関数$f(x)$に対して,導関数$f'(x)$を求めることで関数の増減を調べることができるのでした.
そして,関数$f(x)$の増減を調べることができるということは,関数$f(x)$の最大値,最小値を求めることができるということにも繋がります.
例えば,前回の記事で説明した極大値・極小値は,最大値・最小値の候補の1つとなります.
この記事では,$f(x)$が最大値,最小値をとるような$x$について解説します.
一連の記事はこちら
【微分法1|グラフの接線はどう考える?[微分係数]を理解する】
【微分法2|微分係数から導関数へ!導関数の考え方をマスター】
【微分法3|多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法4|$y=f(x)$のグラフの描き方は4ステップでOK】
【微分法5|導関数から極大値,極小値を求める方法】
【微分法6|関数の最大値,最小値は微分を使うのが鉄板!】←この記事
【微分法7|グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】
最大値,最小値の候補
そもそも最大値・最小値は以下のように定義されています.
関数$f(x)$が$x=a$で最大値をとるとは,任意の$x$に対して$f(x)\leqq f(a)$となることをいう.また,関数$f(x)$が$x=b$で最小値をとるとは,任意の$x$に対して$f(x)\geqq f(a)$となることをいう.
さて,関数$f(x)$が最大値,最小値となるような$x$の候補は
- 極値をとる$x$
- 定義域の端点$x$
- グラフが繋がっていない$x$
の3パターンです(3つ目は数学IIではほぼ扱われないので飛ばしてしまっても構いません).
極値をとる点
極値をとる点は最大値・最小値をとる点の候補です.
関数$f(x)$が$x=a$で極大値$f(a)$をとるとは,$x=a$の近くにおいて$f(x)$が$x=a$で最大となることを言うのでしたから,$x=a$の近くと言わず実数全体で最大であれば,$f(a)$は最大値となりますね.
例えば,$f(x)=-(x+1)^2+2$は$x=-1$で極大値2をとりますが,この極大値2は最大値でもあります.
極小値についても同様に,極小値は最小値の候補ですね.
端点
関数$f(x)$に定義域が定められているとき,定義域の端のことを端点と言います.
端点は最大値,最小値をとる$x$の候補です.
例えば,$f(x)=-(x+1)^2+2$ $(-3\leqq x\leqq -2)$に対して,$y=f(x)$は以下のようなグラフになります.
よって,
- 端点$x=-2$で最大値1
- 端点$x=-3$で最小値$-2$
をとります.
不連続点
関数の連続という言葉は数学IIIの範囲なので,数学IIの範囲でこの場合の最大・最小が出題されることは多くありませんので,分からない人はとりあえず飛ばしてしまっても構いません.
関数$f(x)$が$x=a$で不連続であることを大雑把に言えば,グラフを書いたときに「$y=f(x)$のグラフが$x=a$で切れている」ということになります.
不連続点は最大値,最小値をとる$x$の候補です.
例えば,
に対して,$y=f(x)$は以下のようなグラフになります.
よって,
- 不連続点$x=-1$で最小値$-1$
- 不連続点$x=1$で最大値1
をとります.
まとめ
実は,今の3種類以外に関数$f(x)$が最大値,最小値をとる$x$は存在しません.
[最大値,最小値の候補] 関数$f(x)$に対して,$f(x)$の最大値,最小値をとる$x$の候補は次のいずれかである.
- 極値をとる$x$
- 定義域の端点$x$
- グラフが繋がっていない$x$
この証明はこの記事では書きませんが,この事実は最大値,最小値を考えるときに良い手がかりになります.
どちらにせよ,極値が最大値,最小値になりうる以上,導関数を求めて増減表を書くことになります.
具体例
それでは具体例を考えましょう.
定義域$-1\leqq x\leqq 4$の関数
の増減表を書き,最大値・最小値を求めよ.
関数$f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-3x^2-2)$の導関数$f'(x)$は
なので,方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です.また,
なので,$-1\leqq x\leqq 4$での$f(x)$の増減表は,
となります.増減表より$f(x)$は
- $x=4$のときに最大値$\dfrac{7}{2}$
- $x=-1,2$のときに最小値$-\dfrac{3}{2}$
をとりますね.
なお,グラフは以下のようになります.
この例ように,最大値・最小値をとる$x$が2つ以上あることもあります.
次の記事では,これまでの記事で扱ってきた微分法の応用として
- $f(x)=k$の形の方程式の実数解の個数を求める問題
- 不等式の証明
を説明します.