座標の「内分点」と「外分点」を求め方

「図形と方程式」をざっくりいえば「 $xy$ 平面上で図形を考えよう！」という分野です．

「図形と方程式」の分野は，視覚的な情報と計算力が必要となるため，「なんとなく分かるけど，計算が多いし面倒だ」という人が多い印象もありますね．

たしかに，計算が多くなる傾向があることは否定できませんが，計算ばかりに気を取られて論理的な減点を食らってしまうことも避けたいところです．

とくに「軌跡と領域」は「計算して図を描けば終わり」と考えている人も多いようですが，地味に論理的な罠が貼られている分野でもあります．

計算に一生懸命になって本質を見落としがちな分野ではありますが，きちんとした理解も同時に養ってください．

本記事では，「図形と方程式」の基本中の基本である内分点と外分点について説明します．

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1 数直線上の内分点と外分点
2 内分の公式，外分の公式
3 平面上/空間上の内分点と外分点

数直線上の内分点と外分点

内分点と外分点は図形を考える上で頻繁に出現する概念で，とくに座標上での計算をする中では基本中の基本です．

内分点，外分点の定義

数直線上の内分点と外分点の定義は以下の通りです．

$m,n$ を正数とする．線分AB上の点Pが

$\begin{align*} \mrm{AP:BP}=m:n \end{align*}$

を満たすとき，点Pは線分ABを $m:n$ に内分するといい，点Pを内分点という．

さらに， $m\neq n$ とし，線分AB上の延長上の点Qが

$\begin{align*} \mrm{AQ:BQ}=m:n \end{align*}$

を満たすとき，点Qは線分ABを $m:n$ に外分するといい，点Qを外分点という．

内分と外分を分けてもう少し説明します．

内分点

線分ABと内分点Pは下図のように，点A, Bの間に存在します．

なお， $m,n$ を四角で囲んでいるのは， $m:n$ は比であって長さではないからです．

たとえば， $m:n=1:2$ のとき， $(\mrm{AP},\mrm{PB})=(1,2)$ とは限りません． $(\mrm{AP},\mrm{PB})=(2,4)$ かもしれないし， $(\mrm{AP},\mrm{PB})=(10,20)$ かもしれません．

もし「囲み文字」にしないと，あたかもその長さのように見えてしまい，しょうもないミスをすることになりかねません．そのため，比の場合には丸などで囲むようにする癖をつけるのが良いでしょう．

外分点

外分点は少々注意が必要です．

というのは， $n<m$ の場合も $m<n$ の場合も，外分点Qが点A, Bの延長上に存在することは同じですが， $n<m$ の場合と $m<n$ の場合で外分点Qの位置が明確に変わるからです．

[1]　 $n<m$ のとき

$\mrm{BP}<\mrm{AP}$ なので，外分点QはB側の延長上に存在します．

[2]　 $m<n$ のとき

$\mrm{BP}>\mrm{AP}$ なので，外分点QはA側の延長上に存在します．

線分ABの内分点は線分AB上にあり，外分点は線分ABの延長上にある．ただし，外分点はA側の延長上にあるか，B側の延長上にあるか注意する必要がある．

内分の公式，外分の公式

さて，点A，Bが数直線上にあるとき，内分点と外分点の値がどうなるのか考えましょう．

以降，点Xの値が $x$ であることを $\mrm{X}(x)$ と表します．これは平面上の座標を $\mrm{X}(x,y)$ と表すのと同じ感覚です．

結論から書けば，次のようになります．

数直線上の2点 $\mrm{A}(a)$ ， $\mrm{B}(b)$ に対し，数直線ABを $m:n$ に内分する点をP， $m:n$ に外分する点をQの値はそれぞれ

$\begin{align*} \mrm{P}\bra{\frac{na+mb}{m+n}},\quad \mrm{Q}\bra{\frac{-na+mb}{m-n}} \end{align*}$

となる．

以下でこのことを示しましょう．

内分点

数直線上の2点 $\mrm{A}(a)$ ， $\mrm{B}(b)$ に対し，線分 $\mrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\mrm{P}(p)$ の値は次のようにして求まります．

$a<b$ のとき，図は

となります． $\mrm{AP}=p-a$ ， $\mrm{PB}=b-p$ なので， $\mrm{AP:AB}=m:n$ より

$\begin{align*} &(p-a):(b-p)=m:n \\\iff& m(b-p)=n(p-a) \\\iff& p=\frac{na+mb}{m+n} \end{align*}$

が得られます． $b<a$ のときも同様にして， $p=\dfrac{na+mb}{m+n}$ が得られます．

よって，点Pの値は $a$ ， $b$ の大小によらず， $p=\dfrac{na+mb}{m+n}$ となることが分かります．

また，点Pが線分ABの中点であるときは $m=n$ なので，とくに以下の公式が成り立ちます．

数直線上の2点 $\mrm{A}(a)$ ， $\mrm{B}(b)$ に対し，数直線ABの中点Pの値は

$\begin{align*} \mrm{P}\bra{\frac{a+b}{2}} \end{align*}$

となる．

この中点の公式はよく使うので，当たり前にしておきましょう．

外分点

数直線上の2点 $\mrm{A}(a)$ ， $\mrm{B}(b)$ に対し，線分 $\mrm{AB}$ を $m:n$ に外分する点 $\mrm{Q}(q)$ の座標を求めます．

