図形と方程式｜そもそも「方程式が表すグラフ/図形」って何？

中学校では「方程式 $y=ax+b$ は $xy$ 平面上の直線を表す」と学びます．

実際， $xy$ 平面上の傾き $a$ ，切片 $b$ の直線は $y=ax+b$ となります．

しかし，実は $y=ax+b$ が $xy$ 平面上の全ての直線を表せるわけではないことは知っておく必要があります．つまり， $y=ax+b$ の形の方程式では表せない $xy$ 平面上の直線が存在します．

高校数学では， $y=ax+b$ では表せない $xy$ 平面上の直線も表すことができる一般の直線の方程式を学びます．

直線の方程式は「図形と方程式」の分野の基本ですから，確実に押さえてください．

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1 方程式の表す図形
2 直線の方程式

方程式の表す図形

「直線の方程式」を学ぶ前に，そもそも「方程式の表す図形(グラフ)」というものが何かを知っておく必要があります．

方程式と恒等式

未知数を含んだ等式には

方程式
恒等式

の2種類があります．

任意の未知数に対して成り立つ等式を恒等式といい，特定の未知数に対してのみ成り立つ等式を方程式という．

具体的には，

$(x+1)(x-2)=x^2-x-2$
$x^2+xy+y^2+2=(x+y)^2-xy+2$

は任意の $x$ , $y$ に対して成り立つので恒等式で，

$x^2-2x-3=0$
$x^2+y^2=1$

は特定の $x$ , $y$ に対してのみ成り立つので方程式です．

「方程式」といえば，1次方程式 $2x+6=0$ や2次方程式 $x^2+5x+6=0$ のような未知数が1つしか含まれていない等式のことをイメージしがちですが，実は $y=2x+1$ や $x^3+y^2=5$ といった未知数が2つ含まれている等式も方程式と呼びます．

さて，「 $x$ と $y$ の方程式の表す図形」は次のように定義されます．

$x$ と $y$ の方程式 $f(x,y)=0$ に対して， $f(a,b)=0$ を満たす点 $(a,b)$ の全体からできる $xy$ 平面上の図形を，方程式 $f(x,y)=0$ の表す図形(グラフ)という．

逆に， $xy$ 平面上の図形 $C$ があり，この図形 $C$ を表す $x$ と $y$ の方程式を図形 $C$ の方程式という．

例1

ここで， $x$ と $y$ の方程式 $y=2x+1$ について考えましょう．たとえば，

点 $(0,1)$
点 $(1,3)$
点 $(\pi,2\pi+1)$

などは方程式 $y=2x+1$ を満たすので，これらは方程式 $y=2x+1$ の表す図形上の点です．一方，

点 $(0,2)$
点 $(0,100)$
点 $(\pi,5)$

などは方程式 $y=2x+1$ を満たさないので，これらは方程式 $y=2x+1$ の表す図形上の点です．

このように，方程式 $y=2x+1$ を満たす点 $(x,y)$ を $xy$ を図示すると，下図のようになります．

方程式 $y=4x+3$ を満たす点，満たさない点はともに無限にありますが，全ての $(x,y)$ で方程式 $y=2x+1$ を満たすか否かを確認していき，方程式 $y=2x+1$ をみたす $(x,y)=(a,b)$ 全部からできる図形を「方程式 $y=2x+1$ の表す図形」というわけですね．

例2

方程式 $x^3+y^2=5$ を考えましょう．

例1と同じく，全ての $(x,y)$ で方程式 $x^3+y^2=5$ をみたすか否かを確認していき，方程式 $x^3+y^2=5$ をみたす点全部からできる図形を「方程式 $x^3+y^2=5$ の表す図形」といいます．

よって，方程式 $x^3+y^2=5$ の表す図形がどんな形か分からなくても，点 $(1,-2)$ や点 $(-2,1)$ がこの図形上にあるかどうかということは，実際に代入してみれば分かります．

方程式 $x^3+y^2=5$ の左辺に $(x,y)=(1,-2)$ を代入すると，

$\begin{align*} x^3+y^2=1^3+(-2)^2=1+4=5 \end{align*}$

だから，方程式 $x^3+y^2=5$ を満たし，点 $(1,-2)$ は方程式 $x^3+y^2=5$ の表す図形上の点であることが分かります．

一方，方程式 $x^3+y^2=5$ の左辺に $(x,y)=(-2,1)$ を代入すると，

$\begin{align*} x^3+y^2=(-2)^3+1^2=-8+1=-7\neq5 \end{align*}$

となって，方程式 $x^3+y^2=5$ を満たし，点 $(-2,1)$ は方程式 $x^3+y^2=5$ の表す図形上の点ではないことが分かります．

直線の方程式

さて，準備が終わったので，直線の方程式の説明に移ります．

結論から言えば，次が成り立ちます．

$xy$ 平面上の図形 $\ell$ について，次は同値である．

図形 $\ell$ は方程式 $ax+by+c=0$ ( $a$ , $b$ , $c$ は定数， $(a,b)\neq(0,0)$ )で表せる．
図形 $\ell$ は直線である．

