関数の最大・最小は微分が鉄板！導関数から増減を考える

関数$f(x)$に対して，導関数$f'(x)$を求めることで関数の増減を調べることができるのでした．

そして，関数$f(x)$の増減を調べることができるということは，関数$f(x)$の最大値，最小値を求めることができるということにも繋がります．

例えば，前回の記事で説明した極大値・極小値は，最大値・最小値の候補の１つとなります．

この記事では，$f(x)$が最大値，最小値をとるような$x$について解説します．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法４｜$y=f(x)$のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】←この記事
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】

1 最大値，最小値の候補
2 具体例

最大値，最小値の候補

そもそも最大値・最小値は以下のように定義されています．

関数$f(x)$が$x=a$で最大値をとるとは，任意の$x$に対して$f(x)\leqq f(a)$となることをいう．また，関数$f(x)$が$x=b$で最小値をとるとは，任意の$x$に対して$f(x)\geqq f(a)$となることをいう．

さて，関数$f(x)$が最大値，最小値となるような$x$の候補は

極値をとる$x$
定義域の端点$x$
グラフが繋がっていない$x$

の３パターンです(３つ目は数学IIではほぼ扱われないので飛ばしてしまっても構いません)．

極値をとる点

極値をとる点は最大値・最小値をとる点の候補です．

関数$f(x)$が$x=a$で極大値$f(a)$をとるとは，$x=a$の近くにおいて$f(x)$が$x=a$で最大となることを言うのでしたから，$x=a$の近くと言わず実数全体で最大であれば，$f(a)$は最大値となりますね．

例えば，$f(x)=-(x+1)^2+2$は$x=-1$で極大値２をとりますが，この極大値２は最大値でもあります．

極小値についても同様に，極小値は最小値の候補ですね．

端点

関数$f(x)$に定義域が定められているとき，定義域の端のことを端点と言います．

端点は最大値，最小値をとる$x$の候補です．

例えば，$f(x)=-(x+1)^2+2$ $(-3\leqq x\leqq -2)$に対して，$y=f(x)$は以下のようなグラフになります．

よって，

端点$x=-2$で最大値１
端点$x=-3$で最小値$-2$

をとります．

不連続点

関数の連続という言葉は数学IIIの範囲なので，数学IIの範囲でこの場合の最大・最小が出題されることは多くありませんので，分からない人はとりあえず飛ばしてしまっても構いません．

関数$f(x)$が$x=a$で不連続であることを大雑把に言えば，グラフを書いたときに「$y=f(x)$のグラフが$x=a$で切れている」ということになります．

不連続点は最大値，最小値をとる$x$の候補です．

例えば，

$\begin{align*} f(x)=\begin{cases}0&(x<-1,1<x)\\x&(-1\leqq x\leqq1)\end{cases} \end{align*}$

に対して，$y=f(x)$は以下のようなグラフになります．

よって，

不連続点$x=-1$で最小値$-1$
不連続点$x=1$で最大値１

をとります．

まとめ

実は，今の３種類以外に関数$f(x)$が最大値，最小値をとる$x$は存在しません．

[最大値，最小値の候補]　関数$f(x)$に対して，$f(x)$の最大値，最小値をとる$x$の候補は次のいずれかである．

極値をとる$x$
定義域の端点$x$
グラフが繋がっていない$x$

この証明はこの記事では書きませんが，この事実は最大値，最小値を考えるときに良い手がかりになります．

どちらにせよ，極値が最大値，最小値になりうる以上，導関数を求めて増減表を書くことになります．

具体例

それでは具体例を考えましょう．

定義域$-1\leqq x\leqq 4$の関数

$\begin{align*} f(x)=\dfrac{1}{4}\bra{x^3-3x^2-2} \end{align*}$

の増減表を書き，最大値・最小値を求めよ．

関数$f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-3x^2-2)$の導関数$f'(x)$は

$\begin{align*} f'(x) =&\dfrac{1}{4}(3x^2-6x) \\=&\dfrac{3}{4}x(x-2) \end{align*}$

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です．また，

$\begin{align*} &f(-1)=\frac{(-1)^3-3\times(-1)^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(0)=\frac{0^3-3\times0^2-2}{4}=-\frac{1}{2}, \\&f(2)=\frac{2^3-3\times2^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(4)=\frac{4^3-3\times4^2-2}{4}=\frac{7}{2} \end{align*}$

なので，$-1\leqq x\leqq 4$での$f(x)$の増減表は，

$\begin{align*} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -1&\dots & 0 & \dots & 2 & \dots & 4 \\ \hline f'(x) & &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\frac{3}{2} &\nearrow & -\frac{1}{2} & \searrow & -\frac{3}{2} & \nearrow & \frac{7}{2} \end{array} \end{align*}$