$a<b$ かつ $n>m$ のとき，図は

となります． $\mrm{AP}=q-a$ ， $\mrm{PB}=q-b$ なので， $\mrm{AP:AB}=m:n$ より

$\begin{align*} &(q-a):(q-b)=m:n \\\iff& m(q-b)=n(q-a) \\\iff& q=\frac{-na+mb}{m-n} \end{align*}$

が得られます． $a<b$ ， $n>m$ 以外のときも同様にして， $x=\dfrac{-na+mb}{m-n}$ が得られます．

外分の公式については， $\dfrac{-na+mb}{m-n}$ だったか， $\dfrac{na-mb}{-m+n}$ だったか迷う，という悩みを聞きますが，これは全く悩む必要がなくどちらでもOKです．

というのは，分母・分子に $-1$ をかけると，

$\begin{align*} \frac{-na+mb}{m-n} =\frac{na-mb}{-m+n} \end{align*}$

となり，両者はいつでも等しいからです．

公式の覚え方と解釈

数直線上の値がそれぞれ $a$ ， $b$ の2点A, Bに対して，線分ABを $m:n$ に内分する点Pの値 $p$ は

$\begin{align*} p=\frac{na+mb}{m+n} \end{align*}$

となるのでした．

分母は単純に比の数字を足しただけで，分子は「遠い方をかけて足す」ことになります．

ここで，どうして分子が $na+mb$ と遠い方の比をかけているのかと疑問に思う人がいるかと思いますが，これはこう考えるとよいでしょう．

例えば，点Pが線分ABを $9:1$ に内分していたとすると，点Pはとても点Bに近いところにあります．

「この点Pはとても点Bに近い」ということを言い変えれば，「 $p$ の構成要素の多くは $b$ である」ということになります．

さらに言い換えれば， $p=ka+\ell b$ と表したとき， $k$ は小さく， $\ell$ は1に近いということになります．

さて，ここで公式をもう一度考えてみましょう．点PがどれくらいBに近いかというと，公式から

$\begin{align*} p=\frac{1\cdot a+9\cdot b}{9+1} =\frac{1}{10}a+\dfrac{9}{10}b \end{align*}$

となるので， $p$ の構成要素は $\dfrac{1}{10}$ だけ $a$ ， $\dfrac{9}{10}$ だけ $b$ と解釈することができます．

このように，これはA側の比が大きくなればなるほど，点Bの構成要素の比率が大きくなります．

同様に，B側の比が大きくなればなるほど，点Aの構成要素の比率が大きくなります．

そのため， $a$ から遠い方の比 $n$ をかけたものと $b$ から遠い方の比 $m$ をかけたものの和が分子にあるわけですね．

平面上/空間上の内分点と外分点

さて，平面上/空間の線分ABについても，同様に内分点，外分点を考えられ，数直線の場合の内分の公式，外分の公式が分かっていれば，すぐに理解できます．

平面上の2点 $\mrm{A}(a_1,a_2)$ , $\mrm{B}(b_1,b_2)$ を考え，線分ABを $m:n$ に内分する点をPとします．

さらに，点A，B，Pから $x$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mrm{A}_x$ , $\mrm{B}_x$ , $\mrm{P}_x$ としましょう．

このとき， $\mrm{AP}:\mrm{PB}=m:n$ より， $\mrm{A}_x\mrm{P_x}:\mrm{P}_x\mrm{B}_x=m:n$ が成り立ちます．

よって， $\mrm{P}_x$ の $x$ 座標を $p$ とすると， $x$ 軸は数直線なので，数直線に関する内分の公式より

$\begin{align*} p=\dfrac{na_1+mb_1}{m+n} \end{align*}$

が成り立ちます．

このように，内分点，外分点から $x$ 軸に垂線を下ろすことにより，数直線の内分点，外分点の議論に持ち込むことができます．

$y$ 軸にも同様に垂線を下ろすことにより，以下の公式が得られます．

平面上の2点 $\mrm{A}(a_1,a_2)$ ， $\mrm{B}(b_1,b_2)$ に対し，線分ABを $m:n$ に内分する点をP， $m:n$ に外分する点をQとすると，それぞれの座標は

$\begin{align*} &P\bra{\dfrac{na_1+mb_1}{m+n},\dfrac{na_2+mb_2}{m+n}}, \\&Q\bra{\dfrac{-na_1+mb_1}{m-n},\dfrac{-na_2+mb_2}{m-n}} \end{align*}$

となる．

空間上の内分，外分についても，各軸に垂線を下ろすことにより以下の公式が得られます．

空間上の2点 $\mrm{A}(a_1,a_2,a_3)$ ， $\mrm{B}(b_1,b_2,b_3)$ に対し，線分ABを $m:n$ に内分する点をP， $m:n$ に外分する点をQとすると，それぞれの座標は

$\begin{align*} &P\bra{\dfrac{na_1+mb_1}{m+n},\dfrac{na_2+mb_2}{m+n},\dfrac{na_3+mb_3}{m+n}}, \\&Q\bra{\dfrac{-na_1+mb_1}{m-n},\dfrac{-na_2+mb_2}{m-n},\dfrac{-na_3+mb_3}{m-n}} \end{align*}$

となる．

このように，内分の公式は数直線の場合が分かっていれば，平面/空間でも同様に使うことができますね．

【次の記事：図形と方程式２｜直線の方程式】

直線は“線”の中で最も単純な図形といって良いでしょう．中学校では「 $y=ax+b$ は $xy$ 平面上の直線を表す」と習いますが，実は $y=ax+b$ では表せない直線があるのを知っていますか？次の記事では，直線の方程式について説明します．