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多項式一覧

多項式の基本9|[解と係数の関係]は覚える必要なし!

2次方程式ax^2+bx+c=0が解\alpha, \betaをもつとき,関係式

    \begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*}

が成り立ちます.この関係式は,

  • 2次方程式の係数 a , b , c
  • \alpha, \beta

の関係式なので,この2つの等式を(2次方程式の)[解と係数の関係]といいます.

この[解と係数の関係]は覚えている必要はなく,考え方が分かっていればすぐに導くことができ,同様の考え方で3次以上の方程式でも[解と係数の関係]はすぐに導くことができます.

この記事では[解と係数の関係]の考え方を理解し,すぐに導けるようになることを目指します.

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多項式の基本8|[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前!

3次以上の多項式の因数分解を考えるとき,公式が使えれば簡単ですが,公式を適用できないことも多くあります.

その場合には[因数定理]による因数分解を考えるのが定石です.

[因数定理]は決して難しいものではなく,一度分かってしまえばアタリマエにすら思えるものです.

また,似た定理に[剰余の定理]があり,[因数定理]のイメージがつかめていれば,[剰余の定理]も同様に考えることができやはり当たり前に思えることでしょう.

この記事では

  • 因数定理
  • 剰余の定理

を説明します.

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多項式の基本7|[多項式の割り算]を考え方から理解しよう

因数分解をするための方法として公式を用いることは一つの重要な方法ですが,公式を使えない場合には別の方法として[因数定理]を用いることになります.

[因数定理]を用いるためには,多項式の扱いにある程度慣れておく必要があり,特に「多項式の割り算」が重要になります.

他にも,「多項式の割算」は数学IIIの積分などでも必要になるなど,地味ではありますがとても便利な考え方です.

とはいえ,「多項式の割り算」はこれまでとは新しい考え方が必要なものではなく,小学校以来扱ってきた「整数の割り算」の考え方をもとに考えることができます.

この記事では,

  • 整数の割り算
  • 多項式の割り算

の対応を考えつつ,「多項式の割り算」をイメージから説明します.

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多項式の基本6|3次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ

前々回の記事で説明したように,たとえばx^2-2x-2=0のような簡単には因数分解できない2次方程式は,いったん解を求めることによって因数分解できるのでした.

では,3次式では因数分解するための公式や方法はあるのでしょうか?

3次の場合にも2次式の場合と同じく,3次方程式の解を求めて因数分解することはできます.

しかし,一般の3次式を解くのは少々手間がかかるので,原理的には可能でもあまり良い方法とは言えません.そして,4次以上になると,さらに因数分解は困難(もしくは不可能)になります.

そこで,この記事では公式で因数分解ができる3次式,4次以上の多項式をまとめます.

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多項式の基本5|2次方程式の判別式と,2次方程式の虚数解

たとえば,2次方程式x^2-2x-3=0x=3,-1と具体的に解けて実数解を2個もつことが分かります.他の場合では

  • x^2-2x+1=0の実数解はx=1の1個存在し
  • x^2-2x+2=0の実数解は存在しない

というように,2次方程式の実数解は2個存在するとは限りません.

結論から言えば,2次方程式の実数解の個数は0個,1個,2個のいずれかであり,この2次方程式の[実数解の個数]が簡単に求められるものとして[判別式]があります.

また,2次方程式が実数解をもたない場合にも虚数解というものを考えることができます.

この記事では,

  • 2次(方程)式の判別式
  • 虚数

について説明します.

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多項式の基本4|2次方程式の[解の公式]の導出と使い方

例えば,2次方程式x^2-2x-3=0は左辺を因数分解して(x-3)(x+1)=0となるので,解がx=3,-1と分かります.

一方,2次方程式x^2-2x-2=0のように簡単には因数分解できない2次方程式を解くには別の方法を採る必要があります.

実は,前回の記事で説明した[平方完成]を用いることで,どんな2次方程式も解くことができる2次方程式の解の公式を導くことができます.

また,因数分解が難しい2次式ax^2+bx+cであっても,2次方程式ax^2+bx+c=0の解を求めることができれば,2次式ax^2+bx+cを因数分解できるようになります.

この記事では,

  • 2次方程式の解の公式
  • 因数分解が難しい2次式の因数分解

を説明します.

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多項式の基本3|2次関数の最小値・最大値は平方完成が鉄板!

前回と前々回の記事では2次式の因数分解を説明しましたが,そこで扱ったのは「因数分解の公式」が使える2次式であり,因数分解が難しい場合は扱いませんでした.

しかし,ときには因数分解の公式の適用が難しい場合でも因数分解しなければならないこともあります.

そのような,因数分解が難しい2次方程式を解く際には,「2次方程式の解の公式」を用いることになります.

この記事では,

  • 平方完成
  • 2次方程式の解の公式
  • 因数分解の公式が使えない2次式の因数分解

について説明します.

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