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多項式の基本2|たすきがけ因数分解の公式の使い方

前回の記事では,展開と因数分解について4つの基本公式

\begin{align*} \begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases} \end{align*}

の公式について説明しました.

これら4つの公式は,$x^2$の係数が1の場合にしか適用できませんでした.

そこで,この記事では,$x^2$の係数が1でない場合にも使えるたすきがけ因数分解の公式とよばれる

\begin{align*} acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d) \end{align*}

について説明します.

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たすきがけ因数分解の公式

前回の記事で説明した4つの公式

\begin{align*} \begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases} \end{align*}

はこれらの中でも$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$が使えれば,十分であると書きました.

この記事で扱うたすきがけ因数分解の公式

\begin{align*} acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d) \end{align*}

で$a=c=1$とすれば,公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$が出るため,$(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$よりも強い公式となっています.

公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$に比べて,[たすきがけ因数分解の公式]が優れている点は,$x^2$の係数が1でない場合にも使えるところです.

たとえば,$2x^2+7x+3$, $6x^2+7x-3$などは[たすきがけ因数分解の公式]を用いて因数分解することになります.

その代わり,公式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$を用いるときには,「かけて定数,和が1次」と標語的に考えることで因数分解できましたが,[たすきがけ因数分解の公式]は他にも考えることがあります.

そのため,実際に自分の手で問題を解いて感覚を身につけてください.

[たすきがけ因数分解の公式]は$x^2$の係数が1でない場合に使えると言う点が優れている.その反面,$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$の公式より考えることが増えるので,しっかり問題を解いて慣れたい.

たすきがけ因数分解の公式の例

[たすきがけ因数分解の公式]では,「2次の係数から候補を絞って考える」という考え方がポイントです.

例1

$2x^2+7x+3$ですが,2次の係数が2であることから

\begin{align*} (x+\qquad)(2x+\qquad) \end{align*}

と因数分解できることが期待できます.

さらに,定数項が3であることから,因数分解の候補として

  1. $(x+3)(2x+1)$
  2. $(x+1)(2x+3)$
  3. $(x-3)(2x-1)$
  4. $(x-1)(2x-3)$

が挙げられます.

これらの1次の係数は順に7,5,$-7$, $-5$ですから,$2x^2+7x+3$と等しいのは1次の係数が7で等しい$(x+3)(2x+1)$です.よって,

\begin{align*} 2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1) \end{align*}

と因数分解できます.

例2

$6x^2+7x-3$ですが,2次の係数が6であることから

\begin{align*} (x+\quad)(6x+\quad) \end{align*}

または

\begin{align*} (2x+\quad)(3x+\quad) \end{align*}

と因数分解できることを期待します.

さらに,定数項が$-3$であることから,因数分解の候補として

  1. $(x+1)(6x-3)$
  2. $(x-1)(6x+3)$
  3. $(x+3)(6x-1)$
  4. $(x-3)(6x+1)$
  5. $(2x+1)(3x-3)$
  6. $(2x-1)(3x+3)$
  7. $(2x+3)(3x-1)$
  8. $(2x-3)(3x+1)$

が挙げられます.

これらの1次の係数は順に3,$-3$, $17$, $-17$, $-3$,3,7,$-7$ですから,$6x^2+7x-3$と等しいのは1次の係数が7で等しい$(2x+3)(3x-1)$です.よって,

\begin{align*} 6x^2+7x-3=(2x+3)(3x-1) \end{align*}

と因数分解されることが分かります.

[たすきがけ因数分解の公式]では,「2次の係数」と「定数項」から候補を絞り一つ一つ検証すればよい.

最後までありがとうございました!

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