図形と方程式５｜２点間の距離，点と直線の距離

【図形と方程式の基本４｜一般の直線の方程式と２直線の関係】の続きです．

この記事では， $xy$ 平面上で，「2点が与えられたときの『2点間の距離』」と「1点と1本の直線が与えられたときの『点と直線の距離』」について書きます．

「2点間の距離」は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが，「点と直線の距離」の公式は式の形が少し複雑で嫌いな人が多いようです．

ベクトルを使うと「点と直線の距離」の公式の意味を理解することもできますが，この記事では公式を導出するに留めます．

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1 2点間の距離
2 点と直線の距離

2点間の距離

$xy$ 平面上の2点の距離は次のように与えられます．

[公式]　 $xy$ 平面上の2点A $(x_1,y_1)$ ，B $(x_2,y_2)$ 間の距離ABは次で得られる．

$\mathrm{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

これは三平方の定理を知っていれば容易に導くことができます．

[証明]

点C $(x_1,y_2)$ をとると， $\mathrm{AC}=|y_2-y_1|$ ， $\mathrm{BC}=|x_2-x_1|$ である．

[1]　 $x_1\neq x_2$ かつ $y_1\neq y_2$ のとき，

三角形ABCは $\angle\mathrm{ACB}=90^{\circ}$ の直角三角形だから，三平方の定理より，

$\mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

が得られる．

[2]　 $y_1=y_2$ のとき，

$|y_1-y_2|=0$ だから，

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=|x_2-x_1|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

が得られる．

[3]　 $x_1=x_2$ のとき，

[2]と同様に， $|x_1-x_2|=0$ だから，

$\mathrm{AB}=\mathrm{CA}=|y_2-y_1|=\sqrt{(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

が得られる．

[証明終]

これは $\mathrm{AC}=|y_2-y_1|$ ， $\mathrm{BC}=|x_2-x_1|$ が分かれば問題ないでしょう．

点と直線の距離

まず，「点と直線の距離」の説明の前に，「垂線の足」という言葉を確認しておきます．

[定義]　点Aと直線 $l$ に対して，点Aを通り直線 $l$ に垂直な直線を $m$ としたとき，直線 $l$ と直線 $m$ の交点を，「点Aから直線 $l$ に下ろした垂線の足」という．

「垂線の足」という言葉は教科書に出てきませんが，非常に便利な概念ですし，数学では当たり前に使われるので，入試等で使っても問題ありません．

定義

さて，「点と直線の距離」の説明に移りますが，そもそも「点と直線の距離」は次で定義されてます．

[定義]　点Aと直線 $l$ に対して，点Aから直線 $l$ に垂線を下ろしたときの垂線の長さを，「点Aと直線 $l$ の距離」という．

補足として，教科書では「点と直線の距離」は上の[定義]のように定めていますが，実は次の[定義]’のように「点と直線の距離」を定義することもあります．

[定義]’　 $xy$ 平面上の点Aと直線 $l$ に対して，点Aと直線 $l$ 上の点Bの距離の最小値を「点Aと直線 $l$ の距離」という．

ですが，やはり高校数学では基本的には1つ目に書いた[定義]で考えることが多いです．

導出

さて，ここで本題です． $xy$ 平面上の「点と直線の距離」は次のように与えられます．

[公式]　 $xy$ 平面上の2点 $\mathrm{A}(x_1,y_1)$ と直線 $l:ax+by+c=0$ ( $a$ ， $b$ の少なくとも一方は $0$ でない)の距離 $d$ は次で得られる．

$d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

「2点間の距離」とは違い，この「点と直線の距離」の公式の導出は少々面倒です．導出法はいくつか考えられますが，ここでは素朴に，上で導出した「2点間の距離」を用いて導出します．

そのために，【図形と方程式の基本4|2直線の関係】で考えた2本の直線が垂直な場合の，2直線の関係を用います．

[証明]

点 $\mathrm{A}$ から直線 $l$ に下した垂線の足を点 $\mathrm{B}$ とすると， $d=\mathrm{AB}$ である．

いま，点 $\mathrm{A}$ の座標は $(x_1,y_1)$ と分かっているので，点 $\mathrm{B}$ の座標を求めれば， $\mathrm{AB}$ が求まる．

点 $\mathrm{B}$ は直線 $l$ と直線 $\mathrm{AB}$ との交点である．

いま，直線 $\mathrm{AB}$ は直線 $l$ ： $ax+by+c=0$ に垂直で，点 $\mathrm{A}(x_1,y_1)$ を通るから，直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は，

$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$

である．展開して，

$bx-ay-bx_1+ay_1=0$

である．よって，連立方程式

$\begin{cases}ax+by+c=0\\ bx-ay-bx_1+ay_1=0\end{cases}$

を解けば，点 $\mathrm{B}$ の座標が得られる．

第1式の両辺を $a$ 倍，第2式の両辺を $b$ 倍して足し合わせると，

$a(ax+by+c)+b(bx-ay-bx_1+ay_1)=0$

だから，これを整理すると， $x=\dfrac{b^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2}$ である．

これを連立方程式の第1式に代入して，

$\dfrac{ab^2x_1-a^2by_1-a^2c}{a^2+b^2}+by+c=0$

を整理すると， $y=\dfrac{a^2y_1-abx_1-bc}{a^2+b^2}$ である．したがって，点 $\mathrm{B}$ の座標は，

$\left(\dfrac{b^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2},\dfrac{a^2y_1-abx_1-bc}{a^2+b^2}\right)$

であると分かる．よって，

$d=\mathrm{AB}$
$=\sqrt{\left(\dfrac{b^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2}-x_1\right)^2+\left(\dfrac{a^2y_1-abx_1-bc}{a^2+b^2}-y_1\right)^2}$
$=\sqrt{\left(\dfrac{-a^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\dfrac{-b^2y_1-abx_1-bc}{a^2+b^2}\right)^2}$
$=\sqrt{\left\{\dfrac{a(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}\right\}^2+\left\{\dfrac{b(by_1+ax_1+c)}{a^2+b^2}\right\}^2}$
$=\sqrt{\dfrac{a^2(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{b^2(by_1+ax_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}$
$=\sqrt{\dfrac{(a^2+b^2)(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}$
$=\sqrt{\dfrac{(ax_1+by_1+c)^2}{a^2+b^2}}$
$=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$