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図形と方程式5|[2点間の距離]と[点と直線の距離]

座標上で考える距離については

  • 2点が与えられたときの[2点間の距離]
  • 1点と1直線が与えられたときの[点と直線の距離]

の2つが重要です.

[2点間の距離]は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが,[点と直線の距離]の公式は式の形が少し複雑で苦手意識のある人も少なくないようです.

この記事では,この2種類の距離

  • 2点間の距離
  • 点と直線の距離

の求め方を考えます.

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2点間の距離

$xy$平面上の2点の距離は次のように与えられます.

$xy$平面上の2点$\mrm{A}(x_1,y_1)$, $\mrm{B}(x_2,y_2)$間の距離ABは次で得られる.

\begin{align*} \mrm{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}

この公式のベースにあるのは【三平方の定理】です.

3つに場合

  • $x_1\neq x_2$かつ$y_1\neq y_2$のとき
  • $y_1=y_2$のとき
  • $x_1=x_2$のとき

に分けて証明しましょう.

[1] $x_1\neq x_2$かつ$y_1\neq y_2$のとき,点C$(x_1,y_2)$とすると下図のようになります.

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このとき,

  • $\mrm{AC}=|y_2-y_1|$
  • $\mrm{BC}=|x_2-x_1|$
  • $\ang{ACB}=90^{\circ}$

なので,三角形ABCについて三平方の定理より,

\begin{align*} \mrm{AB} =&\sqrt{\mrm{BC}^2+\mrm{CA}^2} \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}

が得られました.

[2] $y_1=y_2$のとき,下図のようになります.

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このとき,$|y_2-y_1|=0$より$(y_2-y_1)^2=0$なので,

\begin{align*} \mrm{AB} =&|x_2-x_1| \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2} \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}

が得られました.

[3] $x_1=x_2$のとき,下図のようになります.

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このとき,$|x_2-x_1|=0$より$(x_2-x_1)^2=0$なので,

\begin{align*} \mrm{AB} =&|y_2-y_1| \\=&\sqrt{(y_1-y_2)^2} \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}

が得られました.

ともかくイメージは[1]の直角三角形ABCですね.

[2], [3]の場合も,「潰れた直角三角形」を考えていると思えば[1]と同じですね.

2点を結んだ線分を斜辺とする直角三角形について,三平方の定理を考えれば2点間の距離が得られる.

点と直線の距離

それでは,[点と直線の距離]の説明に移ります.

垂線の足

まず,「垂線の足」という用語は便利なので,確認しておきましょう.

点Aと直線$\ell$に対して,点Aを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$としたとき,直線$\ell$と直線$m$の交点Hを,点Aから直線$\ell$に下ろした垂線の足という.

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「垂線の足」という用語は教科書では積極的には見られませんが,数学では頻繁に用いられるので,入試等で用いても何ら問題はありません.

点と直線の距離の定義

[点と直線の距離]は次のように定義されます.

点Aと直線$\ell$に対して,点Aから直線$\ell$に垂線を下ろしたときの垂線の長さ$d$を,点Aと直線$\ell$の距離という.

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[点と直線の距離]は次のように特徴付けることもできます.

点Aと直線$\ell$に対して,点Aと直線$\ell$上の点Bの距離の最小値は点Aと直線$\ell$の距離に一致する.

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点Aから直線$\ell$に下ろした垂線の足をHとします.

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このとき,線分ABの長さが最小になることと$\mrm{B}=\mrm{H}$であることが同値であることを示せば良いですね.

直角三角形ABHで三平方の定理より

\begin{align*} \mrm{AB} =\sqrt{\mrm{AH}^2+\mrm{BH}^2} \geqq\sqrt{\mrm{AH}^2} =\mrm{AH} \end{align*}

が成り立ち,等号成立条件は$\mrm{B}=\mrm{H}$です.

線分ABの長さが最小になるときには$\mrm{B}=\mrm{H}$が成り立ちますし,逆に$\mrm{B}=\mrm{H}$なら線分ABの長さが最小になります.

点Aから直線$\ell$に垂線を下ろしたときの線分の長さ$d$が「点と直線の距離」である.また,点Bを直線$\ell$上で動かすとき,線分ABの長さの最小値は「点と直線の距離」に一致する.

