例えば，
- ０×６
- ６×０
- ０÷６
はいずれも答えは０ですが，６÷０はどうでしょうか？
実は，６÷０の答えは０ではないどころか定義ができません．
このように，０で割ることを０除算といいますが，数学では０除算は避けなければなりません．
もしもムリヤリ０で割ると，１=２が証明できてしまったり，おかしなことが起こってしまいます．
この記事では
- ０で割ってはいけない理由
- ０で割るとどうおかしなことが起こるか
などを説明します．
「ワンポイント数学」では，数学の基本的な内容を扱っています．
【ワンポイント数学１｜作図の考え方，線分を等分する作図】
【ワンポイント数学２｜絶対値の定義から一瞬で解ける問題】
【ワンポイント数学３｜根号(ルート)の基本と二重根号の外し方】
【ワンポイント数学４｜０で割るのは反則！ダメな理由を説明】←今の記事
【ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式を図から理解しよう】
解説動画
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０で割ってはいけない理由
まずは０で割ってはいけなさそうなことを実感しましょう．
電卓で実験する
電卓を使って６÷０を計算してみるとどうなるか，試してみたことはあるでしょうか？
是非とも一度やってみて欲しいのですが，少なくとも０にはならないはずです．
なお，
- スマートフォンの電卓では”$6\div0=\infty$”
- 関数電卓では”Math Error”
となりました($6\div0=\infty$という答えは数学的にも間違いです)．
また，
- ０×６
- ６×０
- ０÷６
はいずれも０になるはずで，６÷０だけが０にならないことからも
「どうやら６÷０は，少なくとも０ではないらしい」
ということが感じられると思います．
０除算が直感的におかしい理由
もうひとつ，０除算が直感的におかしい理由を挙げておきます．例えば，
と割る数を正の方からどんどん０に近づけていくと，商はどんどん大きくなっていきます．
一方，
と割る数を負の方からどんどん０に近づけていくと，商はどんどん小さくなります．
このように，どちらも同じく６÷０に近付いているはずなのに，一方は無限に増加し，他方は無限に減少します．
このことは反比例のグラフ$y=\dfrac{6}{x}$を考えれば分かります．
確かに
- $x$を正の方から０に近付けると，どんどん大きく
- $x$を負の方から０に近付けると，どんどん小さく
なっていますね．
こう考えても，確かに６÷０をうまく値として定義するのは難しそうですね．
（なお，このことは数IIIの言葉を使うと，
- ０における右極限$\lim\limits_{x\to+0}6\div x=\infty$
- ０における左極限$\lim\limits_{x\to-0}6\div x=-\infty$
が一致しない，と説明できます．）
０除算がダメな理由
そもそも「割り算は掛け算の逆演算」として定義されたのでした．
例えば，３×２=６という掛け算から，６÷３=２や６÷２=３を考えるのが割り算でした．
このことは，一般には次のように書けますね．
実数$a$, $b$, $c$が$a\times b=c$をみたすとき，$c\div a=b$や$c\div b=a$と表す．
さて，ここで０で割ることを考えてみます．
６÷０が何らかの実数$X$になったとしましょう．つまり，$6\div0=X$と書けたとします．
このとき，$6\div0=X$のもとの掛け算は
ですが，$X$がどんな数であっても０をかけると必ず０になるので，６になるというこの等式は成り立ち得ません．
したがって，６÷０の結果をどのような実数$X$としても，掛け算に直したときにおかしなことになってしまうのです．
これが「０除算」がダメな理由です．
割り算が掛け算の逆演算で定義される．割り算$a\div0=X$を掛け算に直すと$a=0\times X$なので，$a\neq0$ならこれを満たす$X$は存在しない．よって，０除算$a\div0$は定義できない．
補足
いくつか補足をします．
１=２のナンチャッテ証明
数学(算数)において，「０除算」はハッキリやってはいけないことなのですが，「０除算」を使うとあたかも１=２が証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります．
[ナンチャッテ定理] １=２が成り立つ．
[ナンチャッテ証明]
$a=b$が成り立っているとする．このとき，両辺に$a$をかけて
となり，さらに両辺から$b^2$を引くことで
となります．両辺を因数分解すると
だから，両辺を$a-b$で割って$a+b=b$となる．
$a=b$だったから$2b=b$となり，両辺を$b$で割って１=２が従う．
[ナンチャッテ証明終]
さて，色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいですが，ダメなところが分かるでしょうか？
途中で「$a-b$で両辺を割って」いるところがマズいです．
というのは，もともと$a=b$でしたから$a-b=0$なので，「$a-b$で両辺を割る」ということは「０除算」をしてしまっていることになり問題なのです．
もし分かり辛ければ，実際に$a=1$, $b=1$とおいて，上のナンチャッテ証明を追ってみれば，おかしなところが分かりやすいでしょう．
不能と不定
覚える必要はありませんが，数学には「不能」と「不定」という言葉があります．
あまり詳しく説明しませんが，これらを平たくいうと
- 「存在しないこと」を「不能」
- 「１つに定まらないこと」を「不定」
ということになります．例えば，
- 「方程式で解なしの場合」を「不能」
- 「方程式で解が無数の場合」を「不定」
となります．
不能となる場合
上のように$6\div0=X$を考えた場合，掛け算になおすと$0\times X=6$をみたす$X$が存在しませんでした．
したがって，この場合には「不能」となります．
「３÷０は？」や「１÷０は？」などと聞かれたときには，「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります．
不定となる場合
一方，０÷０を考えた場合は「不能」ではありません．
もし，$0\div0=X$となったとすると，もとの掛け算は$0\times X=0$となります．０にどんな実数をかけても０でしたから，$X$が何であってもこの掛け算をみたします．
したがって，０÷０の場合は値が１つに定まらないので「不定」となります．
「０÷０は？」と聞かれたときには，「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります．
などを説明します．
「ワンポイント数学」では，数学の基本的な内容を扱っています．
【ワンポイント数学１｜作図の考え方，線分を等分する作図】
【ワンポイント数学２｜絶対値の定義から一瞬で解ける問題】
【ワンポイント数学３｜根号(ルート)の基本と二重根号の外し方】
【ワンポイント数学４｜０で割るのは反則！ダメな理由を説明】
【ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式を図から理解しよう】←次の記事