微分法６｜関数の最大値，最小値

関数 $f(x)$ に対して，導関数 $f'(x)$ を求めることで，関数の増減を調べることができるのでした．そして，関数の増減を調べることができるということは，関数の最大値，最小値を求めることができます．

例えば，前回の記事で説明した極値は，最大値，最小値の候補の1つとなります．

この記事では， $f(x)$ が最大値，最小値をとるような $x$ について解説します．

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1 最大値，最小値の候補
2 例
- 2.1 例1
- 2.2 例2

最大値，最小値の候補

念のため，最大値，最小値を定義しておきます．

[定義]　関数 $f(x)$ が $x=a$ で最大値をとるとは，任意の $x$ に対して $f(x)\le f(a)$ となることをいう．

また，関数 $f(x)$ が $x=b$ で最小値をとるとは，任意の $x$ に対して $f(x)\ge f(a)$ となることをいう．

さて，関数 $f(x)$ が最大値，最小値となるような $x$ の候補を考えます．

極値をとる点

関数 $f(x)$ が $x=a$ で極大値 $f(a)$ をとるとは， $x=a$ の十分近くでの最大値が $f(a)$ であることを言うのでした．

このことから，極大値が最大値の候補の1つです．

例えば， $f(x)=-(x+1)^2+2$ は $x=0$ で極大値0をとりますが，この極大値0は最大値にもなります．

極小値についても同様で，極小値は最小値の候補の一つです．

端点

関数 $f(x)$ に定義域が定められているときを考えます．このとき，定義域の端のことを「端点」と言います．

「端点」での値は最大値，最小値の候補の1つです．

例えば， $f(x)=-(x+1)^2+2$ $(-3\le x\le -2)$ に対して， $y=f(x)$ は以下のようなグラフになります．

すなわち，端点 $x=-2$ で最大値1，端点 $x=-3$ で最小値 $-2$ をとります．

不連続点

「不連続点」とは，関数が連続でない点のことを言います．図形的には，「 $f(x)$ が $x=a$ で不連続である」とは「 $y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で切れている」ということになります．

「不連続点」での値は最大値，最小値の候補の1つです．

例えば， $f(x)=\begin{cases}0&(x<-1,1<x)\\x&(-1\le x\le1)\end{cases}$ に対して， $y=f(x)$ は以下のようなグラフになります．

まとめ

実は，今の3種類以外に関数 $f(x)$ が最大値，最小値をとる $x$ は存在しません．

その証明はこの記事では書きませんが，このことは最大値，最小値を考えるときに良い手がかりになります．

まとめると，以下のようになります．

[最大値，最小値の候補]　関数 $f(x)$ に対して， $f(x)$ の最大値，最小値をとる $x$ の候補は次のいずれかである．

極値をとる点

端点

不連続点

どちらにせよ，極値が最大値，最小値になりうる以上，導関数を求めて増減表を書くことになります．

例

例を考えます．

例1

$-1\le x\le 4$ で定義された関数 $f(x)=\dfrac{1}{2}\bra{x^3-3x^2-2}$ を考えます．

$f(x)$ の導関数は， $f'(x)=\dfrac{1}{2}\bra{3x^2-6x}$ なので，

$f'(x)=0$
$\iff 3x^2-6x=0$
$\iff x(x-2)=0$
$\iff x=0,2$

です．また，

$f(-1)=\dfrac{(-1)^3-3\times(-1)^2-2}{2}=-3$ ，
$f(0)=\dfrac{0^3-3\times0^2-2}{2}=-1$ ，
$f(2)=\dfrac{2^3-3\times2^2-2}{2}=-3$ ，
$f(4)=\dfrac{4^3-3\times4^2-2}{2}=7$

なので，増減表は，

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1&\dots & 0 & \dots & 2 & \dots & 4 \\ \hline f'(x) & &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -3 &\nearrow & -1 & \searrow& -3 & \nearrow & 7 \\ \hline \end{array}$

となります．よって，増減表より， $f(x)$ は $x=4$ のときに最大値をとり， $x=-1,2$ のときに最小値 $-3$ をとることが分かります．

このように，最大値や最小値をとる $x$ が2つ以上あることもあります．なお，グラフは以下のようになります．

例2

$-1\le x$ で定義された関数 $f(x)=\begin{cases}x^3+3x^2-3&(-1\le x\le 1)\\-x+3&(1<x)\end{cases}$ を考えます．

[1]　 $-1\le x< 1$ のとき

$f(x)$ の導関数は， $f'(x)=3x^2+6x$ なので，

$f'(x)=0$
$\iff 3x^2+6x=0$
$\iff x(x+2)=0$
$\iff x=0$

です( $-1\le x< 1$ に注意)．また，

$f(-1)=(-1)^3+3\times(-1)^2-3=-1$ ，
$f(0)=0^3+3\times0^2-3=-3$ ，
$f(1)=1^3+3\times1^2-3=1$

です．

[2]　 $1\le x$ のとき

$f(x)=-x+3$ は単調減少で，

$\lim\limits_{x\to1+0}f(x)=2$

です(ただし， $1<x$ に $x=1$ は含まれないから，右極限 $x\to1+0$ を考えるしかないことに注意)．

[1]，[2]を併せて，増減表は，

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c||c|c|} \hline x & -1&\dots & 0 & \dots & 1 & 1+0 & \dots \\ \hline f'(x) & &- & 0 & + & & & - \\ \hline f(x) & -1 & \searrow & -3 & \nearrow & 1 & 2 & \searrow\\ \hline \end{array}$