多項式６
３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ

前回の記事まで因数分解の話題を中心に，２次多項式をまとめてきました．

３次以上の多項式でも因数分解のための公式がいくつかあります．

この記事では

• ３次式の因数分解の４公式
• ４次以上の因数分解の公式

をまとめます．

３次式の因数分解

３次式の展開・因数分解について，

• ４つの基本公式
• １つの知っておくとよい公式

を紹介します．

４つの基本公式

３次式の因数分解について，次の４つの公式は基本なので確実に身につけてください．

いずれも右辺を展開することで等しいことはすぐに分かりますね．

具体的には，

というわけですね．

$x^3+y^3+z^3-3xyz$の因数分解

次の公式は３文字の因数分解公式ですが，よく問われるので知っておきたい公式です．

この公式も右辺を展開することで等しいことはすぐに分かりますね．

この因数分解は対称式と絡めて出題されることも意識しておくと良いでしょう．

なお，対称式とは$x$と$y$と$z$をどのように入れ替えても変化しない多項式のことをいいます．詳しくは以下の記事を参照してください．

対称式は基本対称式を使え！
対称式のコツを具体例から解説

例えば「実数x, yがx+y=3, xy=1を満たすときx⁴+y⁴の値を求めよ」という問題はx⁴+y⁴が対称式であることに注目することで簡単に解くことができます．この記事では，対称式の基本を具体例から解説しています．

yama-taku.science

また，「３次方程式の解の公式」としてカルダノの公式というものがあり，このカルダノの公式はこの因数分解を用いて導出します．

大学入試では稀に出題される程度ですが，気になる方は大学数学の記事を執筆している姉妹ブログの以下の記事を参照してください．

３次方程式の解の公式｜カルダノの公式の導出・歴史・具体例

現代では「カルダノの公式」とも呼ばれている３次方程式の解の公式を導出し，具体例から使い方も解説します．また，「カルダノの公式」と呼ばれるに至った歴史的経緯も説明します．

math-note.xyz

４次以上の多項式の因数分解

一般に，４次以上の因数分解では，３次式よりもさらに因数分解がしにくくなります．

複２次式の因数分解

偶数次の項のみの４次式を複２次式といいます．

複２次式はうまく２次の項を分けることで$X^2-Y^2$の形に持ち込んで因数分解できることがあります．

偶数次のみの多項式の因数分解

$x^4-10x^2+9$や$x^6-1$といった偶数次の項のみもつ多項式は，$x^2=t$などと２乗をひとつとみることで比較的因数分解できることがあります．

$x^n-y^n$の因数分解

$x^n-y^n$は

と因数分解できます．

右辺を実際に展開すれば，ほとんどの項が足し引きで消えて$x^n$と$y^n$だけが残って左辺に等しいことが分かります．

さて，この公式は$n=2$, $n=3$の場合である

• $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
• $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

から連想すれば納得しやすいですね．

例えば，$n=4$の場合には

であり，$n=5$の場合には

となります．

このように$n$が$1$増えるに従って，$x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+y^{n-1}$の部分が増えているのが見てとれますね．

$x^n-y^n$の因数分解

$n$が奇数のとき，$x^n+y^n$は

と因数分解できます．

$x^n-y^n$の場合と同じく，右辺を実際に展開すれば，ほとんどの項が足し引きで消えて$x^n$と$y^n$だけが残って左辺に等しいことが分かります．

一方，$x^n-y^n$の場合と違うのは，実数の範囲では$n$が奇数の場合にしか因数分解ができないことです．

これは，$x^2+y^2$は実数の範囲では因数分解できませんが，$x^3+y^3$は

と因数分解できることから連想できますね．

$n=5$の場合には

となります．

$x^{n-1}-x^{n-2}y+\dots-xy^{n-2}+y^{n-1}$の部分で$+$と$-$が交互に出てくるので，最後が$+$になるためには$n$が奇数でないといけないわけですね．