三角関数の加法定理とは

を, , , で表す4つの公式と

を, で表す2つの公式のことをいいます．また，加法定理を使えば，

• 2倍角の公式
• 3倍角の公式
• 半角の公式
• 積和の公式
• 和積の公式

を簡単に導くことができるので，三角関数に関する多くの公式の中でも加法定理は中心的な存在といえます．

この記事では，加法定理を説明したのち，加法定理から導かれる公式をまとめます．

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例えば，

のような三角関数に関する方程式，不等式は必ず解けるようになっておく必要があります．

• 前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
• 前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました．

これらはいずれも，, の定義と，の性質を意識すれば，すぐに解けるのでした．

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に，, の定義と，の性質を意識することで解くことができます．

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平面上の単位円周上の点Pの偏角がであるとき，点Pの座標を，点Pの座標をと定義するのでした．

さらに，単位円の点での接線と直線OPの交点の座標がとなるのでした．

前回の記事では，単位円上の点が1周する間に，三角関数, , がどのように増減するのかを考えました．

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば，

• のグラフ
• のグラフ
• のグラフ

を描くことができます．

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前回の記事では，小学校から使ってきた角度の表し方である「度数法」に代わって，数学的に都合の良い角度の表し方である「弧度法」を考えました．

「弧度法」は「○○ラジアン」という角度の表し方をするもので，半径1の扇形においては「(中心角)=(弧の長さ)」が成り立つのでした．

今回の記事では，具体的にラジアンを用いて有名角の三角関数の値を考えていきます．

有名角の三角関数の値はサラサラと書けるようになっておかなければなりませんが，丸覚えしているようではいつミスが起こってもおかしくありません．

しっかり図をイメージして値がどうなるか理解しておいてください．

この記事では，でない一般のに対して，有名角の，，の値の考え方を説明します．

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小学校以来，我々はのように「〜度」という単位で角度を表してきました．

この「〜度」という角度の表し方を「度数法」といいますが，度数法では三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります．

そこで，より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があります．

弧度法は度数法よりも都合が良いことが多く，例えば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます．

この記事では，

• 「弧度法」の定義
• 弧度法に関する大切な公式

を説明します．

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以前の記事で三角比の場合には，

が成り立つことを説明しましたが，この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます．

ただ，三角関数になると，他にもやなどの変換公式も出てきます．

これらの公式は非常に多いため，全部を覚えようとすると挫折してしまいます．

というより，これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし，コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます．

しかし，実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで，他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています．

今回の記事では，偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します．

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直角三角形の1つの鋭角をとしたとき，3種類の辺の比を, , と名付けたものを三角比というのでした．

このように，三角形の内角の和は常にだったので，直角三角形の1つの鋭角はの範囲しか動きません．

したがって，直角三角形を考えていたのでは，例えば

• のようなを超える
• のような負の

で, , を考えることができません．

そこで，実数がの範囲にない場合にも，, , をうまく定義できないか」と以前の記事での場合の, , の考え方を説明しました．

この記事では，さらに広く全ての実数に対して, , を定義します．

このように，全ての実数に対して定義された, , を三角関数といいます．

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