ワンポイント数学３｜根号(ルート)の基本と二重根号の外し方

根号(ルート)の中身が2乗であれば，根号 $\ro{\quad}$ が外れるのはよく知られていますが，そこでよくある間違いがあります．

実数 $a$ に対して， $\sqrt{a^2}$ で根号 $\ro{\quad}$ を外すとどうなるのか，正しく言えるでしょうか？

$\sqrt{a^2}=a$ は間違いですよ．

また，これが正しく言えなければ， $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません．

この記事で，根号 $\ro{\quad}$ の扱いを確実にしてください．

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1 根号の基本
- 1.1 平方根の性質
- 1.2 2乗の平方根
2 二重根号

根号の基本

まず，「平方根」と「根号」の定義をしましょう．

[根号]　 $b$ が $a$ の「平方根」であるとは， $b^2=a$ をみたすことをいう．

また， $0$ 以上の実数 $a$ に対して，「 $a$ の $0$ 以上の平方根」を $\sqrt{a}$ と表す．この記号 $\ro{\quad}$ の名前を「根号」といい，「ルート」と読む．

$0$ の平方根は $0$ だけですね．

また，「正の数 $a$ の平方根」は正と負の2つあります．そのうちの，正の方を $\sqrt{a}$ と表すわけですから，中身が正の数であれば $\ro{\quad}$ は正であると即答できます．

なお，負の実数にも平方根を考えることはできますが，この記事では正の実数の平方根を考えることにします．

平方根の性質

次の平方根の性質は基本的です．

[基本性質]　根号 $\ro{\quad}$ に関して，次が成り立つ．

実数 $a$ が $b$ の平方根なら， $-a$ も $b$ の平方根である．
正の実数 $a$ に対して， $(\sqrt{a})^2=a$
正の実数 $a$ ， $b$ に対して， $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\ro{b}$ が成り立つ．

[証明]

1．実数 $a$ が $b$ の平方根であることから， $a^2=b$ が成り立つ．

よって， $(-a)^2=a^2=b$ なので，[定義]から $-a$ も $b$ の平方根である．

2． $\sqrt{a}$ は $a$ の平方根の1つだから，2乗すると $a$ となる．すなわち，[定義]から $(\sqrt{a})^2=a$ が成り立つ．

3． $\sqrt{a}\sqrt{b}$ は正の数であり，2より $(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$ が成り立つから， $\sqrt{a}\sqrt{b}$ は $ab$ の正の平方根である．

よって，[定義]から， $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ が成り立つ．

[証明終]

2乗の平方根

さて，ここで実数 $a$ に対して， $\sqrt{a^2}$ がどうなるのかを考えてみます．

実数 $a$ に対して $a^2$ は $0$ 以上の実数なので，[定義]から $\sqrt{a^2}$ は2乗して $a^2$ になる正の数です．

2乗して $a^2$ となる数は $\pm a$ ですから， $\sqrt{a^2}$ は $a$ と $-a$ の正の方となるわけですが，実数 $a$ という条件だけでは $a$ と $-a$ のどちらが正の数か分かりません．

ですが，もし $a\ge0$ や $a<0$ という条件があれば，話は別です．つまり，次の[事実]が成り立ちます．

[事実]　実数 $a$ に対して，次が成り立つ．

$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases}$

$a\ge0$ のときには $\ro{a^2}=a$ なのですが， $a<0$ のときには $\ro{a^2}=-a$ となります．

「 $a<0$ のときに $\ro{a^2}=a$ 」ではないことに納得できるでしょうか？

$\ro{a^2}$ は正の数ですから， $a<0$ の場合に $\ro{a^2}=a<0$ となって，これでおかしいことが分かりますね．

また， $\ro{a^2}=a$ の $a$ に具体的に負の数を代入してみても，おかしいことが実感できると思います．例えば， $a=-3$ とすると， $\ro{(-3)^2}=-3$ となるわけですが， $\ro{(-3)^2}=\ro{9}=3$ が正しいのですから，これは明らかにおかしいですね．

このように， $a<0$ の場合には根号 $\ro{\quad}$ の中身が負の数の2乗となっているため，そのまま根号 $\ro{\quad}$ を外すと負の数となってしまいおかしくなるのです．

さて，[事実]の式の右辺をどこかで見た覚えはないでしょうか？

実は，[事実]の式の右辺は絶対値 $|a|$ と全く同じなのです．つまり， $|a|$ も $a\ge0$ のときは $a$ ， $a<0$ のときは $-a$ となのです．

