前回の記事では，展開と因数分解について４つの基本公式
の公式について説明しました．
これら４つの公式は，$x^2$の係数が１の場合にしか適用できませんでした．
そこで，この記事では，$x^2$の係数が１でない場合にも使えるたすきがけ因数分解の公式とよばれる
について説明します．
一連の記事はこちら
【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】
【多項式の基本２｜たすきがけ因数分解の公式の使い方】←今の記事
【多項式の基本３｜２次式の最小値・最大値は平方完成が鉄板！】
【多項式の基本４｜２次方程式の[解の公式]の導出と使い方】
【多項式の基本５｜２次方程式の判別式と，２次方程式の虚数解】
【多項式の基本６｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ】
【多項式の基本７｜[多項式の割り算]を考え方から理解しよう】
【多項式の基本８｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】
【多項式の基本９｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！】
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たすきがけ因数分解の公式
前回の記事で説明した４つの公式
はこれらの中でも$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$が使えれば，十分であると書きました．
この記事で扱うたすきがけ因数分解の公式
で$a=c=1$とすれば，公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$が出るため，$(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$よりも強い公式となっています．
公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$に比べて，[たすきがけ因数分解の公式]が優れている点は，$x^2$の係数が１でない場合にも使えるところです．
たとえば，$2x^2+7x+3$, $6x^2+7x-3$などは[たすきがけ因数分解の公式]を用いて因数分解することになります．
その代わり，公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$を用いるときには，「かけて定数，和が１次」と標語的に考えることで因数分解できましたが，[たすきがけ因数分解の公式]は他にも考えることがあります．
そのため，実際に自分の手で問題を解いて感覚を身につけてください．
[たすきがけ因数分解の公式]は$x^2$の係数が1でない場合に使えると言う点が優れている．その反面，$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$の公式より考えることが増えるので，しっかり問題を解いて慣れたい．
たすきがけ因数分解の公式の例
[たすきがけ因数分解の公式]では，「２次の係数から候補を絞って考える」という考え方がポイントです．
例１
$2x^2+7x+3$ですが，２次の係数が２であることから
と因数分解できることが期待できます．
さらに，定数項が３であることから，因数分解の候補として
- $(x+3)(2x+1)$
- $(x+1)(2x+3)$
- $(x-3)(2x-1)$
- $(x-1)(2x-3)$
が挙げられます．
これらの１次の係数は順に７，５，$-7$, $-5$ですから，$2x^2+7x+3$と等しいのは１次の係数が７で等しい$(x+3)(2x+1)$です．よって，
と因数分解できます．
例２
$6x^2+7x-3$ですが，２次の係数が６であることから
または
と因数分解できることを期待します．
さらに，定数項が$-3$であることから，因数分解の候補として
- $(x+1)(6x-3)$
- $(x-1)(6x+3)$
- $(x+3)(6x-1)$
- $(x-3)(6x+1)$
- $(2x+1)(3x-3)$
- $(2x-1)(3x+3)$
- $(2x+3)(3x-1)$
- $(2x-3)(3x+1)$
が挙げられます．
これらの１次の係数は順に３，$-3$, $17$, $-17$, $-3$，３，７，$-7$ですから，$6x^2+7x-3$と等しいのは１次の係数が７で等しい$(2x+3)(3x-1)$です．よって，
と因数分解されることが分かります．
[たすきがけ因数分解の公式]では，「２次の係数」と「定数項」から候補を絞り一つ一つ検証すればよい．
【次の記事：多項式の基本３｜２次式の最小値・最大値は平方完成が鉄板！】
２次式の変形の１つである[平方完成]はとても重要で，[平方完成]を用いると２次関数のグラフを$xy$平面上に描くことができます．これにより，２次式の最大値・最小値を求めることができます．