ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図

作図問題は,入試でもあまり出ないため,軽視されがちな分野でもあります.

そのため,「こうすればできる」と方法は知っているものの,なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです.

あくまで,高校数学までに出てくる作図では,平行線や合同などを利用する作図がほとんどです.

この記事では,意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します.

相似

「線分を等分する作図」では,次の[相似]が重要な役割をします.

[相似] $\tri{ABC}$に対して,線分AB上に点$\mrm{D}$を,線分AC上に点$\mrm{E}$をとる.このとき,$\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}$なら,$\tri{ABC}\sim\tri{ADE}$となる.

ただし,$/\!/$は平行を,$\sim$は相似を表す.

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この[相似]は非常によく出てくるので,「ピラミッド型の相似」などと呼ばれることもありますね.

平行線が絡む相似の証明には,多くの場合で「平行線の錯角が等しい」や「平行線の同位角が等しい」などを用います.

実際,[相似]は次のように証明されます.

[証明]

$\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}$により,$\ang{ABC}=\ang{ADE}$と$\ang{ACB}=\ang{AED}$が成り立つ(平行線の同位角が等しい).

よって,$\tri{ABC}$と$\tri{ADE}$の対応する2角がそれぞれ等しいから,$\tri{ABC}\sim\tri{ADE}$が従う.

[証明終]

線分を等分する

それでは,次の問題を考えます.

平面上の線分ABを作図により6等分せよ.

この[問]では6等分ですが,3等分でも4等分でも100等分でも同様に作図できます.

作図法

まず,[解答]を書きます.

[解答]

Step.1からStep.4に分けて作図する.

Step.1

点Aを始点とし,点Bを通らない半直線$\ell$と引く.

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Step.2

次に,コンパスを勝手な半径にとり,針を点Aに刺して描かれる円と,半直線$\ell$との交点を$\mrm{C}_1$とする.

続いて,同じ半径のコンパスで針を点$\mrm{C}_1$に刺して描かれる円と,半直線$\ell$との交点のうちAではない方を$\mrm{C}_2$とする.

$\mrm{C}_3$, $\mrm{C}_4$, $\mrm{C}_5$, $\mrm{C}_6$を,この順になるように同様にとる.このとき,

$\mrm{AC_1}=\mrm{AC_2}=\mrm{AC_3}=\mrm{AC_4}=\mrm{AC_5}=\mrm{AC_6}$

となる.

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Step.3

点Bと点$\mrm{C_6}$を結ぶ直線を$\ell_6$とする.

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Step.4

直線$\ell_6$と平行で,点$\mrm{C_1}$, $\mrm{C_2}$, $\mrm{C_3}$, $\mrm{C_4}$, $\mrm{C_5}$を通る直線を,それぞれ$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$とする.

このとき,直線$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$と線分ABの交点をそれぞれ点$\mrm{D_1}$, $\mrm{D_2}$, $\mrm{D_3}$, $\mrm{D_4}$, $\mrm{D_5}$とすると,これらの点によって線分ABは6等分される.

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[解答終]

作図が正しいことの証明

続いて,この[解答]によって,確かに線分ABが6等分されていることを証明します.

[証明]

[解答]によってできた図は,[相似]により$\tri{AD_1C_1}$, $\tri{AD_2C_2}$, $\tri{AD_3C_3}$, $\tri{AD_4C_4}$, $\tri{AD_5C_5}$, $\tri{ABC_6}$は全て相似である.

よって,[解答]のStep.2より,

$\mrm{AD_1}:\mrm{AD_2}:\mrm{AD_3}:\mrm{AD_4}:\mrm{AD_5}:\mrm{AD_6}$
$=\mrm{AC_1}:\mrm{AC_2}:\mrm{AC_3}:\mrm{AC_4}:\mrm{AC_5}:\mrm{AC_6}$
$=1:2:3:4:5:6$

となる.

[証明終]

このように,作図であっても,しっかり根拠をもっていることは大切です.

最後までありがとうございました!

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