導出

[点と直線の距離]自体は座標上でなくても考えることができます.

$xy$平面上で考えた場合には以下のように[点と直線の距離]を求めることができます.

$xy$平面上の2点$\mrm{A}(p,q)$と直線$\ell:ax+by+c=0$の距離$d$は次で得られる.

\begin{align*} d=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}

「2点間の距離」とは違い,この「点と直線の距離」の公式の導出は少々面倒です.

導出法はいくつか考えられますが,ここでは素朴に最初に説明した[2点間の距離]を用いて導出します.

点Aから直線$\ell$に下した垂線の足を点Hとすると,$d=\mrm{AH}$です.

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いま,点Aの座標は$(p,q)$と分かっているので,点Hの座標を求めれば線分AHの長さが分かりますね.

直線AHは

  • 直線$\ell:ax+by+c=0$に垂直で
  • 点$\mrm{A}(p,q)$を通る

から,直線AHの方程式は,

\begin{align*} &b(x-p)-a(y-q)=0 \\\iff& bx-ay-bp+aq=0 \end{align*}

となります.

よって,

  • 直線$\ell$の方程式
  • 直線AHの方程式

の連立方程式

\begin{align*} \begin{cases} ax+by+c=0\\ bx-ay-bp+aq=0 \end{cases} \end{align*}

を解けば,点Hの座標が得られますね.具体的には,第1式の両辺を$a$倍,第2式の両辺を$b$倍して足し合わせると,

\begin{align*} &a(ax+by+c)+b(bx-ay-bp+aq)=0 \\\iff& x=\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2} \end{align*}

であり,これを連立方程式の第1式に代入して

\begin{align*} &\frac{ab^2p-a^2bq-a^2c}{a^2+b^2}+by+c=0 \\\iff& y=\frac{a^2q-abp-bc}{a^2+b^2} \end{align*}

となります.したがって,点Hの座標は,

\begin{align*} \bra{\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2},\frac{a^2q-abp-bc}{a^2+b^2}} \end{align*}

と分かります.よって,

\begin{align*} d=&\mrm{AH} \\=&\sqrt{\bra{\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-p}^2+\bra{\frac{a^2q-abp-bc}{a^2+b^2}-q}^2} \\=&\sqrt{\bra{\frac{-a^2p-abq-ac}{a^2+b^2}}^2+\bra{\frac{-b^2q-abp-bc}{a^2+b^2}}^2} \\=&\sqrt{\brb{\frac{a(ap+bq+c)}{a^2+b^2}}^2+\brb{\frac{b(bq+ap+c)}{a^2+b^2}}^2} \\=&\sqrt{\frac{a^2(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2(bq+ap+c)^2}{(a^2+b^2)^2}} \\=&\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}} \\=&\sqrt{\frac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}} \\=&\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}

となって,点と直線の距離の公式が得られました.

なお,最後の等号では$\sqrt{a^2}=|a|$であることを用いています.

$\sqrt{a^2}=a$は間違いなので注意して下さい.

なお,今の証明のように愚直にやっても求まりますが,

  1. $\mrm{A}=(0,0)$の場合に

    \begin{align*}d=\dfrac{|c|}{a^2+b^2}\end{align*}

    となることを示し,

  2. 平行移動して$\mrm{A}=(p,q)$の場合に

    \begin{align*}d=\dfrac{|ap+bq+c|}{a^2+b^2}\end{align*}

    となることを示す

という2ステップで示すのがウマく,こうすると計算は少し楽になります.

この手順で証明してみるのもいい練習になるでしょう.

具体例

最後に1つ具体例を考えましょう.

直線$2x+3y-4=0$と点$(5,1)$の距離を求めよ.

上の[点と直線の距離]の公式において,$(1,b,c)=(2,3,4)$, $(p,q)=(5,1)$の場合に相当するので,

\begin{align*} \frac{|2\times5+3\times1-4|}{\sqrt{2^2+3^2}} =\frac{9}{\sqrt{13}} \bra{=\frac{9}{13}\sqrt{13}} \end{align*}

が求める距離となりますね.

最後までありがとうございました!

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