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多項式の基本４｜３次以上の展開と因数分解の公式

2015/11/1 2019/10/30 多項式

【多項式の基本３｜平方完成と２次方程式の解の公式】の続きです．

前の記事では，解の公式を説明し，解の公式を用いることで，どんな2次方程式も因数分解できることをみました．

では，3次式では因数分解するための公式や方法はあるのでしょうか？

2次式の場合と同じく，3次方程式の解の公式から解を求めることができれば，3次式でも因数分解できますが，高校範囲で一般の3次式を解くのは難しいのです．

そのため，「3次式の因数分解は原理的には可能であるが，高校数学では難しい」といったところが答えになるでしょうか．

この記事では，3次式の因数分解の公式について詳しく説明し，4次以上の多項式の因数分解についても少し触れます．

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目次

1 解説動画
2 3次式の展開と因数分解の公式
- 2.1 4つの基本公式
- 2.2 3文字の3次式の因数分解
3 4次以上の多項式の因数分解

解説動画

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3次式の展開と因数分解の公式

4つの基本公式と，1つの知っておくとよい公式を紹介します．

4つの基本公式

3次式の展開と因数分解では，次の4つの公式が基本的です．

$\begin{cases} x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2),\\ x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2),\\ x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=(x+a)^3,\\ x^3-3ax^2+3a^2x-a^3=(x-a)^3 \end{cases}$

は身に付ける必要があります．

$(x+a)^3$ は因数分解された式で， $x^3+a^3$ は展開された式ですが，はじめのうちはこの両者を混同しやすいので注意してください．

具体的には，

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ ，
$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ ，
$x^3+6x+12x+8=(x+2)^3$ ，
$x^3-9x+27x-27=(x-3)^3$

となります．

2次の場合と同じく，3次式に関するこれらの公式は必ず使えるようになっておく.

3文字の3次式の因数分解

次の公式は基本的ではないものの，よく問われるので知っておくとよい公式です．

$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

これは実際に右辺を展開することで等しいことが分かります．

この式は対称式であるため扱いやすく，この等式はよく現れます．

ここで，「対称式」とは， $x$ と $y$ と $z$ をどのように入れ替えても変化しない等式のことをいいます．

【関連記事：対称式の基本｜基本対称式を利用する】

なお，3次方程式の解を求めるための方法として「カルダノの方法」というものがありますが，「カルダノの方法」はこの因数分解に依っています．興味のある人は是非とも調べてみてください．

対称式において，3文字の3乗の和があるときに $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を用いることがある．

4次以上の多項式の因数分解

一般に，4次以上の因数分解では，3次式よりもさらに因数分解がしにくくなります．

偶数次のみの多項式

例えば， $x^4-10x^2+9$ や $x^6-1$ といった偶数次の項のみもつ多項式では，比較的因数分解できる可能性があります．

[問]　次を因数分解せよ．

$x^4-10x^2+9$
$x^6-3x^4+3x^2-1$
$x^6-1$
$x^4-3x^2+1$

[解答]

(1)　 $t=x^2$ とおくと，

$x^4-10x^2+9$
$=t^2-10t+9$
$=(t-9)(t-1)$
$=(x^2-9)(x^2-1)$
$=(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)$

となる．

(2)　 $t=x^3$ とおくと，

$x^6-1$
$=t^2-1$
$=(t-1)(t+1)$
$=(x^3-1)(x^3+1)$
$=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$

となる．

(3)　 $t=x^2$ とおくと，

$x^6-3x^4+3x^2-1$
$=t^3-3t^2+3t-1$
$=(t-1)^3$
$=(x^2-1)^3$
$=(x+1)^3(x-1)^3$

となる．

(4)　 $x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$ に注意すると，

$x^4-3x^2+1$
$=(x^4-2x^2+1)-x^2$
$=(x^2-1)^2-x^2$
$=\{(x^2-1)+x\}\{(x^2-1)-x\}$
$=(x^2+x-1)(x^2-x-1)$

となる．

3次以上の多項式の中でも，偶数次の項のみもつ4次以上の多項式は比較的因数分解できる場合が多い．

(n乗)-(n乗)の多項式

$a^n-b^n$ が

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})$

と因数分解できます．

これは，右辺を実際に展開することで，ほとんどの項が足し引きで消えて $a^n$ と $b^n$ だけが残って左辺になります．一度は自分の手を動かして確かめてみてください．

さて，この公式は，それぞれ $n=2$ , $n=3$ の場合である

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

から連想すれば納得しやすいですね．

例えば， $n=4$ の場合には

$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

であり， $n=5$ の場合には

$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$

となります．

このように $n$ が1増えるに従って， $a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}$ の部分が増えているのが見て取れますね．

$a^n-b^n$ は因数分解できることを意識する．特に， $a^2-b^2$ や $a^3-b^3$ からの連想で考えれば納得しやすい．

(n乗)+(n乗)の多項式

$n$ が奇数のとき， $a^n+b^n$ は

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1})$

と因数分解できます．

$a^n-b^n$ の場合と同じく，右辺を実際に展開することで，ほとんどの項が足し引きで消えて $a^n$ と $b^n$ だけが残って左辺になります．

一方， $a^n-b^n$ の場合と違うのは， $n$ が奇数の場合にしかこの因数分解ができないことです．

これは， $a^2+b^2$ は因数分解できませんが， $a^3+b^3$ は

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

と因数分解できることから連想できますね．

$n=5$ の場合には

$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$

となります．

$a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1}$ の部分で $+$ と $-$ が交互に出てくるので，最後が $+$ になるために $n$ が奇数でないといけないわけですね．

$a^n+b^n$ は $n$ が奇数のときに因数分解できる．これは $a^3+b^3$ の因数分解から連想すればよい．

【多項式の基本５｜多項式の割り算】に続きます．