ワンポイント数学４｜０で割るのは反則！ダメな理由を説明

例えば，

• ０×６
• ６×０
• ０÷６

はいずれも答えは０ですが，６÷０はどうでしょうか？

実は，６÷０の答えは０ではないどころか定義ができません．

このように，０で割ることを０除算といいますが，数学では０除算は避けなければなりません．

もしもムリヤリ０で割ると，１=２が証明できてしまったり，おかしなことが起こってしまいます．

この記事では

• ０で割ってはいけない理由
• ０で割るとどうおかしなことが起こるか

などを説明します．

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０で割ってはいけない理由

まずは０で割ってはいけなさそうなことを実感しましょう．

電卓で実験する

電卓を使って６÷０を計算してみるとどうなるか，試してみたことはあるでしょうか？

是非とも一度やってみて欲しいのですが，少なくとも０にはならないはずです．

なお，

• スマートフォンの電卓では”$6\div0=\infty$”
• 関数電卓では”Math Error”

となりました($6\div0=\infty$という答えは数学的にも間違いです)．

また，

• ０×６
• ６×０
• ０÷６

はいずれも０になるはずで，６÷０だけが０にならないことからも

「どうやら６÷０は，少なくとも０ではないらしい」

ということが感じられると思います．

０除算が直感的におかしい理由

もうひとつ，０除算が直感的におかしい理由を挙げておきます．例えば，

   

と割る数を正の方からどんどん０に近づけていくと，商はどんどん大きくなっていきます．

一方，

   

と割る数を負の方からどんどん０に近づけていくと，商はどんどん小さくなります．

このように，どちらも同じく６÷０に近付いているはずなのに，一方は無限に増加し，他方は無限に減少します．

このことは反比例のグラフ$y=\dfrac{6}{x}$を考えれば分かります．

確かに

• $x$を正の方から０に近付けると，どんどん大きく
• $x$を負の方から０に近付けると，どんどん小さく

なっていますね．

こう考えても，確かに６÷０をうまく値として定義するのは難しそうですね．

（なお，このことは数IIIの言葉を使うと，

• ０における右極限$\lim\limits_{x\to+0}6\div x=\infty$
• ０における左極限$\lim\limits_{x\to-0}6\div x=-\infty$

が一致しない，と説明できます．）

０除算がダメな理由

そもそも「割り算は掛け算の逆演算」として定義されたのでした．

例えば，３×２=６という掛け算から，６÷３=２や６÷２=３を考えるのが割り算でした．

このことは，一般には次のように書けますね．

さて，ここで０で割ることを考えてみます．

６÷０が何らかの実数$X$になったとしましょう．つまり，$6\div0=X$と書けたとします．

このとき，$6\div0=X$のもとの掛け算は

   

ですが，$X$がどんな数であっても０をかけると必ず０になるので，６になるというこの等式は成り立ち得ません．

したがって，６÷０の結果をどのような実数$X$としても，掛け算に直したときにおかしなことになってしまうのです．

これが「０除算」がダメな理由です．

補足

いくつか補足をします．

１=２のナンチャッテ証明

数学(算数)において，「０除算」はハッキリやってはいけないことなのですが，「０除算」を使うとあたかも１=２が証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります．

[ナンチャッテ証明]

$a=b$が成り立っているとする．このとき，両辺に$a$をかけて

   

となり，さらに両辺から$b^2$を引くことで

   

となります．両辺を因数分解すると

   

だから，両辺を$a-b$で割って$a+b=b$となる．

$a=b$だったから$2b=b$となり，両辺を$b$で割って１=２が従う．

[ナンチャッテ証明終]

さて，色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいですが，ダメなところが分かるでしょうか？

途中で「$a-b$で両辺を割って」いるところがマズいです．

というのは，もともと$a=b$でしたから$a-b=0$なので，「$a-b$で両辺を割る」ということは「０除算」をしてしまっていることになり問題なのです．

もし分かり辛ければ，実際に$a=1$, $b=1$とおいて，上のナンチャッテ証明を追ってみれば，おかしなところが分かりやすいでしょう．

不能と不定

覚える必要はありませんが，数学には「不能」と「不定」という言葉があります．

あまり詳しく説明しませんが，これらを平たくいうと

• 「存在しないこと」を「不能」
• 「１つに定まらないこと」を「不定」

ということになります．例えば，

• 「方程式で解なしの場合」を「不能」
• 「方程式で解が無数の場合」を「不定」

となります．

不能となる場合

上のように$6\div0=X$を考えた場合，掛け算になおすと$0\times X=6$をみたす$X$が存在しませんでした．

したがって，この場合には「不能」となります．

「３÷０は？」や「１÷０は？」などと聞かれたときには，「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります．

不定となる場合

一方，０÷０を考えた場合は「不能」ではありません．

もし，$0\div0=X$となったとすると，もとの掛け算は$0\times X=0$となります．０にどんな実数をかけても０でしたから，$X$が何であってもこの掛け算をみたします．

したがって，０÷０の場合は値が１つに定まらないので「不定」となります．

「０÷０は？」と聞かれたときには，「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります．

などを説明します．