ワンポイント数学

ワンポイント数学5|2つの微分の定義式を図から理解しよう

関数f(x)x=aでの微分係数f'(a)は,y=f(x)のグラフの接線の傾きを基にして定義されます.

教科書には,2通りの定義式\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}が書かれています.

見た目は違うもののこれらは等しい式で,どちらを用いて計算しても同じ結果になります.

この記事では,これら2つの微分の定義式が同値であることを,例を用いて直感的に説明します.

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ワンポイント数学4|0で割ってはいけない理由

小学校で習う割り算ですが,割り算ではやってはいけないことがあります.

この記事のタイトルにもあるように,それは「0で割る」ということです.

掛け算では0\times x=0x\times 0=0のように,0をかければ直ちに0になります.また,割り算でも0\div x=0のように,0をどんな数で割っても0になります.

そのため,そのまま割り算でも0が出てくれば0だと勘違いしてしまうことがあるようです.しかし,x\div 0はやってはいけないことなのです.

この記事で,0で割ってはいけない理由をしっかり理解してください.

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ワンポイント数学3|根号(ルート)の基本と二重根号の外し方

根号(ルート)の中身が2乗であれば,根号\ro{\quad}が外れるのはよく知られていますが,そこでよくある間違いがあります.

実数aに対して,\sqrt{a^2}で根号\ro{\quad}を外すとどうなるのか,正しく言えるでしょうか?

\sqrt{a^2}=aは間違いですよ.

また,これが正しく言えなければ,\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません.

この記事で,根号\ro{\quad}の扱いを確実にしてください.

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ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値をきちんと定義から捉えられるようになると,ほとんど計算せず一瞬で答えが分かってしまう問題があります.

例えば,絶対値が絡んだ不等式|x-3|<5や方程式|x-2|+|x-4|=6は絶対値のイメージが分かっていればものの数秒で答えを出すことができます.

しかし,実際に予備校で教えていても,「絶対値は中身が0以上ならそのまま外す,中身が負ならマイナスをかけて外す」と絶対値の[性質]を言うことができる人は多いですが,これは絶対値の定義ではありません.

性質が言えることはそれで素晴らしいことですが,「じゃあ,これが成り立つ理由は?」を聞くと途端に考え込んでしまう人が多いのも事実です.

これは絶対値のイメージが意識できていないのが原因です.

絶対値のイメージをしっかり理解して,自信を持って絶対値を扱えるようにしてください.

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ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図

作図問題は,入試でもあまり出ないため,軽視されがちな分野でもあります.

そのため,「こうすればできる」と方法は知っているものの,なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです.

あくまで,高校数学までに出てくる作図では,平行線や合同などを利用する作図がほとんどです.

この記事では,意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します.

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