関数の最大・最小は微分が鉄板！導関数から増減を考える

関数 $f(x)$ に対して，導関数 $f'(x)$ を求めることで関数の増減を調べることができるのでした．

そして，関数 $f(x)$ の増減を調べることができるということは，関数 $f(x)$ の最大値，最小値を求めることができるということにも繋がります．

例えば，前回の記事で説明した極大値・極小値は，最大値・最小値の候補の１つとなります．

この記事では， $f(x)$ が最大値，最小値をとるような x について解説します．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法４｜y=f(x)のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】←この記事
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】

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最大値，最小値の候補

そもそも最大値・最小値は以下のように定義されています．

関数 $f(x)$ が $x=a$ で最大値をとるとは，任意の x に対して $f(x)\leqq f(a)$ となることをいう．また，関数 $f(x)$ が $x=b$ で最小値をとるとは，任意の x に対して $f(x)\geqq f(a)$ となることをいう．

さて，関数 $f(x)$ が最大値，最小値となるような x の候補は

極値をとる点
端点
不連続点

の３パターンです(３つ目は数学IIではほぼ扱われないので飛ばしてしまっても構いません)．

極値をとる点

極値をとる点は最大値・最小値をとる点の候補です．

関数 $f(x)$ が $x=a$ で極大値 $f(a)$ をとるとは， $x=a$ の近くにおいて $f(x)$ が $x=a$ で最大となることを言うのでしたから， $x=a$ の近くと言わず実数全体で最大であれば， $f(a)$ は最大値となりますね．

例えば， $f(x)=-(x+1)^2+2$ は $x=-1$ で極大値２をとりますが，この極大値２は最大値でもあります．

極小値についても同様に，極小値は最小値の候補ですね．

端点

関数 $f(x)$ に定義域が定められているとき，定義域の端のことを端点と言います．

端点は最大値，最小値をとる x の候補です．

例えば， $f(x)=-(x+1)^2+2$ $(-3\leqq x\leqq -2)$ に対して， $y=f(x)$ は以下のようなグラフになります．

よって，

端点 $x=-2$ で最大値１
端点 $x=-3$ で最小値 $-2$

をとります．

不連続点

関数の連続という言葉は数学IIIの範囲なので，数学IIの範囲でこの場合の最大・最小が出題されることは多くありませんので，分からない人はとりあえず飛ばしてしまっても構いません．

関数 $f(x)$ が $x=a$ で不連続であることを大雑把に言えば，グラフを書いたときに「 $y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で切れている」ということになります．

不連続点は最大値，最小値をとる x の候補です．

例えば，

$\begin{align*} f(x)=\begin{cases}0&(x<-1,1<x)\\x&(-1\leqq x\leqq1)\end{cases} \end{align*}$

に対して， $y=f(x)$ は以下のようなグラフになります．

よって，

不連続点 $x=-1$ で最小値 $-1$
不連続点 $x=1$ で最大値１

をとります．

まとめ

実は，今の３種類以外に関数 $f(x)$ が最大値，最小値をとる x は存在しません．

[最大値，最小値の候補]　関数 $f(x)$ に対して， $f(x)$ の最大値，最小値をとる x の候補は次のいずれかである．

極値をとる点
端点
不連続点

この証明はこの記事では書きませんが，この事実は最大値，最小値を考えるときに良い手がかりになります．

どちらにせよ，極値が最大値，最小値になりうる以上，導関数を求めて増減表を書くことになります．

具体例

それでは具体例を考えましょう．

定義域 $-1\leqq x\leqq 4$ の関数

$\begin{align*} f(x)=\dfrac{1}{4}\bra{x^3-3x^2-2} \end{align*}$

の増減表を書き，最大値・最小値を求めよ．

関数 $f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-3x^2-2)$ の導関数 $f'(x)$ は

$\begin{align*} f'(x) =&\dfrac{1}{4}(3x^2-6x) \\=&\dfrac{3}{4}x(x-2) \end{align*}$

なので，方程式 $f'(x)=0$ を解くと $x=0,2$ です．また，

$\begin{align*} &f(-1)=\frac{(-1)^3-3\times(-1)^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(0)=\frac{0^3-3\times0^2-2}{4}=-\frac{1}{2}, \\&f(2)=\frac{2^3-3\times2^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(4)=\frac{4^3-3\times4^2-2}{4}=\frac{7}{2} \end{align*}$

なので， $-1\leqq x\leqq 4$ での $f(x)$ の増減表は，

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -1&\dots & 0 & \dots & 2 & \dots & 4 \\ \hline f'(x) & &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\frac{3}{2} &\nearrow & -\frac{1}{2} & \searrow& -\frac{3}{2} & \nearrow & \frac{7}{2} \end{array}$