，次の言葉も定義しておきます．

中学校で習う ()の切片は軸切片のことですね．

さて，次に例を使って平面上の直線を考えてみます．

この直線を「一般の直線の方程式」と言いますが，ここでは「一般の直線の方程式」の詳しい説明には立ち入らず，直感的な考え方を説明します．

【参考記事：図形と方程式の基本４｜一般の直線の方程式と２直線の関係】

例1

方程式を考えます．

この方程式は上で説明した[事実]から明らかに直線を表します(，，の場合)．

さて，方程式の切片，切片をそれぞれ，とします．当然，切片，切片は方程式の表す図形上の点ですから，代入してもこの式が成り立ちます．代入すると，

，

となり，方程式の切片，切片はそれぞれ，と分かります．

例2

方程式を考えます．

この方程式は上で説明した[事実]から明らかに直線を表します(，，の場合)．

さて，を変形するとです．これはどういう直線を表すかを生徒に聞くと，「軸に平行に平行な直線」という人と「軸に平行な直線」という人に分かれます．結論から言えば，は「軸に平行な直線」ですが，これがなぜか分かりますか？

中学生風には，はと見ることができ，これは傾きがで，切片がだから，軸に平行な直線となる，と簡単に説明できます．

しかし，「方程式の表す図形」という観点に立てば，次のようにも説明できます．

はもともととの方程式でした．このことを明示的に書けば，ということになります．さて，方程式の表す図形とは，その方程式に代入して成り立つ点全部からできる図形のことをいうのでした．

が何であろうと，でさえあれば方程式は成り立ちます．ですから，を表す図形の座標はいつでもであり，はなんでもOKです．

たとえば，点，，，などは直線上の点というわけです．このような点を実際に思い浮かべてみると，軸と平行であることが分かると思います．

例3

方程式を考えます．

この方程式は上で説明した[事実]から明らかに直線を表します(，，の場合)．

さて，を変形するとです．例2の要領で考えれば，座標がであれば座標が何であっても，方程式の表す図形上の点であることが分かります．

さて，冒頭で，「中学校で主に扱われる直線は一般的な式ではなく，では表せない直線が存在します．」と書きましたが，実はこのはで表せない直線になっています．というのは，，に何を代入しても，必ずが残ってくるため，だけの式にはできないからです．

このように，ではどうしてもが残ってしまい，全ての直線の式を表すことはできないわけです．しかし，にも係数を付けたならも消すことができ，だけの式も表せるようになるわけです．

【図形と方程式の基本３｜直線の方程式の導出】に続きます．