[多項式の導関数]と[導関数の基本性質]は当たり前に！

前回の記事では，関数$f(x)$の導関数の考え方と求め方を説明しました．

数学IIの微分法では，多項式の微分をメインに扱います．

多項式の微分は非常に分かりやすく，自然数$n$に対して$f(x)=x^n$とすると$f'(x)=nx^{n-1}$となります．

このように，多項式の導関数は公式として当たり前に使えるようになっておく必要があります．

この記事では，

多項式の導関数
導関数の性質

を説明し，最後に具体例を考えます．

一連の記事はこちら

【微分法１｜グラフの接線はどう考える？[微分係数]を理解する】
【微分法２｜微分係数から導関数へ！導関数の考え方をマスター】
【微分法３｜多項式の導関数を求める公式と導関数の基本性質】←この記事
【微分法４｜$y=f(x)$のグラフの描き方は４ステップでOK】
【微分法５｜導関数から極大値，極小値を求める方法】
【微分法６｜関数の最大値，最小値は微分を使うのが鉄板！】
【微分法７｜グラフを使った[実数解の個数]と[不等式の証明]】

1 多項式の導関数
- 1.1 証明１
- 1.2 証明2
2 導関数の基本性質
3 具体例

多項式の導関数

多項式$f(x)$の微分について，次の公式が成り立ちます．

[多項式の微分]　定数関数$f(x)$の導関数は$f'(x)=0$であり，$f(x)=x$の導関数は$f'(x)=1$である．

また，２以上の整数$n$に対し，$f(x)=x^{n}$の導関数は$f'(x)=nx^{n-1}$である．

なお，直感的に

定数関数は「平ら」なので，導関数が０
$y=x$は「傾き１の直線」なので，導関数が１

であることはすぐに分かりますね．実際，以下の証明でも見るように，導関数の定義から簡単に導くことができます．

なお，導関数の定義式は同値な

$\begin{align*} f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$

と

$\begin{align*} f'(x)=\lim\limits_{b\to x}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b} \end{align*}$

の２通りありますが，どちらを用いても証明できるのでそれぞれの定義式で[多項式の微分]を証明してみましょう．

【ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式を図から理解しよう】

微分の２つの定義式は形が異なるように見えますが，実は全く同じことを言っています．この記事では，これら２つの定義式が同じであることを図を用いて説明しています．

証明１

導関数の定義$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$により，[多項式の微分]を証明をします．

[1]　$f(x)=C$ ($C$は定数)なら，

$\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\dfrac{C-C}{h} \\=&\lim_{h\to0}0 \\=&0 \end{align*}$

が成り立つ．

[2]　$f(x)=x$なら，

$\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h} \\=&\lim_{h\to0}\frac{h}{h} \\=&\lim_{h\to0}1 \\=&0 \end{align*}$

が成り立つ．

[3]　$n\geqq2$なら，二項定理より

$\begin{align*} (x+h)^{n}=\Co{n}{0}x^n+\Co{n}{1}x^{n-1}h+\dots+\Co{n}{n}h^n \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} f'(x) =&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{b-x} \\=&\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{b-x} \\=&\lim_{h\to 0}\frac{(\Co{n}{0}x^n+\Co{n}{1}x^{n-1}h+\dots+\Co{n}{n}h^n)-x^n}{h} \\=&\lim_{h\to 0}\frac{nx^{n-1}h+\Co{n}{2}x^{n-2}h^2+\dots+\Co{n}{n}h^n}{h} \\=&\lim_{h\to0}(nx^{n-1}+\Co{n}{2}x^{n-2}h+\dots+\Co{n}{n}h^{n-1}) \\=&nx^{n-1} \end{align*}$

が従う．

なお，[二項定理]については以下の記事を参照してください．

【場合の数７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】

[二項定理]は$(x+y)^n$の展開に関する定理で，場合の数を学ぶことで証明できます．考え方が理解できていると，成り立つことは当たり前に分かり，[二項定理]の発展である[多項定理]まで覚えなくても自分で導けるようになります．

証明2

次に，導関数の定義$f'(x)=\lim\limits_{b\to x}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}$により，[多項式の微分]を証明をします．

[1]　$f(x)=C$ ($C$は定数)なら，

$\begin{align*} f'(x) =&\lim_{b\to x}\frac{f(x)-f(b)}{x-b} \\=&\lim_{b\to x}\frac{C-C}{x-b} \\=&\lim_{b\to x}0 \\=&0 \end{align*}$

が成り立つ．

[2]　$f(x)=x$なら，

$\begin{align*} f'(x) =&\lim_{b\to x}\frac{f(x)-f(b)}{x-b} \\=&\lim_{b\to x}\frac{x-b}{x-b} \\=&\lim_{b\to x}\frac{h}{h} \\=&\lim_{b\to x}1 \\=&1 \end{align*}$

が成り立つ．

[3]　$n\geqq2$なら，因数分解の公式

$\begin{align*} x^{n}-b^{n}=(x-b)(x^{n-1}+x^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) \end{align*}$

より，

$\begin{align*} f'(x) =&\lim_{b\to x}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b} \\=&\lim_{b\to x}\dfrac{x^n-b^n}{x-b} \\=&\lim_{b\to x}(x^{n-1}+x^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) \\=&x^{n-1}+x^{n-2}x+\dots+x^{n-1} \\=&nx^{n-1} \end{align*}$

が従う．

なお，$a^n-b^n$の因数分解については以下の記事を参照してください．

【多項式の基本６｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ】

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$や$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$のように，$a^n-b^n$は必ず因数分解できて$a-b$を因数にもちます．このことはふとしたところで必要になるので，当たり前にしておきたいところです．

[多項式の微分]は当たり前にしておく．

導関数の基本性質

次に，[導関数の基本性質]を説明します．

[導関数の基本性質]　定数$k$, $\ell$と導関数をもつ関数$f(x)$, $g(x)$に対して，関数$kf(x)+\ell g(x)$の導関数は$kf'(x)+\ell g'(x)$である．

導関数の定義より

$\begin{align*} (kf(x)+\ell g(x))' =&\lim_{h\to0}\frac{(kf(x+h)+\ell g(x+h))-(kf(x)+\ell g(x))}{h} \\=&\lim_{h\to0}\bra{k\times\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\ell\times\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\=&k\bra{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}+\ell{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\=&kf'(x)+lg'(x) \end{align*}$