座標上の【２点間の距離】と【点と直線の距離】の求め方

座標上で考える距離については

２点が与えられたときの[２点間の距離]
１点と１直線が与えられたときの[点と直線の距離]

の２つが重要です．

[２点間の距離]は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが，[点と直線の距離]の公式は式の形が少し複雑で苦手意識のある人も少なくないようです．

この記事では，この２種類の距離

２点間の距離
点と直線の距離

の求め方を考えます．

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２点間の距離

$xy$平面上の２点の距離は次のように与えられます．

$xy$平面上の２点$\mrm{A}(x_1,y_1)$, $\mrm{B}(x_2,y_2)$間の距離ABは次で得られる．

$\begin{align*} \mrm{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}$

この公式のベースにあるのは【三平方の定理】です．

３つに場合

$x_1\neq x_2$かつ$y_1\neq y_2$のとき
$y_1=y_2$のとき
$x_1=x_2$のとき

に分けて証明しましょう．

[1]　$x_1\neq x_2$かつ$y_1\neq y_2$のとき，点C$(x_1,y_2)$とすると下図のようになります．

このとき，

$\mrm{AC}=|y_2-y_1|$
$\mrm{BC}=|x_2-x_1|$
$\ang{ACB}=90^{\circ}$

なので，三角形ABCについて三平方の定理より，

$\begin{align*} \mrm{AB} =&\sqrt{\mrm{BC}^2+\mrm{CA}^2} \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}$

が得られました．

[2]　$y_1=y_2$のとき，下図のようになります．

このとき，$|y_2-y_1|=0$より$(y_2-y_1)^2=0$なので，

$\begin{align*} \mrm{AB} =&|x_2-x_1| \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2} \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}$

が得られました．

[3]　$x_1=x_2$のとき，下図のようになります．

このとき，$|x_2-x_1|=0$より$(x_2-x_1)^2=0$なので，

$\begin{align*} \mrm{AB} =&|y_2-y_1| \\=&\sqrt{(y_1-y_2)^2} \\=&\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align*}$

が得られました．

ともかくイメージは[1]の直角三角形ABCですね．

[2], [3]の場合も，「潰れた直角三角形」を考えていると思えば[1]と同じですね．

２点を結んだ線分を斜辺とする直角三角形について，三平方の定理を考えれば２点間の距離が得られる．

点と直線の距離

それでは，[点と直線の距離]の説明に移ります．

垂線の足

まず，「垂線の足」という用語は便利なので，確認しておきましょう．

点Aと直線$\ell$に対して，点Aを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$としたとき，直線$\ell$と直線$m$の交点Hを，点Aから直線$\ell$に下ろした垂線の足という．

「垂線の足」という用語は教科書では積極的には見られませんが，数学では頻繁に用いられるので，入試等で用いても何ら問題はありません．

点と直線の距離の定義

[点と直線の距離]は次のように定義されます．

点Aと直線$\ell$に対して，点Aから直線$\ell$に垂線を下ろしたときの垂線の長さ$d$を，点Aと直線$\ell$の距離という．

[点と直線の距離]は次のように特徴付けることもできます．

点Aと直線$\ell$に対して，点Aと直線$\ell$上の点Bの距離の最小値は点Aと直線$\ell$の距離に一致する．

点Aから直線$\ell$に下ろした垂線の足をHとします．

このとき，線分ABの長さが最小になることと$\mrm{B}=\mrm{H}$であることが同値であることを示せば良いですね．

直角三角形ABHで三平方の定理より

$\begin{align*} \mrm{AB} =\sqrt{\mrm{AH}^2+\mrm{BH}^2} \geqq\sqrt{\mrm{AH}^2} =\mrm{AH} \end{align*}$

が成り立ち，等号成立条件は$\mrm{B}=\mrm{H}$です．

線分ABの長さが最小になるときには$\mrm{B}=\mrm{H}$が成り立ちますし，逆に$\mrm{B}=\mrm{H}$なら線分ABの長さが最小になります．

点Aから直線$\ell$に垂線を下ろしたときの線分の長さ$d$が「点と直線の距離」である．また，点Bを直線$\ell$上で動かすとき，線分ABの長さの最小値は「点と直線の距離」に一致する．

