多項式の基本６｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ

前々回の記事で説明したように，たとえば$x^2-2x-2=0$のような簡単には因数分解できない２次方程式は，いったん解を求めることによって因数分解できるのでした．

では，３次式では因数分解するための公式や方法はあるのでしょうか？

３次の場合にも２次式の場合と同じく，３次方程式の解を求めて因数分解することはできます．

しかし，一般の３次式を解くのは少々手間がかかるので，原理的には可能でもあまり良い方法とは言えません．そして，４次以上になると，さらに因数分解は困難(もしくは不可能)になります．

そこで，この記事では公式で因数分解ができる３次式，４次以上の多項式をまとめます．

３次式の展開と因数分解の公式

３次式の展開・因数分解について，

• ４つの基本公式
• １つの知っておくとよい公式

を紹介します．

４つの基本公式

３次式の展開と因数分解では，次の４つの公式が基本的です．

   

は身に付ける必要があります．

$(x+a)^3$は因数分解された式で，$x^3+a^3$は展開された式ですが，はじめのうちはこの両者を混同しやすいので注意してください．

具体的には，

   

となります．

３文字の３次式の因数分解

次の公式は基本的ではないものの，よく問われるので知っておくとよい公式です．

   

これは実際に右辺を展開することで等しいことが分かります．

この式は対称式であるため扱いやすく，この等式はよく現れます．

ここで，「対称式」とは，$x$と$y$と$z$をどのように入れ替えても変化しない等式のことをいいます．

なお，３次方程式の解を求めるための方法として「カルダノの方法」というものがありますが，「カルダノの方法」はこの因数分解に依っています．

興味のある人は是非とも調べてみてください．

４次以上の多項式の因数分解

一般に，４次以上の因数分解では，３次式よりもさらに因数分解がしにくくなります．

偶数次のみの多項式

例えば，$x^4-10x^2+9$や$x^6-1$といった偶数次の項のみもつ多項式では，比較的因数分解できる可能性があります．

(n乗)-(n乗)の多項式

$a^n-b^n$が

   

と因数分解できます．

これは，右辺を実際に展開することで，ほとんどの項が足し引きで消えて$a^n$と$b^n$だけが残って左辺になります．一度は自分の手を動かして確かめてみてください．

さて，この公式は$n=2$, $n=3$の場合である

• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

から連想すれば納得しやすいですね．

例えば，$n=4$の場合には

   

であり，$n=5$の場合には

   

となります．

このように$n$が1増えるに従って，$a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}$の部分が増えているのが見て取れますね．

(n乗)+(n乗)の多項式

$n$が奇数のとき，$a^n+b^n$は

   

と因数分解できます．

$a^n-b^n$の場合と同じく，右辺を実際に展開することで，ほとんどの項が足し引きで消えて$a^n$と$b^n$だけが残って左辺になります．

一方，$a^n-b^n$の場合と違うのは，実数の範囲では$n$が奇数の場合にしか因数分解ができないことです．

これは，$a^2+b^2$は実数の範囲では因数分解できませんが，$a^3+b^3$は

   

と因数分解できることから連想できますね．

$n=5$の場合には

   

となります．

$a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1}$の部分で$+$と$-$が交互に出てくるので，最後が$+$になるために$n$が奇数でないといけないわけですね．