三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！

2019/10/10 2019/10/30 三角関数

三角関数の増減をしっかり意識することができれば，有名角の三角関数の値や，三角関数のグラフは直ちに得られることを前回，前々回の記事で説明しました．

いずれの場合でも，単位円周上で点を動かすことを考えれば良いのでした．

今回の記事では $2\sin{\theta}=1$ や $2\sin{\bra{\theta-\dfrac{\pi}{3}}}<\sqrt{3}$ のような三角関数を含んだ方程式や不等式を扱います．

しかし，やることは変わらず，単位円周上で点を動かすだけです．

原点Oの $xy$ 平面上の偏角 $\theta$ の点Pについて，Pの $x$ 座標が $\cos{\theta}$ ， $y$ 座標が $\sin{\theta}$ であり，直線OPと直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ なのでした．このことから， $xy$ 平面上の単位円上で点を動かすことにより，三角関数のグラフは直ちに得られます．

三角関数５｜三角関数のグラフは”横”や”縦”から見るべし！

2019/6/2 2019/10/30 三角関数

$xy$ 平面上の単位円周上の点Pの偏角が $\theta$ であるとき，点Pの $x$ 座標を $\cos{\theta}$ ，点Pの $y$ 座標を $\sin{\theta}$ と定義するのでした．

さらに，単位円の点 $(1,0)$ での接線と直線OPの交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ となるのでした．

前回の記事では，単位円上の点が1周する間に，三角関数 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ がどのように増減するのかを考えました．

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば，

$\sin{\theta}$ のグラフ
$\cos{\theta}$ のグラフ
$\tan{\theta}$ のグラフ

を描くことができます．

【前回の記事：三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ】

有名角の三角関数の値は覚えるまでもなく，図を描くことで瞬時に導くことができます．有名角( $\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}$ の整数倍)の三角関数の値を導くコツを説明しています．

三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ

2019/5/11 2019/10/30 三角関数

前回の記事では，小学校から使ってきた角度の表し方である「度数法」に代わって，数学的に都合の良い角度の表し方である「弧度法」を考えました．

「弧度法」は「○○ラジアン」という角度の表し方をするもので，半径1の扇形においては「(中心角) $[\mrm{rad}]$ =(弧の長さ)」が成り立つのでした．

今回の記事では，具体的にラジアンを用いて有名角の三角関数の値を考えていきます．

有名角の三角関数の値はサラサラと書けるようになっておかなければなりませんが，丸覚えしているようではいつミスが起こってもおかしくありません．

しっかり図をイメージして値がどうなるか理解しておいてください．

この記事では， $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ でない一般の $\theta$ に対して，有名角の $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ の値の考え方を説明します．

【前回の記事：三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！】

実は，小学校から使ってきた「度数法」は数学的には扱いづらい角度の表し方であり，三角関数のグラフを書くときなど，都合が悪いことが多々あります．一方，扇形の弧の長さを用いて定義する「弧度法」は数学的に都合がよく，数学では当たり前に用いられます．

三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！

2019/5/6 2019/10/30 三角関数

三角関数の偏角の変換公式( $(90^\circ+\theta)$ 型や $(180^\circ-\theta)$ 型など)は，全てを覚える必要はなく，実は基本の公式から簡単に導けるということを説明しました．

少し三角関数の性質から離れ，角度の話をします．

小学校以来， $30^\circ$ のように「〜度」という単位で角度を表してきましたが，これでは三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります．

より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があり，これは度数法よりも計算が簡単にできる単位なので，慣れれば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます．

今回の記事では，「弧度法」の定義と，弧度法に関する大切な公式を説明します．

【三角関数２｜偏角の変換公式は覚えるな！簡単に導く方法！】

三角関数になると負や $180^\circ$ を超える偏角を考えるため，三角比の場合の $(90^{\circ}-\theta)$ 型以外の変換公式が現れます．とはいえ，それらを全て覚える必要はなく，簡単に覚えられるいくつかの公式さえ分かっていれば，他の変換公式は簡単に導くことができます．

三角関数２｜偏角の変換公式は覚えるな！簡単に導く方法！

2019/4/22 2019/10/30 三角関数

前回の記事では，三角関数を定義し， $\sin$ と $\cos$ と $\tan$ の間に成り立つ4つの関係式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について説明しました．

特に，１つ目と２つ目の関係式から３つ目と４つ目の関係式はほぼ瞬時に導出できるため，ほとんど努力せず覚えることができるのでした．

さて，以前の記事で三角比の場合には，

$\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$
$\tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

が成り立つことを説明しましたが，この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます．

ただ，三角関数になると，他にも $\tan{(180^\circ+\theta)}$ や $\sin{(90^\circ+\theta)}$ などの変換公式も出てきます．

これらの公式は非常に多いため，全部を覚えようとすると挫折してしまいます．

というより，これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし，コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます．

しかし，実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで，他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています．

今回の記事では，偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します．

【前回の記事：三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！】

三角比は直角三角形を用いて定義しますが，これでは $\theta$ が $0<\theta<90^\circ$ の範囲にあるときしか $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を考えることができません．しかし， $xy$ 平面の単位円上の点を考えることで， $\theta$ が $0<\theta<90^\circ$ 以外の範囲にあるときに定義できるようになります．

三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！

2019/4/15 2019/10/30 三角関数

直角三角形の1つの鋭角を $\theta$ としたとき，3種類の辺の比を $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ と名付けたものを三角比というのでした．

このように，三角形の内角の和は常に $180^\circ$ だったので，直角三角形の1つの鋭角 $\theta$ は $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ の範囲しか動きません．

したがって，直角三角形を考えていたのでは，例えば

$\sin{120^\circ}$ のような $90^\circ$ を超える $\theta$
$\sin{-30^\circ}$ のような負の $\theta$

で $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えることができません．

そこで，実数 $\theta$ が $0^\circ<\theta<90^{\circ}$ の範囲にない場合にも， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ をうまく定義できないか」と以前の記事で $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の場合の $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の考え方を説明しました．

この記事では，さらに広く全ての実数 $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を定義します．

このように，全ての実数 $\theta$ に対して定義された $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を三角関数といいます．

三角比については，これらの記事で解説しています．

【三角比１｜三角比って何？三角比の考え方から解説！】
【三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式】
【三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式】
【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】
【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】
【三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう】

この三角関数の記事の前にしっかり復習しておくと良いでしょう．

三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう

2019/4/1 2019/10/30 三角比

三角比を学んで非常に役立つ定理が【正弦定理】と【余弦定理】です．

sinのことを「正弦」，cosのことを「余弦」というのでしたから，【正弦定理】がsinを使う定理で，【余弦定理】がcosを使う定理だということは容易に想像が付きますね．

【正弦定理】と【余弦定理】は三角形の「辺の長さ」と「角の大きさ」についての定理で，図形を考えるときには基本的な定理です．

この記事では，まず【正弦定理】について説明します．

【前回の記事：三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】

$\sin{(180^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}=-\cos{\theta}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}=-\tan{\theta}$ が成り立つという $(90^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式をすぐに導くことができます．この公式は，単位円上に $y$ 軸対称な2点をとることで直ちに求めることができます．