ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式を図から理解しよう

関数$f(x)$の$x=a$での微分係数$f'(a)$は，$y=f(x)$のグラフの接線の傾きを基にして定義されます．

教科書には，2通りの定義式

$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

が書かれています．

見た目は違うもののこれらは等しい式で，どちらを用いて計算しても同じ結果になります．

この記事では，これら２つの微分の定義式が同値であることを，例を用いて直感的に説明します．

関数$f(x)$に対して，$y=f(x)$のグラフの接線を求めるには，微分係数を用いることになります．微分係数は極限で定義されますが，その本質は平均変化率の極限です．微分係数の求め方が図形的にイメージできていれば，2度と定義式を忘れることはありません．

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２つの微分係数の定義

微分係数は平均変化率の極限で定義されますが，図形的な意味としては接線の傾きを表します．

微分係数の定義1

１つ目の微分の定義式は次のものです．

[定義1]　関数$f(x)$と実数$a$に対して，極限

$\begin{align*} \lim_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

が存在するとき，$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという．また，この極限を「関数$f(x)$の$x=a$における微分係数」といい，$f'(a)$と表す．

この$f'(a)$が$y=f(x)$の傾きを表すわけですが，それは次のような図形的イメージから来ています．

$xy$平面上に，点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(b,f(b))$を考えます．

このとき，$b\to a$とすれば直線ABは$\ell$の点Aでの接線に近付きます．

そのため，直線ABの傾き

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

は，$b\to a$とすれば$\ell$の点Aでの接線の傾きに近付くので，極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が$\ell$の点Aでの接線の傾きとなるわけです．

微分係数の定義2

２つ目の微分の定義式は次のものです．

[定義2]　関数$f(x)$と実数$a$に対して，極限

$\begin{align*} \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}$

が存在するとき，$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという．また，この極限を「関数$f(x)$の$x=a$における微分係数」といい，$f'(a)$と表す．

[定義1]と同じく，この$f'(a)$も$y=f(x)$の傾きを表すわけですが，その図形的イメージも[定義1]と同様に次のようになります．

$h$を実数とすると，$xy$平面上に点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(a+h,f(a+h))$をとることができます．

このとき，$h\to0$とすれば直線ABは$\ell$の点Aでの接線に近付きます．

そのため，直線ABの傾き

$\begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}\bra{=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}} \end{align*}$

も，$h\to0$とすれば$\ell$の点Aでの接線の傾きに近付くので，極限$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$が$\ell$の点Aでの接線の傾きとなるわけです．

[定義1]も[定義2]も，文字は違うものの，同じ図をイメージしていることが分かりますね．

２つの定義式が等しいこと

次に，[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が等しいことを説明します．

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式を念のため再掲しておきます．

[定義1]の定義式：$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
[定義2]の定義式：$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

[定義1]の考え方では点Aの$x$座標と点Bの$x$座標の差は$b-a$で，[定義2]のの考え方では点Aの$x$座標と点Bの$x$座標の差は$h$です．

これらは同じものを表しているので，[定義1]の$b$と[定義2]の$h$は，$b-a=h\iff b=a+h$という関係をもつことが分かります．

$b=a+h$から，

$\begin{align*} b\to a \iff& a+h\to a \\\iff& h\to 0 \end{align*}$

となります．また，

$\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =&\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} \\=&\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}$

となります．よって，

$\begin{align*} &\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\=&\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}$

が成り立ちます．

「微分係数」は$x$の増加が0に近付くときを考えているので，$x$の増加$b-a$に対して$b\to a$を考えても，$x$の増加を$h$に対して$h\to0$を考えても，本質は全く変わりませんね．

図のイメージから，どちらの定義式も同じであることを納得してください．

２つの定義で計算する

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が同じであることから，どちらの定義でも同じ結果になるはずです．

次の問題から，どちらの定義でも同じであることを納得してください．

$f(x)=x^3$の$x=2$での微分係数を求めよ．

定義1

$\begin{align*} \lim_{b\to 2}\frac{f(b)-f(2)}{b-2} =&\lim_{b\to 2}\frac{b^3-2^3}{b-2} \\=&\lim_{b\to 2}\frac{(b-2)(b^2+2b+2^2)}{b-2} \\=&\lim_{b\to 2}(b^2+2b+2^2) \\=&2^2+2\times2+2^2 \\=&3\times 2^2 \\=&12 \end{align*}$

$b-2$で約分して，不定形を解消しているのが見て取れますね．

定義2

$\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =&\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^3-2^3}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(2^3+3\times2^2h+3\times2h^2)-h^3}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{3\times2^2h+3\times2h^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}(3\times2^2+3\times2h) \\=&3\times 2^2 \\=&12 \end{align*}$

$h$で約分して，不定形を解消しているのが見て取れますね．

補足

定義1と定義2で，$b-2$と$h$が対応していること注意すれば，どちらも同じ計算をしていることが分かります．

微分を習いたての人は[定義1]の$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$で計算することが多く，慣れてくるにしたがって[定義2]の$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$で計算する人が多くなります．

例でも考えたように，[定義1]では極限をとる前に$b-a$で約分する必要があり，途中で分子を因数分解して$(b-a)$を出しました．一方，[定義2]では$h$で約分すれば良いので，分子を$h$でくくれば約分ができます．

この意味で，[定義1]の定義で計算するには，因数分解を必要とするので少し計算が面倒になります．そのため，[定義2]の$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$で計算する方が楽なことが多いのです．