導出

[点と直線の距離]自体は座標上でなくても考えることができます．

$xy$平面上で考えた場合には以下のように[点と直線の距離]を求めることができます．

$xy$平面上の２点$\mrm{A}(p,q)$と直線$\ell:ax+by+c=0$の距離$d$は次で得られる．

$\begin{align*} d=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}$

「２点間の距離」とは違い，この「点と直線の距離」の公式の導出は少々面倒です．

導出法はいくつか考えられますが，ここでは素朴に最初に説明した[２点間の距離]を用いて導出します．

点Aから直線$\ell$に下した垂線の足を点Hとすると，$d=\mrm{AH}$です．

いま，点Aの座標は$(p,q)$と分かっているので，点Hの座標を求めれば線分AHの長さが分かりますね．

直線AHは

直線$\ell:ax+by+c=0$に垂直で
点$\mrm{A}(p,q)$を通る

から，直線AHの方程式は，

$\begin{align*} &b(x-p)-a(y-q)=0 \\\iff& bx-ay-bp+aq=0 \end{align*}$

となります．

【前回の記事：図形と方程式４｜一般の直線の方程式と[平行・垂直条件]】

$xy$平面上の２直線の方程式が与えられたとき，係数から２直線の平行条件・垂直条件が得られます．この応用として，「平行/垂直な直線」と「通る点」が分かっていれば，直線の方程式は瞬時に求まります．

よって，

直線$\ell$の方程式
直線AHの方程式

の連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} ax+by+c=0\\ bx-ay-bp+aq=0 \end{cases} \end{align*}$

を解けば，点Hの座標が得られますね．具体的には，第１式の両辺を$a$倍，第２式の両辺を$b$倍して足し合わせると，

$\begin{align*} &a(ax+by+c)+b(bx-ay-bp+aq)=0 \\\iff& x=\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2} \end{align*}$

であり，これを連立方程式の第１式に代入して

$\begin{align*} &\frac{ab^2p-a^2bq-a^2c}{a^2+b^2}+by+c=0 \\\iff& y=\frac{a^2q-abp-bc}{a^2+b^2} \end{align*}$

となります．したがって，点Hの座標は，

$\begin{align*} \bra{\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2},\frac{a^2q-abp-bc}{a^2+b^2}} \end{align*}$

と分かります．よって，

$\begin{align*} d=&\mrm{AH} \\=&\sqrt{\bra{\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-p}^2+\bra{\frac{a^2q-abp-bc}{a^2+b^2}-q}^2} \\=&\sqrt{\bra{\frac{-a^2p-abq-ac}{a^2+b^2}}^2+\bra{\frac{-b^2q-abp-bc}{a^2+b^2}}^2} \\=&\sqrt{\brb{\frac{a(ap+bq+c)}{a^2+b^2}}^2+\brb{\frac{b(bq+ap+c)}{a^2+b^2}}^2} \\=&\sqrt{\frac{a^2(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2(bq+ap+c)^2}{(a^2+b^2)^2}} \\=&\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}} \\=&\sqrt{\frac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}} \\=&\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}$

となって，点と直線の距離の公式が得られました．

なお，最後の等号では$\sqrt{a^2}=|a|$であることを用いています．

$\sqrt{a^2}=a$は間違いなので注意して下さい．

【ワンポイント数学３｜根号(ルート)の基本と二重根号の外し方】

実数$a$に対して，「$a$の平方根の定義」「$\sqrt{a}$の定義」を言えますか？意外と言えない人は多いですよ．また，なぜ$\sqrt{a^2}=a$ではなく$\sqrt{a^2}=|a|$とするのが正しいのか説明できますか？

なお，今の証明のように愚直にやっても求まりますが，

$\mrm{A}=(0,0)$の場合に
$\begin{align*}d=\dfrac{|c|}{a^2+b^2}\end{align*}$

となることを示し，
平行移動して$\mrm{A}=(p,q)$の場合に
$\begin{align*}d=\dfrac{|ap+bq+c|}{a^2+b^2}\end{align*}$

となることを示す