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微分法7|グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]

前回の記事までで,導関数$f'(x)$を用いて$y=f(x)$のグラフを描けるようになり,さらに関数$f(x)$の最大値・最小値の求め方を考えました.

$y=f(x)$の増減表やグラフを描くことにより,方程式$f(x)=0$の実数解の個数を求めることができます.

このときの考え方を利用すると

  • 実数$k$に対して方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めたり,
  • 不等式の証明をすることができます.

この記事では,これらの問題を解くための考え方を説明します.

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方程式の実数解の個数

次の公式は当たり前にしておきましょう.

関数$f(x)$, $g(x)$に対して,

  • $xy$平面上のグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の個数
  • 方程式$f(x)=g(x)$の実数解の個数

は等しい.

$x$を決めれば$f(x)$, $g(x)$は共に1つに決まるので,

  • $\alpha$がグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標
  • $\alpha$が方程式$f(x)=g(x)$の実数解

が同値であることを示せばよいですね.

[1] $\alpha$がグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標のとき,$f(\alpha)=g(\alpha)$をみたす.

すなわち,方程式$f(x)=g(x)$は$x=\alpha$を代入して成り立つから,$\alpha$は方程式$f(x)=g(x)$の実数解である.

[2] $\alpha$が方程式$f(x)=g(x)$の実数解のとき,$f(\alpha)=g(\alpha)$が成り立つ.

すなわち,$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフにおいて$x=\alpha$のときの$y$座標が等しいから,$\alpha$は$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標である.

この定理から$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点と,方程式$f(x)=g(x)$の実数解は1つ1つ対応していることが分かりますね.

この定理を用いると,方程式の解の個数が求められます.

例1

方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解の個数を求めよ.

$f(x)=x^3-3x^2-2$とします.$f(x)$の導関数$f'(x)$は

\begin{align*} f'(x) =&3x^2-6x \\=&3x(x-2) \end{align*}

なので,方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です.また,

\begin{align*} &f(0)=0^3-3\times0^2-2=-2, \\&f(2)=2^3-3\times2^2-2=-6 \end{align*}

なので,$f(x)$の増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots  \\ \hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow
\end{array}$

となるので,$y=f(x)$のグラフは下図のようになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

これより,$y=f(x)$のグラフと$y=0$ ($x$軸)のグラフの共有点の個数は1個なので,方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解は1個ですね.

先ほどの定理から

  • $y=x^3-3x^2-2$と$y=0$の共有点の個数
  • 方程式$x^3-3x^2-2=0$の解の個数

が等しいことを使ったわけですね.

なお,慣れてくれば$y=f(x)$のグラフを書かなくても,増減表から方程式$f(x)=0$の実数解の個数を求められるようになります.

例2

実数$k$に対して,方程式$x^3-3x^2-2=k$の実数解の個数を求めよ.

例1と異なる点は右辺が0でなく$k$となっているので,このときは

  • $y=x^3-3x^2-2$と$y=k$の共有点の個数
  • 方程式$x^3-3x^2-2=k$の解の個数

が等しいことを使えば良いですね.

$f(x)=x^3-3x^2-2$とすると,$y=f(x)$のグラフは例1と同じものになります.

よって,$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフと$y=k$のグラフの共有点の個数を考えて,方程式$x^3-3x^2-2=k$をみたす解は

  • $a<-6$, $-2<a$のとき,1個
  • $a=-6,-2$のとき,2個
  • $-6<a<-2$のとき,3個

となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

このように,$k$の値によって交点の個数は変わるので,場合分けをすることになりますね.

不等式の証明

不等式の証明は,増減表(グラフ)を描くことで解決することは多いです.

不等式$3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$が成り立つことを示せ.

$f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2$とします.$f(x)$の導関数$f'(x)$は

\begin{align*} f'(x) =&12x^3-6x^2-6x \\=&6x(2x^2-x-1) \\=&6x(2x+1)(x-1) \end{align*}

なので,方程式$f'(x)=0$を解くと$x=-\dfrac{1}{2},0,1$となります.また,

\begin{align*} &f\bra{-\frac{1}{2}}=3\bra{-\frac{1}{2}}^4-2\bra{-\frac{1}{2}}^3-3\bra{-\frac{1}{2}}^2+2=\frac{27}{16}, \\&f(0)=3\times0^4-2\times0^3-3\times0^2+2=2, \\&f(1)=3\times1^4-2\times1^3-3\times1^2+2=0 \end{align*}

なので,増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
x & \dots &-\frac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots  \\ \hline
f'(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow &\frac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow
\end{array}$

となります.よって,任意の実数$x$に対して不等式$3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$が成り立ちますね.

増減表からグラフを描くと,下図のようになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

確かに,グラフを描いても常に$y=f(x)$は0以上となることが見てとれますね.

最後までありがとうございました!

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