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微分法7|グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]

前回の記事までで,導関数f'(x)を用いてy=f(x)のグラフを描けるようになり,さらに関数f(x)の最大値・最小値の求め方を考えました.

y=f(x)の増減表やグラフを描くことにより,方程式f(x)=0の実数解の個数を求めることができます.

このときの考え方を利用すると

  • 実数kに対して方程式f(x)=kの実数解の個数を求めたり,
  • 不等式の証明をすることができます.

この記事では,これらの問題を解くための考え方を説明します.

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方程式の実数解の個数

次の公式は当たり前にしておきましょう.

関数f(x), g(x)に対して,

  • xy平面上のグラフy=f(x), y=g(x)の共有点の個数
  • 方程式f(x)=g(x)の実数解の個数

は等しい.

x を決めればf(x), g(x)は共に1つに決まるので,

  • \alphaがグラフy=f(x), y=g(x)の共有点の x 座標
  • \alphaが方程式f(x)=g(x)の実数解

が同値であることを示せばよいですね.

[1] \alphaがグラフy=f(x), y=g(x)の共有点の x 座標のとき,f(\alpha)=g(\alpha)をみたす.

すなわち,方程式f(x)=g(x)x=\alphaを代入して成り立つから,\alphaは方程式f(x)=g(x)の実数解である.

[2] \alphaが方程式f(x)=g(x)の実数解のとき,f(\alpha)=g(\alpha)が成り立つ.

すなわち,y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフにおいてx=\alphaのときの y 座標が等しいから,\alphay=f(x), y=g(x)の共有点の x 座標である.

この定理からy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの共有点と,方程式f(x)=g(x)の実数解は1つ1つ対応していることが分かりますね.

この定理を用いると,方程式の解の個数が求められます.

例1

方程式x^3-3x^2-2=0の実数解の個数を求めよ.

f(x)=x^3-3x^2-2とします.f(x)の導関数f'(x)

\begin{align*} f'(x) =&3x^2-6x \\=&3x(x-2) \end{align*}

なので,方程式f'(x)=0を解くとx=0,2です.また,

\begin{align*} &f(0)=0^3-3\times0^2-2=-2, \\&f(2)=2^3-3\times2^2-2=-6 \end{align*}

なので,f(x)の増減表は

\begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots  \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow \end{array}

となるので,y=f(x)のグラフは下図のようになります.

Rendered by QuickLaTeX.com

これより,y=f(x)のグラフとy=0 ( x 軸)のグラフの共有点の個数は1個なので,方程式x^3-3x^2-2=0の実数解は1個ですね.

先ほどの定理から

  • y=x^3-3x^2-2y=0の共有点の個数
  • 方程式x^3-3x^2-2=0の解の個数

が等しいことを使ったわけですね.

なお,慣れてくればy=f(x)のグラフを書かなくても,増減表から方程式f(x)=0の実数解の個数を求められるようになります.

例2

実数kに対して,方程式x^3-3x^2-2=kの実数解の個数を求めよ.

例1と異なる点は右辺が0でなくkとなっているので,このときは

  • y=x^3-3x^2-2y=kの共有点の個数
  • 方程式x^3-3x^2-2=kの解の個数

が等しいことを使えば良いですね.

f(x)=x^3-3x^2-2とすると,y=f(x)のグラフは例1と同じものになります.

よって,xy平面上のy=f(x)のグラフとy=kのグラフの共有点の個数を考えて,方程式x^3-3x^2-2=kをみたす解は

  • a<-6, -2<aのとき,1個
  • a=-6,-2のとき,2個
  • -6<a<-2のとき,3個

となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

このように,kの値によって交点の個数は変わるので,場合分けをすることになりますね.

不等式の証明

不等式の証明は,増減表(グラフ)を描くことで解決することは多いです.

不等式3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0が成り立つことを示せ.

f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2とします.f(x)の導関数f'(x)

\begin{align*} f'(x) =&12x^3-6x^2-6x \\=&6x(2x^2-x-1) \\=&6x(2x+1)(x-1) \end{align*}

なので,方程式f'(x)=0を解くとx=-\dfrac{1}{2},0,1となります.また,

\begin{align*} &f\bra{-\frac{1}{2}}=3\bra{-\frac{1}{2}}^4-2\bra{-\frac{1}{2}}^3-3\bra{-\frac{1}{2}}^2+2=\frac{27}{16}, \\&f(0)=3\times0^4-2\times0^3-3\times0^2+2=2, \\&f(1)=3\times1^4-2\times1^3-3\times1^2+2=0 \end{align*}

なので,増減表は

\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & \dots &-\frac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots  \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow &\frac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}

となります.よって,任意の実数 x に対して不等式3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0が成り立ちますね.

増減表からグラフを描くと,下図のようになります.

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確かに,グラフを描いても常にy=f(x)は0以上となることが見てとれますね.

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