３次以上の展開と因数分解はどうなる？

前々回の記事で説明したように，たとえば$x^2-2x-2=0$のような簡単には因数分解できない２次方程式は，いったん解を求めることによって因数分解できるのでした．

では，３次式では因数分解するための公式や方法はあるのでしょうか？

３次の場合にも２次式の場合と同じく，３次方程式の解を求めて因数分解することはできます．

しかし，一般の３次式を解くのは少々手間がかかるので，原理的には可能でもあまり良い方法とは言えません．そして，４次以上になると，さらに因数分解は困難(もしくは不可能)になります．

そこで，この記事では公式で因数分解ができる３次式，４次以上の多項式をまとめます．

一連の記事はこちら

【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】
【多項式の基本２｜たすきがけ因数分解の公式の使い方】
【多項式の基本３｜２次式の最小値・最大値は平方完成が鉄板！】
【多項式の基本４｜２次方程式の[解の公式]の導出と使い方】
【多項式の基本５｜２次方程式の判別式と，２次方程式の虚数解】
【多項式の基本６｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ】←今の記事
【多項式の基本７｜[多項式の割り算]を考え方から理解しよう】
【多項式の基本８｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】
【多項式の基本９｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！】

1 解説動画
2 ３次式の展開と因数分解の公式
- 2.1 ４つの基本公式
- 2.2 ３文字の３次式の因数分解
3 ４次以上の多項式の因数分解

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３次式の展開と因数分解の公式

３次式の展開・因数分解について，

４つの基本公式
１つの知っておくとよい公式

を紹介します．

４つの基本公式

３次式の展開と因数分解では，次の４つの公式が基本的です．

$\begin{align*} \begin{cases} x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2),\\ x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2),\\ x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=(x+a)^3,\\ x^3-3ax^2+3a^2x-a^3=(x-a)^3 \end{cases} \end{align*}$

は身に付ける必要があります．

$(x+a)^3$は因数分解された式で，$x^3+a^3$は展開された式ですが，はじめのうちはこの両者を混同しやすいので注意してください．

具体的には，

$\begin{align*} &x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), \\&x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \\&x^3+6x+12x+8=(x+2)^3, \\&x^3-9x+27x-27=(x-3)^3 \end{align*}$

となります．

２次の場合と同じく，３次式に関するこれらの公式は必ず使えるようになっておく.

３文字の３次式の因数分解

次の公式は基本的ではないものの，よく問われるので知っておくとよい公式です．

$\begin{align*} x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \end{align*}$

これは実際に右辺を展開することで等しいことが分かります．

この式は対称式であるため扱いやすく，この等式はよく現れます．

ここで，「対称式」とは，$x$と$y$と$z$をどのように入れ替えても変化しない等式のことをいいます．

【対称式は基本対称式から！対称式のコツを具体例から解説！】

[解と係数の関係]などと絡んで自然に登場する対称式は，知らないととても面倒な計算をする羽目になることもあります．対象式の扱い方は是非とも身に付けてください．

なお，３次方程式の解を求めるための方法として「カルダノの方法」というものがありますが，「カルダノの方法」はこの因数分解に依っています．

興味のある人は是非とも調べてみてください．

対称式において，３文字の３乗の和があるときに$x^3+y^3+z^3-3xyz$を因数分解するとうまくいくことも多い．

４次以上の多項式の因数分解

一般に，４次以上の因数分解では，３次式よりもさらに因数分解がしにくくなります．

偶数次のみの多項式

例えば，$x^4-10x^2+9$や$x^6-1$といった偶数次の項のみもつ多項式では，比較的因数分解できる可能性があります．

次を因数分解せよ．

$x^4-10x^2+9$
$x^6-3x^4+3x^2-1$
$x^6-1$
$x^4-3x^2+1$

(1)　$t=x^2$とおくと，

$\begin{align*} x^4-10x^2+9 =&t^2-10t+9 \\=&(t-9)(t-1) \\=&(x^2-9)(x^2-1) \\=&(x+3)(x-3)(x+1)(x-1) \end{align*}$

となる．

(2)　$t=x^3$とおくと，

$\begin{align*} x^6-1 =&t^2-1 \\=&(t-1)(t+1) \\=&(x^3-1)(x^3+1) \\=&(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1) \end{align*}$

となる．

(3)　$t=x^2$とおくと，

$\begin{align*} x^6-3x^4+3x^2-1 =&t^3-3t^2+3t-1 \\=&(t-1)^3 \\=&(x^2-1)^3 \\=&(x+1)^3(x-1)^3 \end{align*}$

となる．

(4)　$x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$に注意すると，

$\begin{align*} x^4-3x^2+1 =&(x^4-2x^2+1)-x^2 \\=&(x^2-1)^2-x^2 \\=&\{(x^2-1)+x\}\{(x^2-1)-x\} \\=&(x^2+x-1)(x^2-x-1) \end{align*}$

となる．

３次以上の多項式の中でも，偶数次の項のみもつ４次以上の多項式は比較的因数分解できる場合が多い．

(n乗)-(n乗)の多項式

$a^n-b^n$が

$\begin{align*} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) \end{align*}$

と因数分解できます．

これは，右辺を実際に展開することで，ほとんどの項が足し引きで消えて$a^n$と$b^n$だけが残って左辺になります．一度は自分の手を動かして確かめてみてください．

さて，この公式は$n=2$, $n=3$の場合である

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

から連想すれば納得しやすいですね．

例えば，$n=4$の場合には

$\begin{align*} a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \end{align*}$

であり，$n=5$の場合には

$\begin{align*} a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) \end{align*}$

となります．

このように$n$が1増えるに従って，$a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}$の部分が増えているのが見て取れますね．

$a^n-b^n$は因数分解できることを意識する．特に，$a^2-b^2$や$a^3-b^3$からの連想で考えれば納得しやすい．

(n乗)+(n乗)の多項式

$n$が奇数のとき，$a^n+b^n$は

$\begin{align*} a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{align*}$

と因数分解できます．

$a^n-b^n$の場合と同じく，右辺を実際に展開することで，ほとんどの項が足し引きで消えて$a^n$と$b^n$だけが残って左辺になります．

一方，$a^n-b^n$の場合と違うのは，実数の範囲では$n$が奇数の場合にしか因数分解ができないことです．

これは，$a^2+b^2$は実数の範囲では因数分解できませんが，$a^3+b^3$は

$\begin{align*} a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \end{align*}$

と因数分解できることから連想できますね．

$n=5$の場合には

$\begin{align*} a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \end{align*}$

となります．

$a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1}$の部分で$+$と$-$が交互に出てくるので，最後が$+$になるために$n$が奇数でないといけないわけですね．

$a^n+b^n$は$n$が奇数のときに因数分解できる．これは$a^3+b^3$の因数分解から連想すればよい．

【次の記事：多項式の基本７｜[多項式の割り算]を考え方から理解しよう】

ここまでで因数分解ができる場合を多く扱ってきましたが，因数分解ができない場合には[多項式の割り算]を使うことが多いです．[多項式の割り算]は多項式の変形の中でも重要なので，しっかり計算できるようになってください．