微分法２｜導関数の定義と直感的イメージ

【微分の基本１｜微分係数の定義と図形的意味，接線の定義】の続きです．

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ での微分係数は， $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a,f(a))$ を通る直線の平均変化率の極限として定義され， $f'(a)$ と表すのでした．

すなわち，式で書けば，

$f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\bra{=\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

で定義されるのでした．

さて，この記事では微分係数から自然に定義される導関数と，導関数の性質について説明します．

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1 導関数の定義
2 導関数のイメージ
3 導関数の例

導関数の定義

関数 $y=f(x)$ は各 $x$ で微分係数が存在するとします．つまり，図形的には $y=f(x)$ のグラフはどの $x$ でも「とんがって」おらず，接線が考えられるとします．

このとき， $y=f(x)$ の各 $x$ での微分係数を対応させる関数を $f(x)$ の導関数といいます．つまり，

[導関数]　関数 $f(x)$ に対して，任意の実数 $a$ に対して， $x=a$ で導関数が存在するとする．このとき，

$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\bra{=\lim\limits_{b\to x}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x}}$

で定まる関数 $f'(x)$ を $f(x)$ の導関数といい，導関数を求めることを微分するという．

また，関数 $y=f(x)$ に対して， $f'(x)$ は $y',\dfrac{dy}{dx},\dfrac{df}{dx}(x)$ とも表す．

ここで，導関数の定義式が $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ と $\lim\limits_{b\to x}\dfrac{f(b)-f(x)}{b-x}$ の2通りありますが，結局どちらも同じです．

【参考記事：ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式】

なお，前回の記事で書いたように，微分係数の定義は次の通りでした．

[微分係数]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して，

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\bra{=\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

が存在すれば，この値を「関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数」といい， $f'(a)$ と表す．

[定義(導関数)]と[定義(微分係数)]の大きな違いは $x$ が固定されているか，されていないかです．

簡単に言えば，微分係数は $x$ を $x=0$ や $x=1$ などと固定したときの極限です．一方，導関数は $x$ を $x=0$ や $x=1$ などと固定せずに考える極限です．

導関数のイメージ

今までは $x=a$ のように， $x$ を $a$ に固定して微分係数を考えていました．このとき，実際には $a$ は何らかの数です．

このように，いちいち $a$ を1つに定めて微分係数を計算するのは面倒です．そこで，「 $x$ を一つに固定するのではなく，様々な $x$ で考えよう」というのが導関数の考え方です．

どういうことかというと，たとえば $f(x)=x^2$ に対して， $f'(1)$ と $f'(2)$ を求めたいとき，

$f'(1)$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(1+2h+h^2)-1}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2h+h^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}(2+h)$
$=2$

より $f'(1)=2$ であり，

$f'(2)$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(4+4h+h^2)-4}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{4h+h^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}(4+h)$
$=4$

より $f'(2)=4$ と計算することになるわけですが，少し数字が変わっているだけでどちらも同様の計算をしています．

このことから

「じゃあ， $x=1$ とか $x=2$ とか置かずに， $x$ のまま計算したらええやん！」

という発想に思い至ります．

そして，まさしくこれが導関数なのです．実際に， $x$ のまま計算すると，

$f'(x)$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2xh+h^2}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}(2x+h)$
$=2x$

となります．

$x$ を固定せずに計算することで， $f'(x)$ は関数となるのです．

ですから， $f'(x)$ が求まれば， $f'(1)$ , $f'(2)$ , $f'(\pi)$ は， $f'(x)=2x$ に代入して， $f'(1)=2$ , $f'(2)=4$ , $f'(\pi)=2\pi$ と分かりますね．

$x$ を固定せずにあえて $x$ のまま考え，最後に $x$ に代入することで各点の微分係数が求まるわけです．

導関数は微分係数を求める時と同じようにすれば求まる．

導関数の例

次の例を考えます．

次の関数の導関数を求めよ．

$f(x)=x$
$f(x)=1$
$f(x)=2x^{3}$

やっていることは，微分係数を求める時にやっていたこととほぼ同じです．

例1

$f(x)=x$ のとき，

$f'(x)$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+h)-x}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}1$
$=1$

である．

したがって，どの $x$ をとっても( $x=0$ でも $x=1$ でも $x=-\pi$ でも何でも)そこでの接線の傾きは1です．

確かに， $y=x$ のグラフは直線ですから，どこででも傾きは1で一定です．

例2

$f(x)=1$ のとき，

$f'(x)$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{1-1}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}0$
$=0$

である．

したがって，どの $x$ をとっても( $x=0$ でも $x=1$ でも $x=-\pi$ でも何でも)そこでの接線の傾きは0です．

確かに， $y=1$ のグラフは定数関数ですから，どこででも傾きは0で一定です．

例3

$f(x)=2x^{3}$ のとき，

$f'(x)$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2(x+h)^{3}-3x^{3}}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2\{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3\}}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2(3x^2h+3xh^2+h^3)}{h}$
$=\lim\limits_{h\to0}2(3x^2+3xh+h^2)$
$=6x^2$