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微分一覧

微分法7|グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]

前回の記事までで,導関数f'(x)を用いてy=f(x)のグラフを描けるようになり,さらに関数f(x)の最大値・最小値の求め方を考えました.

y=f(x)の増減表やグラフを描くことにより,方程式f(x)=0の実数解の個数を求めることができます.

このときの考え方を利用すると

  • 実数kに対して方程式f(x)=kの実数解の個数を求めたり,
  • 不等式の証明をすることができます.

この記事では,これらの問題を解くための考え方を説明します.

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微分法6|関数の最大値,最小値は微分を使うのが鉄板!

関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることで関数の増減を調べることができるのでした.

そして,関数f(x)の増減を調べることができるということは,関数f(x)の最大値,最小値を求めることができるということにも繋がります.

例えば,前回の記事で説明した極大値・極小値は,最大値・最小値の候補の1つとなります.

この記事では,f(x)が最大値,最小値をとるような x について解説します.

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微分法5|導関数から極大値,極小値を求める方法

前回の記事では,関数f(x)の導関数f'(x)を求めることによって,y=f(x)のグラフが描けることを説明しました.

2次関数を学んだときもそうでしたが,関数f(x)の値の範囲を求めるためには,f(x)のグラフを描くことが大切なのでした.

さて,3次以上の多項式f(x)について,

  • 極大値
  • 極小値

f(x)の最大値・最小値の候補となります.

この記事では,関数f(x)の極大値・極小値(併せて極値という)について説明します.

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微分法4|y=f(x)のグラフの描き方は4ステップでOK

xy平面上にy=f(x)のグラフを描くときの最も素朴な方法は,y=f(x)x に具体的な値を代入していき通る点を実際にとっていく方法です.

このように,通る点をxy平面上に書き込むことをプロットといい,中学校で一次関数や二次関数のグラフを学ぶ際にも最初にプロットで概形を考えるように教わります.

しかし,プロットしてグラフを描く方法では,たとえばx=0x=1でプロットしてもx=0, x=1以外ではどのようなグラフになっているか分かりません.

もっとプロットする x を細かくすると「大体こんなグラフやなあ」と分かってはくるものの,プロットしていない部分でものすごく振動している可能性もあり,やはり数学的にはプロットでは全体の概形の保証はなりません.

このように考えたとき,関数y=f(x)

  • 増加しているのか
  • 減少しているのか

が分かれば,少なくともグラフが右上がりか右下がりかが分かるので,ある程度概形をつかめたと言ってよいでしょう.

この記事では,y=f(x)のグラフの描き方を4ステップに分けて説明します.

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微分法3|多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質

前回の記事では,関数f(x)の導関数の考え方と求め方を説明しました.

数学IIの微分法では,多項式の微分をメインに扱います.

多項式の微分は非常に分かりやすく,自然数nに対してf(x)=x^nとするとf'(x)=nx^{n-1}となります.

このように,多項式の導関数は公式として当たり前に使えるようになっておく必要があります.

この記事では,

  • 多項式の導関数
  • 導関数の性質

を説明し,最後に具体例を考えます.

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微分法2|微分係数から導関数へ!導関数の考え方をマスター

関数f(x)x=aでの微分係数f'(a)とは,直感的には「y=f(x)x=aの接線の傾き」を表すもので,式では

    \begin{align*} f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\bra{=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \end{align*}

と定義されるのでした.そのため,微分係数f'(a)

  • 関数f(x)
  • a

を用意する必要があるのでした.

この記事では,微分係数f'(a)をもとにした導関数の考え方を説明します.

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微分法1|グラフの接線はどう考える?[微分係数]を理解する

xy平面上の放物線y=f(x)と直線y=g(x)が接するかどうかといった問題は,判別式Dを用いてD=0となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

このタイプの問題は「放物線」と「直線」が与えられていて,それらが接するかどうかの判定です.

さて,これから解説する「微分」を用いると,「放物線」と「放物線上の点A」が与えられれば,点Aでの放物線の「接線」を求めることができます.

「微分」は非常に汎用性が高く,放物線だけでなく,そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます.

この記事では,「微分」を図形的な意味から解説します.

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