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図形と方程式2|「方程式が表すグラフ」ってそもそも何?

中学校では「方程式y=ax+bxy平面上の直線を表す」と学びます.

実際,xy平面上の傾きa,切片bの直線はy=ax+bとなります.

しかし,実はy=ax+bxy平面上の全ての直線を表せるわけではないことは知っておく必要があります.つまり,y=ax+bの形の方程式では表せないxy平面上の直線が存在します.

高校数学では,y=ax+bでは表せないxy平面上の直線も表すことができる一般の直線の方程式を学びます.

直線の方程式は「図形と方程式」の分野の基本ですから,確実に押さえてください.

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方程式の表す図形

「直線の方程式」を学ぶ前に,そもそも「方程式の表す図形(グラフ)」というものが何かを知っておく必要があります.

方程式と恒等式

未知数を含んだ等式には

  • 方程式
  • 恒等式

の2種類があります.

任意の未知数に対して成り立つ等式を恒等式といい,特定の未知数に対してのみ成り立つ等式を方程式という.

具体的には,

  • (x+1)(x-2)=x^2-x-2
  • x^2+xy+y^2+2=(x+y)^2-xy+2

任意のx, yに対して成り立つので恒等式で,

  • x^2-2x-3=0
  • x^2+y^2=1

特定のx, yに対してのみ成り立つので方程式です.

「方程式」といえば,1次方程式2x+6=0や2次方程式x^2+5x+6=0のような未知数が1つしか含まれていない等式のことをイメージしがちですが,実はy=2x+1x^3+y^2=5といった未知数が2つ含まれている等式も方程式と呼びます.

さて,「xyの方程式の表す図形」は次のように定義されます.

xyの方程式f(x,y)=0に対して,f(a,b)=0を満たす点(a,b)の全体からできるxy平面上の図形を,方程式f(x,y)=0の表す図形(グラフ)という.

逆に,xy平面上の図形Cがあり,この図形Cを表すxyの方程式を図形Cの方程式という.

例1

ここで,xyの方程式y=2x+1について考えましょう.たとえば,

  • (0,1)
  • (1,3)
  • (\pi,2\pi+1)

などは方程式y=2x+1を満たすので,これらは方程式y=2x+1の表す図形上の点です.一方,

  • (0,2)
  • (0,100)
  • (\pi,5)

などは方程式y=2x+1を満たさないので,これらは方程式y=2x+1の表す図形上の点です.

このように,方程式y=2x+1を満たす点(x,y)xyを図示すると,下図のようになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

方程式y=4x+3を満たす点,満たさない点はともに無限にありますが,全ての(x,y)で方程式y=2x+1を満たすか否かを確認していき,方程式y=2x+1をみたす(x,y)=(a,b)全部からできる図形を「方程式y=2x+1の表す図形」というわけですね.

例2

方程式x^3+y^2=5を考えましょう.

例1と同じく,全ての(x,y)で方程式x^3+y^2=5をみたすか否かを確認していき,方程式x^3+y^2=5をみたす点全部からできる図形を「方程式x^3+y^2=5の表す図形」といいます.

よって,方程式x^3+y^2=5の表す図形がどんな形か分からなくても,点(1,-2)や点(-2,1)がこの図形上にあるかどうかということは,実際に代入してみれば分かります.

方程式x^3+y^2=5の左辺に(x,y)=(1,-2)を代入すると,

\begin{align*} x^3+y^2=1^3+(-2)^2=1+4=5 \end{align*}

だから,方程式x^3+y^2=5を満たし,(1,-2)は方程式x^3+y^2=5の表す図形上の点であることが分かります.

一方,方程式x^3+y^2=5の左辺に(x,y)=(-2,1)を代入すると,

\begin{align*} x^3+y^2=(-2)^3+1^2=-8+1=-7\neq5 \end{align*}

となって,方程式x^3+y^2=5を満たし,(-2,1)は方程式x^3+y^2=5の表す図形上の点ではないことが分かります.

グラフの平行移動

xy平面上のグラフの平行移動は非常に便利である.

平行移動

xy平面上のグラフの平行移動について,次が成り立ちます.

[グラフの平行移動] xy平面上のf(x,y)=0のグラフ\ellx軸方向,y軸方向にちょうどa, bだけ平行移動させたグラフmの方程式はf(x-a,y-b)=0である.

[証明]

(x,y)をグラフ\ell上の点とする.このとき,f(x,y)=0が成り立つ.

(X,Y)=(x+a,y+b)はグラフm上の点なので,f(x,y)=0に代入して,

\begin{align*} f(X-a,Y-b)=0 \end{align*}

が成り立つ.すなわち,グラフm上の点(x,y)f(x-a,y-b)=0を満たす.

[証明終]

具体例

それでは,具体的にグラフの平行移動をみましょう.

  • 放物線y=2x^2x軸方向,y軸方向にそれぞれちょうど2,3だけ平行移動させたグラフの方程式は

    \begin{align*}y-3=2(x-2)^2\end{align*}

    となりますね.

  • 放物線y=-5x^2x軸方向,y軸方向にそれぞれちょうど2,-3だけ平行移動させたグラフの方程式は

    \begin{align*}y+3=-5(x-2)^2\end{align*}

    となりますね.

  • 曲線x^3-x^2y+2y=3xx軸方向,y軸方向にちょうど-1,2だけ平行移動させたグラフの方程式は

    \begin{align*}(x+1)^3-(x+1)^2(y-2)+2(y-2)=3(x+1)\end{align*}

    となりますね.

となります.

最後までありがとうございました!

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