微分法6|関数の最大値,最小値は微分を使うのが鉄板!

関数$f(x)$に対して,導関数$f'(x)$を求めることで関数の増減を調べることができるのでした.

そして,関数$f(x)$の増減を調べることができるということは,関数$f(x)$の最大値,最小値を求めることができるということにも繋がります.

例えば,前回の記事で説明した極大値・極小値は,最大値・最小値の候補の1つとなります.

この記事では,$f(x)$が最大値,最小値をとるような$x$について解説します.

解説動画

この記事の解説動画もアップロードしています.

  • チャンネル登録
  • コメント
  • 高評価

は,今後の動画作成の励みになるのでぜひよろしくお願いします!

こちらから【チャンネル登録】ができますので,ぜひ応援よろしくお願いします!

最大値,最小値の候補

そもそも最大値・最小値は以下のように定義されています.

関数$f(x)$が$x=a$で最大値をとるとは,任意の$x$に対して$f(x)\leqq f(a)$となることをいう.また,関数$f(x)$が$x=b$で最小値をとるとは,任意の$x$に対して$f(x)\geqq f(a)$となることをいう.

さて,関数$f(x)$が最大値,最小値となるような$x$の候補は

  • 極値をとる$x$
  • 定義域の端点$x$
  • グラフが繋がっていない$x$

の3パターンです(3つ目は数学IIではほぼ扱われないので飛ばしてしまっても構いません).

極値をとる点

極値をとる点は最大値・最小値をとる点の候補です.

関数$f(x)$が$x=a$で極大値$f(a)$をとるとは,$x=a$の近くにおいて$f(x)$が$x=a$で最大となることを言うのでしたから,$x=a$の近くと言わず実数全体で最大であれば,$f(a)$は最大値となりますね.

例えば,$f(x)=-(x+1)^2+2$は$x=-1$で極大値2をとりますが,この極大値2は最大値でもあります.

Rendered by QuickLaTeX.com

極小値についても同様に,極小値は最小値の候補ですね.

端点

関数$f(x)$に定義域が定められているとき,定義域の端のことを端点と言います.

端点は最大値,最小値をとる$x$の候補です.

例えば,$f(x)=-(x+1)^2+2$ $(-3\leqq x\leqq -2)$に対して,$y=f(x)$は以下のようなグラフになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,

  • 端点$x=-2$で最大値1
  • 端点$x=-3$で最小値$-2$

をとります.

不連続点

関数の連続という言葉は数学IIIの範囲なので,数学IIの範囲でこの場合の最大・最小が出題されることは多くありませんので,分からない人はとりあえず飛ばしてしまっても構いません.

関数$f(x)$が$x=a$で不連続であることを大雑把に言えば,グラフを書いたときに「$y=f(x)$のグラフが$x=a$で切れている」ということになります.

不連続点は最大値,最小値をとる$x$の候補です.

例えば,

\begin{align*} f(x)=\begin{cases}0&(x<-1,1<x)\\x&(-1\leqq x\leqq1)\end{cases} \end{align*}

に対して,$y=f(x)$は以下のようなグラフになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,

  • 不連続点$x=-1$で最小値$-1$
  • 不連続点$x=1$で最大値1

をとります.

まとめ

実は,今の3種類以外に関数$f(x)$が最大値,最小値をとる$x$は存在しません.

[最大値,最小値の候補] 関数$f(x)$に対して,$f(x)$の最大値,最小値をとる$x$の候補は次のいずれかである.

  • 極値をとる$x$
  • 定義域の端点$x$
  • グラフが繋がっていない$x$

この証明はこの記事では書きませんが,この事実は最大値,最小値を考えるときに良い手がかりになります.

どちらにせよ,極値が最大値,最小値になりうる以上,導関数を求めて増減表を書くことになります.

具体例

それでは具体例を考えましょう.

定義域$-1\leqq x\leqq 4$の関数

\begin{align*} f(x)=\dfrac{1}{4}\bra{x^3-3x^2-2} \end{align*}

の増減表を書き,最大値・最小値を求めよ.

関数$f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-3x^2-2)$の導関数$f'(x)$は

\begin{align*} f'(x) =&\dfrac{1}{4}(3x^2-6x) \\=&\dfrac{3}{4}x(x-2) \end{align*}

なので,方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です.また,

\begin{align*} &f(-1)=\frac{(-1)^3-3\times(-1)^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(0)=\frac{0^3-3\times0^2-2}{4}=-\frac{1}{2}, \\&f(2)=\frac{2^3-3\times2^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(4)=\frac{4^3-3\times4^2-2}{4}=\frac{7}{2} \end{align*}

なので,$-1\leqq x\leqq 4$での$f(x)$の増減表は,

\begin{align*} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -1&\dots & 0 & \dots & 2 & \dots & 4 \\ \hline f'(x) &  &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\frac{3}{2} &\nearrow & -\frac{1}{2} & \searrow & -\frac{3}{2} & \nearrow & \frac{7}{2} \end{array} \end{align*}

となります.増減表より$f(x)$は

  • $x=4$のときに最大値$\dfrac{7}{2}$
  • $x=-1,2$のときに最小値$-\dfrac{3}{2}$

をとりますね.

なお,グラフは以下のようになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

この例ように,最大値・最小値をとる$x$が2つ以上あることもあります.

次の記事では,これまでの記事で扱ってきた微分法の応用として

  • $f(x)=k$の形の方程式の実数解の個数を求める問題
  • 不等式の証明

を説明します.

最後までありがとうございました!

参考になった方は是非シェアをお願いします!

フォローする

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事

一覧へ

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る

オススメ

参考書

大学数学の

姉妹ブログ