微分法５｜導関数と極大値，極小値

【微分の基本4|関数の増減を調べる方法，増減表の書き方】の続きです．

前回の記事で，関数 $f(x)$ に対して，導関数 $f'(x)$ を求めることによって，関数 $f(x)$ の増減が分かるということについて説明しました．

さて，関数 $f(x)$ の増減が分かれば，関数 $f(x)$ の最大値や最小値も求めることができるようになります．

この記事では，最大値/最小値の候補となる「極値(極大値/極小値)」について説明します．

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1 極値
- 1.1 例1
- 1.2 例2
2 導関数と極値

極値

冒頭でも書いたように，関数 $f(x)$ の最大値/最小値を考えるときに，その候補となるものに「極値」と呼ばれるものがあります．

「極値」の[定義]は以下の通りですが，分かりにくい場合はそのあとの例を読んでみてください．

[定義]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して， $x$ が $a-c<x<a+c$ を満たせば $f(x)\le f(a)$ となるような(十分小さい)正の数 $c$ が存在するとき， $f(a)$ を関数 $f(x)$ は $x=a$ での極大値(maximal)という．

また，関数 $f(x)$ と実数 $b$ に対して， $x$ が $b-c<x<b+c$ を満たせば $f(x)\ge f(b)$ となるような(十分小さい)正の数 $c$ が存在するとき， $f(b)$ を関数 $f(x)$ は $x=a$ での極小値(minimal)という．

極大値と極小値を併せて極値という．

要するに， $f(x)$ が $x=a$ で極大値をもつとは， $x=a$ の近くでは $f(a)$ が最大になっている，ということです．「近くでは」というのは，遠くまでいけば，別に $f(a)$ より大きいものがあってもいいということです．

例えば，背が高い $a$ 君は $\mrm{X}$ 県 $\mrm{Y}$ 市に住んでいたとします．

もし， $a$ 君が $\mrm{X}$ 県の中で最も背が高ければ， $a$ 君は極大です．

しかし，「 $\mrm{X}$ 県に $a$ 君より背の高い人がいたとすれば， $a$ 君は極大ではないのか？」といえば，そういうわけではありません．

もし， $a$ 君が $\mrm{X}$ 県で最も背が高いわけでなくても， $\mrm{Y}$ 市に絞ったときに $a$ 君の背が最も高ければ， $a$ 君は極大です．

$Y$ 市に絞っても， $a$ 君の背が最も高くなければ，もっと地域を絞っても良いです．ともかく， $a$ 君の近くでみたときに $a$ 君の身長が最も高くなるようにできれば， $a$ 君は極大なのです．

このように，「 $x=a$ の近くでは $f(a)$ が最大になっている」の「近く」とは，そのように十分小さく範囲を絞れば最大にできる，ということを言っているわけです．

もし，世界中で $a$ が最も背が高ければ， $a$ 君は極大かつ最大です．

極小も同様です．

例1

【微分の基本4|関数の増減を調べる方法，増減表の書き方】の例で見たように， $f(x)=\f{1}{4}\bra{x^3+3x^2-9x-7}$ のグラフは以下のようになります．

よって， $x=-3$ で極大値5， $x=1$ で極小値 $-3$ をもちます．

ただし，いずれの極値も最大，最小ではありません．

例2

$f(x)=|x+1|-3$ は，任意の $f(-1)=-3$ であり， $x\neq-1$ では $f(x)>-3$ だから， $x=0$ を極小値 $-3$ にもつ．

このように，とんがっていても極大，極小といいます．

また， $x=0$ での極小値 $-3$ は最小値でもありますね．

導関数と極値

導関数から，極値の候補を見つけることができます．

もし，微分可能な $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるなら，その点 $(a,f(a))$ の接線は「平ら」になっている，つまり， $f'(a)=0$ となっていることは正しそうですね．

また， $f'(x)>0$ のときは $f(x)$ が単調増加， $f'(x)$ のときは $f(x)$ が単調減少であることに注意すれば，次の[定理]が分かります．

[定理]　微分可能な関数 $f(x)$ が $x=a$ で極値をもつなら， $f'(a)=0$ を満たす．また， $f'(a)=0$ を満たすときに， $x=a$ の「前→後」で $f'(x)$ の符号が

「正→負」となるときには極大値を持つ．

「負→正」となるときには極小値を持つ．

要するに， $f(x)$ が $x=a$ を境にして「増加」から「減少」に転ずるときには $x=a$ で極大値 $f(a)$ をとり，「減少」から「増加」に転ずるときには $x=a$ で極小値 $f(a)$ をとるわけですね．

ただし，次のことは注意しておきましょう．

[注意]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して， $f'(a)=0$ であっても $f(x)$ が $x=a$ に極値をもつとは限らない．

[定理]は $f(x)$ が $x=a$ で極値をもつときに $f'(a)=0$ になることは主張していますが，逆に $f'(a)=0$ だけで極値をもつかどうかは一言も言っていないのです．

例えば， $f(x)=x^3$ を考えると， $f'(x)=3x^2$ なので， $f'(0)=0$ です．しかし， $f(x)$ は $x=0$ で極値をもちません．

このことは $f'(x)=3x^2$ であることから，単調増加なので極値を取らないことは分かります．また，グラフを見ても明らかですね．

2次関数や簡単な関数であれば導関数を用いなくても分かりますが，複雑になってくると極値を調べるためには増減表を書くことになります．

【微分の基本6|関数の最大値，最小値】に続きます．