ワンポイント数学４｜０で割ってはいけない理由

小学校で習う割り算ですが，割り算ではやってはいけないことがあります．

この記事のタイトルにもあるように，それは「で割る」ということです．

掛け算では，のように，をかければ直ちにになります．また，割り算でものように，をどんな数で割ってもになります．

そのため，そのまま割り算でもが出てくればだと勘違いしてしまうことがあるようです．しかし，はやってはいけないことなのです．

この記事で，で割ってはいけない理由をしっかり理解してください．

0で割ってはいけない理由

例えば，電卓を使ってを計算してみるとどうなるでしょうか？

一度やってみてください．

結果は電卓によって変わるかもしれませんが，少なくともにはならないはずです．

なお，私のスマートフォンの電卓では”“となり，関数電卓では”Math Error”となりました．(なお，スマートフォンのという答えは数学的にも間違いです．)

ともかく，「どうやらはではないらしい」ということは少しでも感じてもらえたと思います．

さて，で割ってはいけない理由ですが，実はそれほど難しい話ではありません．

そもそも割り算とは掛け算の逆演算として定義されたのでした．つまり，例えばという掛け算から，やを考えるのが割り算でした．

ですから，一般的には，次のように書けますね．

さて，ここでで割ることを考えてみます．

もし，が何らかの実数になったとします．つまり，と書けたとします．このとき，の元の掛け算はですね．

さて，このの意味は「にをかけるとになる」ということですが，実数にをかけると必ずになるので，にはなり得ません．

したがって，の結果をどのような実数としても，掛け算に直したときにおかしなことになってしまうのです．

以上のように，「で割る」というのは割り算の定義から，おかしなことをしていることが分かりますね．

割り算が掛け算の逆演算で定義される．割り算を掛け算に直すとなので，ならこれを満たすは存在しない．よって，り算は定義できない．

補足

いくつか補足をします．

直感的におかしい理由

なお，「除算」が直感的におかしい理由を(厳密ではないですが)1つ書いておきます．

例えば，

と割る数を正の方からどんどんに近づけていくと，商はどんどん大きくなります．

一方，

と割る数を負の方からどんどんに近づけていくと，商はどんどん小さくなります．

このように，どちらも同じくに近付いているはずなのに，一方は無限に増加し，他方は無限に減少します．

このことは，反比例のグラフを考えれば分かると思います．

こう考えても，を定義するのは難しそうですね．

なお，数IIIの言葉を使うと，「における右極限と，左極限が一致しない」ということになります．

1=2のナンチャッテ証明

数学(算数)において，「除算」はハッキリやってはいけないことなのですが，「除算」を使うと，あたかもが証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります．

[ナンチャッテ証明]

が成り立っているとする．

このとき，両辺にをかけてとなり，さらに両辺からを引くことでとなります．

両辺を因数分解するとだから，両辺をで割ってとなる．

だったからとなり，両辺をで割ってが従う．

[ナンチャッテ証明終]

さて，色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいですが，ダメなところが分かるでしょうか？

途中で「で両辺を割って」いますが，もともとでしたからですね．ですから，ここで「除算」をしてしまっているのが問題なのです．

もし分かり辛ければ，実際に，とおいて，上のナンチャッテ証明を追ってみれば，おかしなところが分かりやすいかもしれません．

不能と不定

覚える必要はありませんが，数学には「不能」と「不定」という言葉があります．

あまり詳しく説明しませんが，これらを平たくいうと「存在しないこと」を「不能」，「1つに定まらないこと」を「不定」ということになります．

身近な例では，「方程式で解なしの場合」を「不能」，「方程式で解が無数の場合」を「不定」となります．

不能となる場合

上のようにを考えた場合，掛け算になおすとをみたすが存在しませんでした．

ですから，この場合には「不能」となります．

「は？」や「は？」などと聞かれたときには，「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります．

不定となる場合

一方，を考えた場合は「不能」ではありません．

もし，となったとすると，もとの掛け算はとなります．にどんな実数をかけてもでしたから，が何であってもこの掛け算をみたします．

したがって，の場合は値が1つに定まらないので「不定」となるわけです．

「は？」と聞かれたときには，「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります．

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