図形と方程式１｜座標の超基本公式！内分点と外分点を解説！

「図形と方程式」をざっくりいえば「平面上で図形を考えよう！」という分野です．

「図形と方程式」の分野は，視覚的な情報と計算力が必要となるため，「なんとなく分かるけど，計算が多いし面倒だ」という人が多い印象もありますね．

たしかに，計算が多くなる傾向があることは否定できませんが，計算ばかりに気を取られて論理的な減点を食らってしまうことも避けたいところです．

とくに「軌跡と領域」は「計算して図を描けば終わり」と考えている人も多いようですが，地味に論理的な罠が貼られている分野でもあります．

計算に一生懸命になって本質を見落としがちな分野ではありますが，きちんとした理解も同時に養ってください．

本記事では，「図形と方程式」の基本中の基本である内分点と外分点について説明します．

数直線上の内分点と外分点

内分点と外分点は図形を考える上で頻繁に出現する概念で，とくに座標上での計算をする中では基本中の基本です．

内分点，外分点の定義

数直線上の内分点と外分点の定義は以下の通りです．

内分と外分を分けてもう少し説明します．

内分点

線分ABと内分点Pは下図のように，点A, Bの間に存在します．

なお，，がに囲まれているのは，は比であって長さではないからです．

たとえば，のとき，とは限りません．かもしれないし，かもしれません．

もし「丸囲み」をしないと，あたかもその長さのように見えてしまい，しょうもないミスをすることになりかねません．そのため，比の場合には丸などで囲むようにする癖をつけるのが良いでしょう．

外分点

外分点は少々注意が必要です．

というのは，の場合もの場合も，外分点Qが点A, Bの延長上に存在することは同じですが，の場合との場合で外分点Qの位置が明確に変わるからです．

[1]　のとき

なので，外分点QはB側の延長上に存在します．

[2]　のとき

なので，外分点QはA側の延長上に存在します．

内分の公式，外分の公式

さて，点A，Bが数直線上にあるとき，内分点と外分点の値がどうなるのか考えましょう．

以降，点Xの値がであることをと表します．これは平面上の座標をと表すのと同じ感覚です．

結論から書けば，次のようになります．

内分点

数直線上の2点，に対し，線分をに内分する点の値は次のようにして求まります．

のとき，図は

となります．，なので，より

が得られます．のときも同様にして，が得られます．

よって，点Pの値は，の大小によらず，となることが分かります．

また，点Pが線分ABの中点であるときはなので，とくに以下の公式が成り立ちます．

この中点の公式はよく使うので，当たり前にしておきましょう．

外分点

数直線上の2点，に対し，線分をに外分する点の座標を求めます．

かつのとき，図は

となります．，なので，より

が得られます．，以外のときも同様にして，が得られます．

外分の公式については，だったか，だったか迷う，という悩みを聞きますが，これは全く悩む必要がなくどちらでもOKです．

というのは，分母・分子にをかけると，

となり，両者はいつでも等しいからです．

公式の覚え方と解釈

数直線上の値がそれぞれ，の2点A，Bに対して，線分ABをに内分する点Pの値は

となるのでした．

分母は単純に比の数字を足しただけで，分子は「遠い方をかけて足す」ことになります．

ここで，点Aに近い方の比がで，点Bに近い方の比がでなのに，どうして分子がと遠い方の比をかけているのかと疑問に思う人がいるかと思いますが，これはこう考えるとよいでしょう．

例えば，点Pが線分ABをに内分していたとすると，点Pはとても点Bに近いところにあります．

「この点Pはとても点Bに近い」ということを言い変えれば，「の構成要素の多くはである」ということになります．

さらに言い換えれば，と表したとき，は小さく，は1に近いということになります．

さて，ここで公式をもう一度考えてみましょう．点PがどれくらいBに近いかというと，公式から

となるので，の構成要素はだけ，だけと解釈することができます．

このように，これはA側の比が大きくなればなるほど，点Bの構成要素の比率が大きくなります．

同様に，B側の比が大きくなればなるほど，点Aの構成要素の比率が大きくなります．

そのため，から遠い方の比をかけたものとから遠い方の比をかけたものの和が分子にあるわけですね．

平面上/空間上の内分点と外分点

さて，平面上/空間の線分ABについても，同様に内分点，外分点を考えられ，数直線の場合の内分の公式，外分の公式が分かっていれば，すぐに理解できます．

平面上の2点，を考え，線分ABをに内分する点をPとします．

さらに，点A，B，Pから軸に下ろした垂線の足をそれぞれ，，としましょう．

このとき，より，が成り立ちます．

よって，の座標をとすると，軸は数直線なので，数直線に関する内分の公式より

が成り立ちます．

このように，内分点，外分点から各軸に垂線を引くことにより，数直線の内分点，外分点の議論に持ち込むことができます．

以上の考え方から，以下が成り立つことが分かります．

内分の公式は数直線の場合が分かっていれば，平面/空間でも同様に使うことができますね．

最後まで読んで頂きありがとうございました！ YouTubeの授業動画もあります【授業をみてみる】