グラフから分かること｜[実数解の個数]と[不等式の証明]

前回の記事までで，導関数$f'(x)$を用いて$y=f(x)$のグラフを描けるようになり，さらに関数$f(x)$の最大値・最小値の求め方を考えました．

$y=f(x)$の増減表やグラフを描くことにより，方程式$f(x)=0$の実数解の個数を求めることができます．

このときの考え方を利用すると

実数$k$に対して方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めたり，
不等式の証明をすることができます．

この記事では，これらの問題を解くための考え方を説明します．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】
【微分法４｜y=f(x)のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】←この記事

1 方程式の実数解の個数
- 1.1 例１
- 1.2 例２
2 不等式の証明

方程式の実数解の個数

次の公式は当たり前にしておきましょう．

関数$f(x)$, $g(x)$に対して，

$xy$平面上のグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の個数
方程式$f(x)=g(x)$の実数解の個数

は等しい．

$x$を決めれば$f(x)$, $g(x)$は共に１つに決まるので，

$\alpha$がグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標
$\alpha$が方程式$f(x)=g(x)$の実数解

が同値であることを示せばよいですね．

[1]　$\alpha$がグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標のとき，$f(\alpha)=g(\alpha)$をみたす．

すなわち，方程式$f(x)=g(x)$は$x=\alpha$を代入して成り立つから，$\alpha$は方程式$f(x)=g(x)$の実数解である．

[2]　$\alpha$が方程式$f(x)=g(x)$の実数解のとき，$f(\alpha)=g(\alpha)$が成り立つ．

すなわち，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフにおいて$x=\alpha$のときの$y$座標が等しいから，$\alpha$は$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標である．

この定理から$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点と，方程式$f(x)=g(x)$の実数解は１つ１つ対応していることが分かりますね．

この定理を用いると，方程式の解の個数が求められます．

例１

方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解の個数を求めよ．

$f(x)=x^3-3x^2-2$とします．$f(x)$の導関数$f'(x)$は

$\begin{align*} f'(x) =&3x^2-6x \\=&3x(x-2) \end{align*}$

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です．また，

$\begin{align*} &f(0)=0^3-3\times0^2-2=-2, \\&f(2)=2^3-3\times2^2-2=-6 \end{align*}$

なので，$f(x)$の増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots \\ \hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow
\end{array}$

となるので，$y=f(x)$のグラフは下図のようになります．

これより，$y=f(x)$のグラフと$y=0$ ($x$軸)のグラフの共有点の個数は１個なので，方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解は１個ですね．

先ほどの定理から

$y=x^3-3x^2-2$と$y=0$の共有点の個数
方程式$x^3-3x^2-2=0$の解の個数

が等しいことを使ったわけですね．

なお，慣れてくれば$y=f(x)$のグラフを書かなくても，増減表から方程式$f(x)=0$の実数解の個数を求められるようになります．

例２

実数$k$に対して，方程式$x^3-3x^2-2=k$の実数解の個数を求めよ．

例１と異なる点は右辺が０でなく$k$となっているので，このときは

$y=x^3-3x^2-2$と$y=k$の共有点の個数
方程式$x^3-3x^2-2=k$の解の個数

が等しいことを使えば良いですね．

$f(x)=x^3-3x^2-2$とすると，$y=f(x)$のグラフは例１と同じものになります．

よって，$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフと$y=k$のグラフの共有点の個数を考えて，方程式$x^3-3x^2-2=k$をみたす解は

$a<-6$, $-2<a$のとき，１個
$a=-6,-2$のとき，２個
$-6<a<-2$のとき，３個

となります．

このように，$k$の値によって交点の個数は変わるので，場合分けをすることになりますね．

不等式の証明

不等式の証明は，増減表(グラフ)を描くことで解決することは多いです．

不等式$3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$が成り立つことを示せ．

$f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2$とします．$f(x)$の導関数$f'(x)$は

$\begin{align*} f'(x) =&12x^3-6x^2-6x \\=&6x(2x^2-x-1) \\=&6x(2x+1)(x-1) \end{align*}$

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=-\dfrac{1}{2},0,1$となります．また，

$\begin{align*} &f\bra{-\frac{1}{2}}=3\bra{-\frac{1}{2}}^4-2\bra{-\frac{1}{2}}^3-3\bra{-\frac{1}{2}}^2+2=\frac{27}{16}, \\&f(0)=3\times0^4-2\times0^3-3\times0^2+2=2, \\&f(1)=3\times1^4-2\times1^3-3\times1^2+2=0 \end{align*}$

なので，増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
x & \dots &-\frac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots \\ \hline
f'(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow &\frac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow
\end{array}$

となります．よって，任意の実数$x$に対して不等式$3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$が成り立ちますね．

増減表からグラフを描くと，下図のようになります．

確かに，グラフを描いても常に$y=f(x)$は０以上となることが見てとれますね．