微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]

$f(x)=x^3-3x^2-2$とします．$f(x)$の導関数$f'(x)$は

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です．また，

なので，$f(x)$の増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots  \\ \hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow
\end{array}$

となるので，$y=f(x)$のグラフは下図のようになります．

これより，$y=f(x)$のグラフと$y=0$ ($x$軸)のグラフの共有点の個数は１個なので，方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解は１個ですね．

$f(x)=x^3-3x^2-2$とすると，$y=f(x)$のグラフは例１と同じものになります．

よって，$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフと$y=k$のグラフの共有点の個数を考えて，方程式$x^3-3x^2-2=k$をみたす解は

• $a<-6$, $-2<a$のとき，１個
• $a=-6,-2$のとき，２個
• $-6<a<-2$のとき，３個

となります．

$f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2$とします．$f(x)$の導関数$f'(x)$は

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=-\dfrac{1}{2},0,1$となります．また，

なので，増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
x & \dots &-\frac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots  \\ \hline
f'(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow &\frac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow
\end{array}$

となります．よって，任意の実数$x$に対して不等式$3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$が成り立ちますね．