ワンポイント数学5|2つの微分の定義式を図から理解しよう

関数$f(x)$の$x=a$での微分係数$f'(a)$は,$y=f(x)$のグラフの接線の傾きを基にして定義されます.

教科書には,2通りの定義式

  • $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  • $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

が書かれています.

見た目は違うもののこれらは等しい式で,どちらを用いて計算しても同じ結果になります.

この記事では,これら2つの微分の定義式が同値であることを,例を用いて直感的に説明します.

2つの微分係数の定義

微分係数は平均変化率の極限で定義されますが,図形的な意味としては接線の傾きを表します.

微分係数の定義1

1つ目の微分の定義式は次のものです.

[定義1] 関数$f(x)$と実数$a$に対して,極限

\begin{align*} \lim_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

が存在するとき,$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという.また,この極限を「関数$f(x)$の$x=a$における微分係数」といい,$f'(a)$と表す.

この$f'(a)$が$y=f(x)$の傾きを表すわけですが,それは次のような図形的イメージから来ています.

$xy$平面上に,点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(b,f(b))$を考えます.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,$b\to a$とすれば直線ABは$\ell$の点Aでの接線に近付きます.

Rendered by QuickLaTeX.com

そのため,直線ABの傾き

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

は,$b\to a$とすれば$\ell$の点Aでの接線の傾きに近付くので,極限$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$が$\ell$の点Aでの接線の傾きとなるわけです.

微分係数の定義2

2つ目の微分の定義式は次のものです.

[定義2] 関数$f(x)$と実数$a$に対して,極限

\begin{align*} \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}

が存在するとき,$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという.また,この極限を「関数$f(x)$の$x=a$における微分係数」といい,$f'(a)$と表す.

[定義1]と同じく,この$f'(a)$も$y=f(x)$の傾きを表すわけですが,その図形的イメージも[定義1]と同様に次のようになります.

$h$を実数とすると,$xy$平面上に点$\mrm{A}(a,f(a))$と異なる$y=f(x)$上の点$\mrm{B}(a+h,f(a+h))$をとることができます.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,$h\to0$とすれば直線ABは$\ell$の点Aでの接線に近付きます.

Rendered by QuickLaTeX.com

そのため,直線ABの傾き

\begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}\bra{=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}} \end{align*}

も,$h\to0$とすれば$\ell$の点Aでの接線の傾きに近付くので,極限$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$が$\ell$の点Aでの接線の傾きとなるわけです.

[定義1]も[定義2]も,文字は違うものの,同じ図をイメージしていることが分かりますね.

2つの定義式が等しいこと

次に,[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が等しいことを説明します.

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式を念のため再掲しておきます.

  • [定義1]の定義式:$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  • [定義2]の定義式:$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

[定義1]の考え方では点Aの$x$座標と点Bの$x$座標の差は$b-a$で,[定義2]のの考え方では点Aの$x$座標と点Bの$x$座標の差は$h$です.

これらは同じものを表しているので,[定義1]の$b$と[定義2]の$h$は,$b-a=h\iff b=a+h$という関係をもつことが分かります.

$b=a+h$から,

\begin{align*} b\to a \iff& a+h\to a \\\iff& h\to 0 \end{align*}

となります.また,

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =&\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} \\=&\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}

となります.よって,

\begin{align*} &\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\=&\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}

が成り立ちます.

「微分係数」は$x$の増加が0に近付くときを考えているので,$x$の増加$b-a$に対して$b\to a$を考えても,$x$の増加を$h$に対して$h\to0$を考えても,本質は全く変わりませんね.

図のイメージから,どちらの定義式も同じであることを納得してください.

2つの定義で計算する

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が同じであることから,どちらの定義でも同じ結果になるはずです.

次の問題から,どちらの定義でも同じであることを納得してください.

$f(x)=x^3$の$x=2$での微分係数を求めよ.

定義1

\begin{align*} \lim_{b\to 2}\frac{f(b)-f(2)}{b-2} =&\lim_{b\to 2}\frac{b^3-2^3}{b-2} \\=&\lim_{b\to 2}\frac{(b-2)(b^2+2b+2^2)}{b-2} \\=&\lim_{b\to 2}(b^2+2b+2^2) \\=&2^2+2\times2+2^2 \\=&3\times 2^2 \\=&12 \end{align*}

$b-2$で約分して,不定形を解消しているのが見て取れますね.

定義2

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =&\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^3-2^3}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(2^3+3\times2^2h+3\times2h^2)-h^3}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{3\times2^2h+3\times2h^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}(3\times2^2+3\times2h) \\=&3\times 2^2 \\=&12 \end{align*}

$h$で約分して,不定形を解消しているのが見て取れますね.

補足

定義1と定義2で,$b-2$と$h$が対応していること注意すれば,どちらも同じ計算をしていることが分かります.

微分を習いたての人は[定義1]の$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$で計算することが多く,慣れてくるにしたがって[定義2]の$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$で計算する人が多くなります.

例でも考えたように,[定義1]では極限をとる前に$b-a$で約分する必要があり,途中で分子を因数分解して$(b-a)$を出しました.一方,[定義2]では$h$で約分すれば良いので,分子を$h$でくくれば約分ができます.

この意味で,[定義1]の定義で計算するには,因数分解を必要とするので少し計算が面倒になります.そのため,[定義2]の$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$で計算する方が楽なことが多いのです.

最後までありがとうございました!

参考になった方は是非シェアをお願いします!

フォローする

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事

一覧へ

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る

オススメ

参考書

大学数学の

姉妹ブログ