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微分法2|微分係数から導関数へ!導関数の考え方をマスター

関数$f(x)$の$x=a$での微分係数$f'(a)$とは,直感的には「$y=f(x)$の$x=a$の接線の傾き」を表すもので,式では

\begin{align*} f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\bra{=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \end{align*}

と定義されるのでした.そのため,微分係数$f'(a)$は

  • 関数$f(x)$
  • 点$a$

を用意する必要があるのでした.

この記事では,微分係数$f'(a)$をもとにした導関数の考え方を説明します.

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微分係数から導関数へ

導関数を定義することを考えましょう.

微分係数の復習

微分係数は以下のように定義されるのでした.

関数$f(x)$と実数$a$に対して,

\begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\bra{=\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}} \end{align*}

が存在すれば,この値を関数$f(x)$の$x=a$における微分係数といい,$f'(a)$と表す.

この定義から,次の問題を解きましょう.

$f(x)=x^2$に対して,$f'(1)$と$f'(-2)$を求めよ.

微分係数の定義より,

\begin{align*} f'(1) =&\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2-1^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(1+2h+h^2)-1}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{2h+h^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}(2+h) \\=&2 \end{align*}

より$f'(1)=2$であり,

\begin{align*} f'(-2) =&\lim_{h\to0}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(-2+h)^2-(-2)^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(4-4h+h^2)-4}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{-4h+h^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}(-4+h) \\=&-4 \end{align*}

より$f'(-2)=-4$である.

Rendered by QuickLaTeX.com

ここまでは前回の内容の通りですね.

ここで気付きたいことは,$f'(1)$も$f'(2)$も分母と分子を約分することがポイントであり,本質的にはどちらも同じ計算をしているという点です.

つまり,$f'(1)$や$f'(2)$ではなく,文字のまま$f'(x)$を考えればいいのではないか,という考えができます.

導関数の定義

このように考えてできたものが導関数です.

関数$f(x)$に対して,定義域上の任意の実数$a$に対して,$x=a$で導関数が存在するとする.このとき,

\begin{align*} f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\bra{=\lim_{b\to x}\frac{f(b)-f(x)}{b-x}} \end{align*}

で定まる関数$f'(x)$を$f(x)$の導関数といい,導関数を求めることを微分するという.

また,関数$y=f(x)$に対して,$f'(x)$は

\begin{align*} y',\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df}{dx}(x) \end{align*}

などとも表す.

ここで,導関数の定義式が

  • $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
  • $\lim\limits_{b\to x}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x}$

の2通りありますが,どちらも同じことです.これについては,以下の記事を参照してください.

微分係数は

  • 関数$f(x)$
  • 点$a$

を指定して初めて定まるものでした.

一方,導関数は点を固定せずに$x$のまま考えるので,関数$f(x)$を用意すれば求められる点が異なります.

$f(x)=x^2$の導関数を求めると,

\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h} \\=&\lim_{h\to0}(2x+h) \\=&2x \end{align*}

となります.これより,

  • $x=1$を代入して$f'(1)=2$
  • $x=-2$を代入して$f'(-2)=-4$

なので,先ほどの問題で微分係数の定義から別々に求めたものと一致していますね!

Rendered by QuickLaTeX.com

$x$を固定せずに$x$のまま考えることで,最後に$x$に代入することで各点の微分係数が求まるわけです.

導関数は微分係数を求める時と同様に求まる.

導関数の具体例

それでは最後に具体例を考えましょう.

次の関数$f(x)$を微分せよ.

  1. $f(x)=x$
  2. $f(x)=1$
  3. $f(x)=2x^{3}$

(1) $f(x)=x$より

\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h} \\=&\lim_{h\to0}1 =1 \end{align*}

となります.すなわち,どの$x$をとっても($x=0$でも$x=1$でも$x=-\pi$でも)そこでの接線の傾きは1です.

確かに,$y=x$のグラフは$x$軸に対して$45^\circ$をなす直線ですから,どこででも傾きは1で一定ですね.

(2) $f(x)=1$より

\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{1-1}{h} \\=&\lim_{h\to0}0 \\=&0 \end{align*}

となります.すなわち,どの$x$をとっても($x=0$でも$x=1$でも$x=-\pi$でも)そこでの接線の傾きは0です.

確かに,$y=1$のグラフは定数関数ですから,どこででも傾きは0で一定です.

(3) $f(x)=2x^{3}$より

\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{2(x+h)^{3}-3x^{3}}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{2\{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3\}}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{2(3x^2h+3xh^2+h^3)}{h} \\=&\lim_{h\to0}2(3x^2+3xh+h^2) \\=&6x^2 \end{align*}

です.したがって,

  • $f'(0)=0$
  • $f'(-1)=6\times(-1)^2=6$
  • $f'(-10\pi)=6\times(-10\pi)^2=600\pi^2$

など,$f'(x)$が分かっていれば,$x$に代入すること微分係数は瞬時に求まりますね.

導関数$f'(x)$が分かっていれば,$x=a$を代入することで$f(x)$の$x=a$での微分係数$f'(a)$となる.

多項式は基本的な関数ですが,実は導関数についても多項式は考えやすく,多項式の導関数を簡単に求められる公式があります.

次の記事では,導関数の基本性質を説明します.

最後までありがとうございました!

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