つまり，「自由に $xy$ 平面上に直線を引くと，この直線は $ax+by+c=0$ の形で表される」し，「方程式 $ax+by+c=0$ は $xy$ 平面上の直線を表す」というわけですね．

この方程式 $ax+by+c=0$ ( $a$ , $b$ , $c$ は定数， $(a,b)\neq(0,0)$ )を「一般の直線の方程式」といいますが，ここでは「一般の直線の方程式」の詳しい説明はのちの記事で述べることとします．

【図形と方程式４｜一般の直線の方程式と２直線の関係】

$ax+by+c=0$ の形の方程式は一般の直線の方程式といいます．2つの直線の方程式が与えられたとき，これら2つの直線が平行になる条件，垂直になる条件は非常に重要です．

なお，「 $a$ , $b$ の少なくとも一方は0でない」という条件は， $a=b=0$ なら $c=0$ となって直線を表さない式になってしまうからです(もし $a=b=c=0$ なら図形は $xy$ 平面全体， $a=b=0$ かつ $c\neq0$ なら図形は存在しません)．

また，次の言葉も定義しておきます．

$xy$ 平面上の直線 $\ell$ と $y$ 軸， $x$ 軸との交点を，それぞれ直線 $\ell$ の $y$ 軸切片， $x$ 軸切片という．

中学校で習う直線の方程式 $y=ax+b$ の切片 $b$ は $y$ 軸切片のことですね．

さて，次に例を使って $xy$ 平面上の直線を考えてみます．

例1

方程式 $-2x+3y+5=0$ を考えます．

この方程式は $ax+by+c=0$ の $a=-2$ , $b=3$ , $c=5$ の場合なので直線を表しますね．

方程式 $-2x+3y+5=0$ の表す直線の $x$ 軸切片， $y$ 軸切片をそれぞれ $(a,0)$ ， $(0,b)$ とします．

$x$ 軸切片， $y$ 軸切片は方程式 $-2x+3y+5=0$ の表す直線上の点ですから，代入してもこの式が成り立ちます．

代入すると，

$\begin{align*} &-2a+3\cdot0+5=0 \iff a=\frac{5}{2}, \\&-2\cdot0+3b+5=0 \iff b=-\frac{5}{3} \end{align*}$

となり，方程式 $-2x+3y+5=0$ の $x$ 切片， $y$ 切片はそれぞれ $\bra{\dfrac{5}{2},0}$ ， $\bra{0,-\dfrac{5}{3}}$ と分かります．

例2

方程式 $2y-4=0$ を考えます．

この方程式は $ax+by+c=0$ の $a=0$ , $b=2$ , $c=-4$ の場合なので直線を表しますね．

$\begin{align*} 2y-4=0 \iff y=2 \iff y=0x+2 \end{align*}$

と変形できるので，これを中学生の知識で考えるなら，傾きが0で， $y$ 切片が2の直線となります．傾きが0であることから，この直線は $x$ 軸に平行な直線となりますね．

しかし，「方程式に代入して成り立つ点の集まりがグラフである」という基本に立ちかえれば，次のようにも説明できます．

たとえば，

点 $(0,2)$
点 $(-2,2)$
点 $(\pi,2)$
点 $(2000,2)$

などはいずれも方程式 $2y-4=0$ を満たします．このように，任意の実数 $a$ に対して， $(x,y)=(a,2)$ は $2y-4=0$ を満たすので，点 $(a,2)$ はグラフ上の点です．

このような点を $xy$ 平面上にプロットすると，上のような $x$ 軸に平行な直線になることが分かりますね．

例3

方程式 $2x+6=0$ を考えます．

この方程式は $ax+by+c=0$ の $a=2$ , $b=0$ , $c=6$ の場合なので直線を表しますね．

上の例2では， $y=$ の形に直すことができたので傾きが分かりましたが，方程式 $2x+6=0$ には $y$ が含まれていないので $y=$ の形に変形することができません．

そこで例2の後半で考えたように，やはり「方程式に代入して成り立つ点の集まりがグラフである」という基本に立ち返れば，任意の実数 $b$ に対して， $(x,y)=(-3,b)$ は $2x+6=0$ を満たすので，点 $(-3,b)$ はグラフ上の点です．

よって， $2x+6=0$ の表す図形は以下のように $y$ 軸に平行な直線になります．

さて，この記事の冒頭で「実は $y=ax+b$ が $xy$ 平面上の全ての直線を表せるわけではない」と述べましたが，このような $y$ 軸に平行な直線が $y=ax+b$ で表せない直線になっています．

これは $y=ax+b$ の形の方程式ではどうしても $y$ が消えることがなく， $x=A$ ( $A$ は定数)の形に変形できないからです．

一方で， $y$ にも係数を付けた $ax+by+c=0$ なら $b=0$ の場合を考えれば， $x=A$ の形の方程式も表すことができ， $y$ 軸に平行な直線も表せるようになります．

【次の記事：図形と方程式３｜直線の方程式の導出】

上では方程式を与え，その方程式が $xy$ 平面上のどのような直線を表すかを考えました．次の記事では， $xy$ 平面上の直線を与え，その直線を表す方程式の求め方を考えます．