ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式

高校数学で習う関数 $f(x)$ の $x=a$ での微分係数 $f'(a)$ の定義式は， $\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}$ と $\li_{h\to0}\f{f(a+h)-f(a)}{h}$ の2つあります．

見た目は違うもののこれらは等しい式で，どちらを用いて計算しても同じ結果になります．

この記事では，これら2つの微分の定義式が同値であることを，例を用いて直感的に説明します．

【参考記事：微分の基本１｜微分係数の定義と図形的意味，接線の定義】

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1 2つの微分係数の定義
2 2つの定義で計算する
- 2.1 定義1
- 2.2 定義2
3 補足

2つの微分係数の定義

微分係数は平均変化率の極限で定義されますが，図形的な意味としては接線の傾きを表します．

微分係数の定義1

一つ目の微分の定義式は次のものです．

[定義1]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して，極限

$\li_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．また，この極限を「関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数」といい， $f'(a)$ と表す．

この $f'(a)$ が $y=f(x)$ の傾きを表すわけですが，それは次のような図形的イメージから来ています．

$xy$ 平面上に，点 $\mrm{A}(a,f(a))$ と異なる $y=f(x)$ 上の点 $\mrm{B}(b,f(b))$ を考えます．

このとき， $b\to a$ とすれば直線 $\mrm{AB}$ は $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線に近付きます．

そのため，直線 $\mrm{AB}$ の傾き $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ も， $b\to a$ とすれば $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線の傾きに近付くので，極限 $\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}$ が $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線の傾きとなるわけです．

なお，極限なので， $a<b$ の状態から $b\to a$ となる極限(右極限)と， $b<a$ の状態から $b\to a$ となる極限(左極限)を考えています．

これは【微分の基本１｜微分係数の定義と図形的意味，接線の定義】でも説明した微分の定義です．

微分係数の定義2

一つ目の微分の定義式は次のものです．

[定義2]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して，極限

$\li_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．また，この極限を「関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数」といい， $f'(a)$ と表す．

[定義1]と同じく，この $f'(a)$ も $y=f(x)$ の傾きを表すわけですが，その図形的イメージも[定義1]と同様に次のようになります．

$h$ を実数とすると， $xy$ 平面上に点 $\mrm{A}(a,f(a))$ と異なる $y=f(x)$ 上の点 $\mrm{B}(a+h,f(a+h))$ をとることができます．

このとき， $h\to0$ とすれば直線 $\mrm{AB}$ は $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線に近付きます．

そのため，直線 $\mrm{AB}$ の傾き $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}$ ( $=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ )も， $h\to0$ とすれば $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線の傾きに近付くので，極限 $\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h}$ が $\ell$ の点 $\mrm{A}$ での接線の傾きとなる．

なお，極限なので， $0<h$ の状態から $h\to 0$ となる極限(右極限)と， $h<0$ の状態から $h\to 0$ となる極限(左極限)を考えています．

[定義2]でも，文字は違うものの，同じ図をイメージしていることが分かりますね．

2つの定義式が等しいこと

次に，[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が等しいことを説明します．

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式を念のため再掲しておきます．

[定義1]の定義式： $\li_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
[定義2]の定義式： $\li_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

[定義1]の考え方では点Aの $x$ 座標と点Bの $x$ 座標の差は $b-a$ で，[定義2]のの考え方では点Aの $x$ 座標と点Bの $x$ 座標の差は $h$ です．

これらは同じものを表しているので，[定義1]の $b$ と[定義2]の $h$ は， $b-a=h\Lra b=a+h$ という関係をもつことが分かります．

$b=a+h$ から，

$b\to a$
$\Lra a+h\to a$
$\Lra h\to 0$

となります．また，

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}$
$=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

となります．よって，

$\li_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$=\li_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

が成り立ちます．

「微分係数」は $x$ の増加が $0$ に近付くときを考えているので， $x$ の増加 $b-a$ に対して $b\to a$ を考えても， $x$ の増加を $h$ に対して $h\to0$ を考えても，本質は全く変わりませんね．

図のイメージから，どちらの定義式も同じであることを納得してください．

2つの定義で計算する

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が同じであることから，どちらの定義でも同じ結果になるはずです．

次の[問]から，どちらの定義でも同じであることを納得してください．

[問]　 $f(x)=x^3$ の $x=2$ での微分係数を求めよ．

定義1

$\li_{b\to 2}\dfrac{f(b)-f(2)}{b-2}$
$=\li_{b\to 2}\dfrac{b^3-2^3}{b-2}$
$=\li_{b\to 2}\dfrac{(b-2)(b^2+2b+2^2)}{b-2}$
$=\li_{b\to 2}(b^2+2b+2^2)$
$=2^2+2\times2+2^2$
$=3\times 2^2$
$=12$

$b-2$ で約分して，不定形を解消しているのが見て取れますね．

定義2

$\li_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$
$=\li_{h\to0}\dfrac{(2+h)^3-2^3}{h}$
$=\li_{h\to0}\dfrac{(2^3+3\times2^2h+3\times2h^2)-h^3}{h}$
$=\li_{h\to0}\dfrac{3\times2^2h+3\times2h^2}{h}$
$=\li_{h\to0}(3\times2^2+3\times2h)$
$=3\times 2^2$
$=12$