【参考記事：ワンポイント数学２｜絶対値の定義と直感的理解】

つまり，次の[事実’]が成り立ちます．

[事実’]　実数 $a$ に対して，次が成り立つ．

$\sqrt{a^2}=|a|$

このように， $\sqrt{a^2}$ を根号 $\ro{\quad}$ を外すと絶対値となるのです．

と，書いてきましたが，よく考えると実数 $a$ に対して $|a|$ は $0$ 以上の実数であり，2乗すると $a^2$ になるので[定義]から $\sqrt{a^2}=|a|$ となるのは当たり前ですね(笑)．

当たり前ですが，先ほど書いた $a\ge0$ ， $a<0$ で場合分けして考えることも大切ですから，このあたりはどちらの考え方でも直感的に当たり前にしておきたいところです．

根号 $\ro{\quad}$ の中身が正の数であれば，いつでも正である．また，根号 $\ro{\quad}$ の中身が2乗になっているとき，根号 $\ro{\quad}$ を外すことができるが，その際絶対値 $|\quad|$ を忘れないようにする．

二重根号

根号 $\ro{\quad}$ の中に根号 $\ro{\quad}$ が入ったものを二重根号と言いますが，二重根号は $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ のように二重根号を外すことができる場合があります．

二重根号 $\ro{\ro{\quad}}$ を外すために実数 $a$ ， $b$ に対して， $\sqrt{(a\pm b)^2}=|a\pm b|$ が成り立つことを用います．

したがって，根号 $\ro{\quad}$ の中身を $a^2\pm 2ab+b^2$ の形に変形することがポイントになります．

$\sqrt{a^2\pm 2ab+b^2}$ の形に変形できれば，因数分解の公式 $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ を使って， $\sqrt{(a\pm b)^2}=|a\pm b|$ と変形できますね．

定理の形にまとめれば次のようになります．

[二重根号]　正の実数 $k$ ， $\ell$ に対して，実数 $a$ ， $b$ が $a+b=k$ ， $ab=\ell$ を満たせば，次が成り立つ．

$\ro{k\pm2\ro{\ell}}=|a\pm b|$

[証明]

正の実数 $k$ ， $\ell$ に対して，実数 $a$ ， $b$ が $a+b=k$ ， $ab=\ell$ を満たせば，

$\ro{k\pm2\ro{\ell}}$
$=\ro{a\pm2\ro{a}\ro{b}+b}$
$=\ro{(a\pm b)^2}$
$=|a\pm b|$

が従う．

[証明終]

因数分解の時と同じで，かけて $k$ ，たして $\ell$ となるような $a$ ， $b$ を見つければ良いわけですね．

このことは，因数分解の公式を使って二重根号 $\ro{\ro{\quad}}$ を外せることを知っていれば，自分で導くことができます．

【参考記事：ひねられても応用できる数学の勉強法４｜数学は暗記か？】

以下で例を見ますが，無理矢理にでも因数分解の公式の” $2ab$ “の” $2$ “を作り出して，二重根号 $\ro{\ro{\quad}}$ を外していることに注意してください．

例1

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ を考えます．

$3=2+1=(\sqrt{2})^2+1^2$ ， $\ro{2}=2\times\ro{2}\times1$ ですから，

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2\times\sqrt{2}\times1+1^2}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}$
$=\sqrt{2}+1$

となります．ただし，最後の等式では， $\sqrt{2}+1>0$ であることに注意．

例2

$\sqrt{5-4\sqrt{3}}$ を考えます．

$5=3+2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2$ ， $4\sqrt{3}=2\sqrt{6}=2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ ですから，

$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{3})^2-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}+(\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

となります．ただし，最後の等式では， $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0$ であることに注意．

例3

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$ を考えます．

$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\f{6-2\sqrt{5}}{2}}$

であり， $6=(\sqrt{5})^2+1^2$ ， $2\sqrt{5}=2\times\sqrt{5}\times1$ ですから，

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$=\sqrt{\f{6-2\sqrt{5}}{2}}$
$=\f{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\times\sqrt{5}\times1+1^2}}{\sqrt{2}}$
$=\f{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{\sqrt{2}}$
$=\f{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$
$=\f{\sqrt{2}\bra{\sqrt{5}-1}}{2}$