グラフから分かること｜[実数解の個数]と[不等式の証明]

前回の記事までで，導関数 $f'(x)$ を用いて $y=f(x)$ のグラフを描けるようになり，さらに関数 $f(x)$ の最大値・最小値の求め方を考えました．

$y=f(x)$ の増減表やグラフを描くことにより，方程式 $f(x)=0$ の実数解の個数を求めることができます．

このときの考え方を利用すると

実数 $k$ に対して方程式 $f(x)=k$ の実数解の個数を求めたり，
不等式の証明をすることができます．

この記事では，これらの問題を解くための考え方を説明します．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法４｜y=f(x)のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】←この記事

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方程式の実数解の個数

次の公式は当たり前にしておきましょう．

関数 $f(x)$ , $g(x)$ に対して，

$xy$ 平面上のグラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の個数
方程式 $f(x)=g(x)$ の実数解の個数

は等しい．

x を決めれば $f(x)$ , $g(x)$ は共に１つに決まるので，

$\alpha$ がグラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の x 座標
$\alpha$ が方程式 $f(x)=g(x)$ の実数解

が同値であることを示せばよいですね．

[1]　 $\alpha$ がグラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の x 座標のとき， $f(\alpha)=g(\alpha)$ をみたす．

すなわち，方程式 $f(x)=g(x)$ は $x=\alpha$ を代入して成り立つから， $\alpha$ は方程式 $f(x)=g(x)$ の実数解である．

[2]　 $\alpha$ が方程式 $f(x)=g(x)$ の実数解のとき， $f(\alpha)=g(\alpha)$ が成り立つ．

すなわち， $y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフにおいて $x=\alpha$ のときの y 座標が等しいから， $\alpha$ は $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の x 座標である．

この定理から $y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフの共有点と，方程式 $f(x)=g(x)$ の実数解は１つ１つ対応していることが分かりますね．

この定理を用いると，方程式の解の個数が求められます．

例１

方程式 $x^3-3x^2-2=0$ の実数解の個数を求めよ．

$f(x)=x^3-3x^2-2$ とします． $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は

$\begin{align*} f'(x) =&3x^2-6x \\=&3x(x-2) \end{align*}$

なので，方程式 $f'(x)=0$ を解くと $x=0,2$ です．また，

$\begin{align*} &f(0)=0^3-3\times0^2-2=-2, \\&f(2)=2^3-3\times2^2-2=-6 \end{align*}$

なので， $f(x)$ の増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow \end{array}$

となるので， $y=f(x)$ のグラフは下図のようになります．

これより， $y=f(x)$ のグラフと $y=0$ ( x 軸)のグラフの共有点の個数は１個なので，方程式 $x^3-3x^2-2=0$ の実数解は１個ですね．

先ほどの定理から

$y=x^3-3x^2-2$ と $y=0$ の共有点の個数
方程式 $x^3-3x^2-2=0$ の解の個数

が等しいことを使ったわけですね．

なお，慣れてくれば $y=f(x)$ のグラフを書かなくても，増減表から方程式 $f(x)=0$ の実数解の個数を求められるようになります．

例２

実数 $k$ に対して，方程式 $x^3-3x^2-2=k$ の実数解の個数を求めよ．

例１と異なる点は右辺が０でなく $k$ となっているので，このときは

$y=x^3-3x^2-2$ と $y=k$ の共有点の個数
方程式 $x^3-3x^2-2=k$ の解の個数

が等しいことを使えば良いですね．

$f(x)=x^3-3x^2-2$ とすると， $y=f(x)$ のグラフは例１と同じものになります．

よって， $xy$ 平面上の $y=f(x)$ のグラフと $y=k$ のグラフの共有点の個数を考えて，方程式 $x^3-3x^2-2=k$ をみたす解は

$a<-6$ , $-2<a$ のとき，１個
$a=-6,-2$ のとき，２個
$-6<a<-2$ のとき，３個

となります．

このように， $k$ の値によって交点の個数は変わるので，場合分けをすることになりますね．

不等式の証明

不等式の証明は，増減表(グラフ)を描くことで解決することは多いです．

不等式 $3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$ が成り立つことを示せ．

$f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2$ とします． $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は

$\begin{align*} f'(x) =&12x^3-6x^2-6x \\=&6x(2x^2-x-1) \\=&6x(2x+1)(x-1) \end{align*}$

なので，方程式 $f'(x)=0$ を解くと $x=-\dfrac{1}{2},0,1$ となります．また，

$\begin{align*} &f\bra{-\frac{1}{2}}=3\bra{-\frac{1}{2}}^4-2\bra{-\frac{1}{2}}^3-3\bra{-\frac{1}{2}}^2+2=\frac{27}{16}, \\&f(0)=3\times0^4-2\times0^3-3\times0^2+2=2, \\&f(1)=3\times1^4-2\times1^3-3\times1^2+2=0 \end{align*}$

なので，増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & \dots &-\frac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow &\frac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}$