ワンポイント数学４｜０で割ってはいけない理由

小学校で習う割り算ですが，割り算ではやってはいけないことがあります．

この記事のタイトルにもあるように，それは「0で割る」ということです．

掛け算では $0\times x=0$ ， $x\times 0=0$ のように，0をかければ直ちに0になります．また，割り算でも $0\div x=0$ のように，0をどんな数で割っても0になります．

そのため，そのまま割り算でも0が出てくれば0だと勘違いしてしまうことがあるようです．しかし， $x\div 0$ はやってはいけないことなのです．

この記事で，0で割ってはいけない理由をしっかり理解してください．

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1 0で割ってはいけない理由
2 補足

0で割ってはいけない理由

例えば，電卓を使って $3\div0$ を計算してみるとどうなるでしょうか？

一度やってみてください．

結果は電卓によって変わるかもしれませんが，少なくとも0にはならないはずです．

なお，私のスマートフォンの電卓では” $3\div0=\infty$ “となり，関数電卓では”Math Error”となりました．(なお，スマートフォンの $\infty$ という答えは数学的にも間違いです．)

ともかく，「どうやら $3\div0$ は0ではないらしい」ということは少しでも感じてもらえたと思います．

さて，0で割ってはいけない理由ですが，実はそれほど難しい話ではありません．

そもそも割り算とは掛け算の逆演算として定義されたのでした．つまり，例えば $3\times2=6$ という掛け算から， $6\div3=2$ や $6\div2=3$ を考えるのが割り算でした．

ですから，一般的には，次のように書けますね．

[割り算]　実数 $a$ ， $b$ ， $c$ に対して， $a\times b=c$ が成り立っているとき， $c\div a=b$ や $c\div b=a$ と表す．

さて，ここで0で割ることを考えてみます．

もし， $3\div0$ が何らかの実数 $X$ になったとします．つまり， $3\div0=X$ と書けたとします．このとき， $3\div0=X$ の元の掛け算は $0\times X=3$ ですね．

さて，この $0\times X=3$ の意味は「 $X$ に0をかけると3になる」ということですが，実数に0をかけると必ず0になるので，3にはなり得ません．

したがって， $3\div0$ の結果をどのような実数 $X$ としても，掛け算に直したときにおかしなことになってしまうのです．

以上のように，「0で割る」というのは割り算の定義から，おかしなことをしていることが分かりますね．

割り算が掛け算の逆演算で定義される．割り算 $a\div0=X$

を掛け算に直すと $a=0\times X$

なので， $a\neq0$

ならこれを満たす $X$

は存在しない．よって，り算 $a\div0$

は定義できない．

補足

いくつか補足をします．

直感的におかしい理由

なお，「0除算」が直感的におかしい理由を(厳密ではないですが)1つ書いておきます．

例えば，

$3\div1=3$ ，
$3\div0.1=30$ ，
$3\div0.01=300$ ，
$3\div0.001=3000$ ，
……

と割る数を正の方からどんどん0に近づけていくと，商はどんどん大きくなります．

一方，

$3\div(-1)=-3$ ，
$3\div(-0.1)=-30$ ，
$3\div(-0.01)=-300$ ，
$3\div(-0.001)=-3000$ ，
……

と割る数を負の方からどんどん0に近づけていくと，商はどんどん小さくなります．

このように，どちらも同じく $3\div0$ に近付いているはずなのに，一方は無限に増加し，他方は無限に減少します．

このことは，反比例のグラフ $y=\dfrac{3}{x}$ を考えれば分かると思います．

こう考えても， $3\div0$ を定義するのは難しそうですね．

なお，数IIIの言葉を使うと，「0における右極限

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\li_{x\to+0}3\div x=\infty

*** Error message:
Undefined control sequence \li.
leading text: $\li

と，左極限

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\li_{x\to-0}3\div x=-\infty

*** Error message:
Undefined control sequence \li.
leading text: $\li

が一致しない」ということになります．

1=2のナンチャッテ証明

数学(算数)において，「0除算」はハッキリやってはいけないことなのですが，「0除算」を使うと，あたかも $1=2$ が証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります．

[ナンチャッテ証明]

$a=b$ が成り立っているとする．

このとき，両辺に $a$ をかけて $a^2=ab$ となり，さらに両辺から $b^2$ を引くことで $a^2-b^2=ab-b^2$ となります．

両辺を因数分解すると $(a-b)(a+b)=(a-b)b$ だから，両辺を $a-b$ で割って $a+b=b$ となる．

$a=b$ だったから $2b=b$ となり，両辺を $b$ で割って $1=2$ が従う．

[ナンチャッテ証明終]

さて，色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいですが，ダメなところが分かるでしょうか？

途中で「 $a-b$ で両辺を割って」いますが，もともと $a=b$ でしたから $a-b=0$ ですね．ですから，ここで「0除算」をしてしまっているのが問題なのです．

もし分かり辛ければ，実際に $a=1$ ， $b=1$ とおいて，上のナンチャッテ証明を追ってみれば，おかしなところが分かりやすいかもしれません．

不能と不定

覚える必要はありませんが，数学には「不能」と「不定」という言葉があります．

あまり詳しく説明しませんが，これらを平たくいうと「存在しないこと」を「不能」，「1つに定まらないこと」を「不定」ということになります．

身近な例では，「方程式で解なしの場合」を「不能」，「方程式で解が無数の場合」を「不定」となります．

不能となる場合

上のように $3\div0=X$ を考えた場合，掛け算になおすと $0\times X=3$ をみたす $X$ が存在しませんでした．

ですから，この場合には「不能」となります．

「 $3\div0$ は？」や「 $1\div0$ は？」などと聞かれたときには，「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります．

不定となる場合

一方， $0\div0$ を考えた場合は「不能」ではありません．

もし， $0\div0=X$ となったとすると，もとの掛け算は $o\times X=0$ となります．0にどんな実数をかけても0でしたから， $X$ が何であってもこの掛け算をみたします．

したがって， $0\div0$ の場合は値が1つに定まらないので「不定」となるわけです．

「 $0\div0$ は？」と聞かれたときには，「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります．