微分法７｜方程式の解の個数，不等式の証明

【微分の基本6|関数の最大値，最小値】の続きです．

前回の記事までで，増減表を用いて関数の極値や最大値，最小値を求められるようになりました．

これらを利用して，方程式の解の個数を調べたり，不等式の証明をすることができます．

やはり，やることは今までと同じく，導関数を求めて増減表を書きます．

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1 方程式の解の個数
- 1.1 例1
- 1.2 例2
2 不等式の証明
- 2.1 例3

方程式の解の個数

次の[事実]を直接使う必要はありませんが，イメージとして当たり前にしておきましょう．

[事実1]　関数 $f(x)$ , $g(x)$ に対して，「グラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の個数」と「方程式 $f(x)=g(x)$ の解の個数」は一致する．

念のため，証明しておきます．

[証明]

「 $\alpha$ がグラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の $x$ 座標」であることと，「 $\alpha$ が方程式 $f(x)=g(x)$ の解」であることは同値である…… $(*)$ ことを示す．

[1]　 $\alpha$ がグラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の $x$ 座標のとき

$x=\alpha$ での共有点の座標を $(\alpha,\beta)$ とする．

このとき， $\beta=f(\alpha)$ , $\beta=g(\alpha)$ をみたすから， $f(\alpha)=g(\alpha)$ となる．

よって， $\alpha$ は $f(x)=g(x)$ の解である．

[2]　 $\alpha$ が方程式 $f(x)=g(x)$ の解のとき

$\beta=f(\alpha)=g(\alpha)$ とおくと， $\beta=f(\alpha)$ , $\beta=g(\alpha)$ をみたす．

よって，点 $(\alpha,\beta)$ はグラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点である．

[1]，[2]より， $(*)$ が示された．よって，「グラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点の個数」と「方程式 $f(x)=g(x)$ の解の個数」は一致する．

[証明終]

このように，「グラフ $y=f(x)$ , $y=g(x)$ の共有点」と「方程式 $f(x)=g(x)$ の解」が1つずつ対応することがイメージとしてもてていれば，[事実]は当たり前ですね．

この[事実]を用いて，方程式の解の個数を求めます．

例1

方程式 $x^3-3x^2-2=0$ の解の個数を考えます．

$f(x)=x^3-3x^2-2$ とします． $f(x)$ の導関数は， $f'(x)=3x^2-6x$ なので，

$f'(x)=0$
$\iff 3x^2-6x=0$
$\iff x(x-2)=0$
$\iff x=0,2$

です．また，

$f(0)=0^3-3\times0^2-2=-2$ ，
$f(2)=2^3-3\times2^2-2=-6$

なので，増減表は

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow \\ \hline \end{array}$

となります．また， $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ , $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ です．

よって，方程式 $x^3-3x^2-2=0$ をみたす解は1つです．

[事実1]から，「 $y=x^3-3x^2-2$ と $y=0$ の共有点の個数」と「方程式 $x^3-3x^2-2=0$ の解の個数」が等しいです．なお， $y=0$ は $x$ 軸ですね．

上の増減表からグラフを描いて，確かに $y=x^3-3x^2-2$ と $y=0$ の共有点は1個となっています．増減表とグラフを結びつけてイメージできるようにしてください．

例2

実数 $a$ に対して，方程式 $x^3-3x^2-2=a$ の解の個数を考えます．

左辺は例1と同じですから， $f(x)=x^3-3x^2-2$ とすると，増減表は

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow \\ \hline \end{array}$

となります．また， $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ , $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ です．

よって，方程式 $x^3-3x^2-2=a$ をみたす解は

$a<-6,-2<a$ のとき，1個
$a=-6,-2$ のとき，2個
$-6<a<-2$ のとき，3個

となります．

[事実1]から，「 $y=x^3-3x^2-2$ と $y=a$ の共有点の個数」と「方程式 $x^3-3x^2-2=0$ の解の個数」が等しいです．なお， $y=a$ は $x$ 軸に平行で $(0,a)$ を通る直線ですね．

上の増減表からグラフを描いて，確かに $y=x^3-3x^2-2$ と $y=a$ の共有点は

$a<-6,-2<a$ のとき，1個
$a=-6,-2$ のとき，2個
$-6<a<-2$ のとき，3個

となっています．

不等式の証明

不等式の証明も，方程式の時と同様に，次の[事実2]，[事実3]は当たり前にしておいてください．

[事実2]　関数 $f(x)$ , $g(x)$ に対して，「グラフ $y=f(x)$ が $y=g(x)$ より『下側』にあること」と「不等式 $f(x)<g(x)$ が成り立つこと」は同値である．

[事実3]　また，「グラフ $y=f(x)$ が $y=g(x)$ より『上側』にないこと」と「不等式 $f(x)\le g(x)$ が成り立つこと」は同値である．

「下側」，「上側」とは，正確な表現ではありませんが，要するにそれぞれ「 $y$ 方向に関して負の方にある」，「 $y$ 方向に関して正の方にない」ということを述べています．

証明は方程式の場合と似たようなものなので省略します．

例3

方程式 $3x^4-2x^3-3x^2+2\ge0$ を示します．

$f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2$ とします． $f(x)$ の導関数は， $f'(x)=12x^3-6x^2-6x$ なので，

$f'(x)=0$
$\iff 12x^3-6x^2-6x=0$
$\iff x(2x+1)(x-1)=0$
$\iff x=-\dfrac{1}{2},0,1$

です．また，

$f\bra{-\dfrac{1}{2}}=3\times\bra{-\dfrac{1}{2}}^4-2\times\bra{-\dfrac{1}{2}}^3-3\times\bra{-\dfrac{1}{2}}^2+2=\dfrac{27}{16}$ ，
$f(0)=3\times0^4-2\times0^3-3\times0^2+2=2$ ，
$f(1)=3\times1^4-2\times1^3-3\times1^2+2=0$

なので，増減表は

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \dots &-\dfrac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow &\dfrac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}$