例えば,
- 0×6
- 6×0
- 0÷6
はいずれも答えは0ですが,6÷0はどうでしょうか?
実は,6÷0の答えは0ではないどころか定義ができません.
このように,0で割ることを0除算といいますが,数学では0除算は避けなければなりません.
もしもムリヤリ0で割ると,1=2が証明できてしまったり,おかしなことが起こってしまいます.
この記事では
- 0で割ってはいけない理由
- 0で割るとどうおかしなことが起こるか
などを説明します.
「ワンポイント数学」では,数学の基本的な内容を扱っています.
【ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図】
【ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題】
【ワンポイント数学3|根号(ルート)の基本と二重根号の外し方】
【ワンポイント数学4|0で割るのは反則!ダメな理由を説明】←今の記事
【ワンポイント数学5|2つの微分の定義式を図から理解しよう】
0で割ってはいけない理由
まずは0で割ってはいけなさそうなことを実感しましょう.
電卓で実験する
電卓を使って6÷0を計算してみるとどうなるか,試してみたことはあるでしょうか?
是非とも一度やってみて欲しいのですが,少なくとも0にはならないはずです.
なお,
- スマートフォンの電卓では”$6\div0=\infty$”
- 関数電卓では”Math Error”
となりました($6\div0=\infty$という答えは数学的にも間違いです).
また,
- 0×6
- 6×0
- 0÷6
はいずれも0になるはずで,6÷0だけが0にならないことからも
「どうやら6÷0は,少なくとも0ではないらしい」
ということが感じられると思います.
0除算が直感的におかしい理由
もうひとつ,0除算が直感的におかしい理由を挙げておきます.例えば,
と割る数を正の方からどんどん0に近づけていくと,商はどんどん大きくなっていきます.
一方,
と割る数を負の方からどんどん0に近づけていくと,商はどんどん小さくなります.
このように,どちらも同じく6÷0に近付いているはずなのに,一方は無限に増加し,他方は無限に減少します.
このことは反比例のグラフ$y=\dfrac{6}{x}$を考えれば分かります.
確かに
- $x$を正の方から0に近付けると,どんどん大きく
- $x$を負の方から0に近付けると,どんどん小さく
なっていますね.
こう考えても,確かに6÷0をうまく値として定義するのは難しそうですね.
(なお,このことは数IIIの言葉を使うと,
- 0における右極限$\lim\limits_{x\to+0}6\div x=\infty$
- 0における左極限$\lim\limits_{x\to-0}6\div x=-\infty$
が一致しない,と説明できます.)
0除算がダメな理由
そもそも「割り算は掛け算の逆演算」として定義されたのでした.
例えば,3×2=6という掛け算から,6÷3=2や6÷2=3を考えるのが割り算でした.
このことは,一般には次のように書けますね.
実数$a$, $b$, $c$が$a\times b=c$をみたすとき,$c\div a=b$や$c\div b=a$と表す.
さて,ここで0で割ることを考えてみます.
6÷0が何らかの実数$X$になったとしましょう.つまり,$6\div0=X$と書けたとします.
このとき,$6\div0=X$のもとの掛け算は
ですが,$X$がどんな数であっても0をかけると必ず0になるので,6になるというこの等式は成り立ち得ません.
したがって,6÷0の結果をどのような実数$X$としても,掛け算に直したときにおかしなことになってしまうのです.
これが「0除算」がダメな理由です.
割り算が掛け算の逆演算で定義される.割り算$a\div0=X$を掛け算に直すと$a=0\times X$なので,$a\neq0$ならこれを満たす$X$は存在しない.よって,0除算$a\div0$は定義できない.
補足
いくつか補足をします.
1=2のナンチャッテ証明
数学(算数)において,「0除算」はハッキリやってはいけないことなのですが,「0除算」を使うとあたかも1=2が証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります.
[ナンチャッテ定理] 1=2が成り立つ.
[ナンチャッテ証明]
$a=b$が成り立っているとする.このとき,両辺に$a$をかけて
となり,さらに両辺から$b^2$を引くことで
となります.両辺を因数分解すると
だから,両辺を$a-b$で割って$a+b=b$となる.
$a=b$だったから$2b=b$となり,両辺を$b$で割って1=2が従う.
[ナンチャッテ証明終]
さて,色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいですが,ダメなところが分かるでしょうか?
途中で「$a-b$で両辺を割って」いるところがマズいです.
というのは,もともと$a=b$でしたから$a-b=0$なので,「$a-b$で両辺を割る」ということは「0除算」をしてしまっていることになり問題なのです.
もし分かり辛ければ,実際に$a=1$, $b=1$とおいて,上のナンチャッテ証明を追ってみれば,おかしなところが分かりやすいでしょう.
不能と不定
覚える必要はありませんが,数学には「不能」と「不定」という言葉があります.
あまり詳しく説明しませんが,これらを平たくいうと
- 「存在しないこと」を「不能」
- 「1つに定まらないこと」を「不定」
ということになります.例えば,
- 「方程式で解なしの場合」を「不能」
- 「方程式で解が無数の場合」を「不定」
となります.
不能となる場合
上のように$6\div0=X$を考えた場合,掛け算になおすと$0\times X=6$をみたす$X$が存在しませんでした.
したがって,この場合には「不能」となります.
「3÷0は?」や「1÷0は?」などと聞かれたときには,「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります.
不定となる場合
一方,0÷0を考えた場合は「不能」ではありません.
もし,$0\div0=X$となったとすると,もとの掛け算は$0\times X=0$となります.0にどんな実数をかけても0でしたから,$X$が何であってもこの掛け算をみたします.
したがって,0÷0の場合は値が1つに定まらないので「不定」となります.
「0÷0は?」と聞かれたときには,「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります.
などを説明します.
「ワンポイント数学」では,数学の基本的な内容を扱っています.
【ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図】
【ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題】
【ワンポイント数学3|根号(ルート)の基本と二重根号の外し方】
【ワンポイント数学4|0で割るのは反則!ダメな理由を説明】
【ワンポイント数学5|2つの微分の定義式を図から理解しよう】←次の記事