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2015.10.08

多項式の基本２｜たすきがけ因数分解の公式

【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】の続きです．

前の記事では，展開と因数分解について4つの基本公式

$\begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases}$

の公式について説明しました．

因数分解はある程度の慣れが必要で，習って理解してもすぐにできるようになるものではありませんが，因数分解は数学のあらゆるところに登場するので，問題集などでなんども因数分解をして慣れる必要があります．

この記事では，展開と因数分解について4つの公式に加えて，[たすきがけ因数分解の公式]とよばれる $acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)$ について説明します．

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目次

1 解説動画
2 たすきがけ因数分解の公式
3 たすきがけ因数分解の公式の例
- 3.1 例1
- 3.2 例2

解説動画

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たすきがけ因数分解の公式

前の記事【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】では展開と因数分解について4つの基本公式

$\begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases}$

の中でも $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ が使えれば，十分であると書きました．

この記事で扱う[たすきがけ因数分解の公式]

$acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

で $a=c=1$ とすれば，公式 $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ が出るため， $(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ よりも強い公式となっています．

公式 $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ に比べて，[たすきがけ因数分解の公式]が優れている点は， $x^2$ の係数が1でない場合にも使えるところです．

たとえば， $2x^2+7x+3$ ， $6x^2+7x-3$ などは[たすきがけ因数分解の公式]を用いて因数分解することになります．

その代わり，公式 $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ を用いるときには，「かけて定数，和が1次」と標語的に考えることで因数分解できましたが，[たすきがけ因数分解の公式]は他にも考えることがあります．

そのため，実際に自分の手で問題を解いて感覚を身につけてください．

[たすきがけ因数分解の公式]は $x^2$ の係数が1でない場合に使えると言う点が優れている．その反面， $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ の公式より考えることが増えるので，しっかり問題を解いて慣れたい．

たすきがけ因数分解の公式の例

[たすきがけ因数分解の公式]では，「2次の係数から候補を絞って考える」という考え方が大切です．

例1

$2x^2+7x+3$ ですが，2次の係数が $2$ であることから

$(x+\qquad)(2x+\qquad)$

と因数分解できることが期待できます．

さらに，定数項が $3$ であることから，因数分解の候補として

$(x+3)(2x+1)$
$(x+1)(2x+3)$
$(x-3)(2x-1)$
$(x-1)(2x-3)$

が挙げられます．

これらの1次の係数は順に $7$ ， $5$ ， $-7$ ， $-5$ ですから， $2x^2+7x+3$ と等しいのは1次の係数が $7$ で等しい $(x+3)(2x+1)$ です．よって，

$2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)$

と因数分解できます．

例2

$6x^2+7x-3$ ですが，2次の係数が $6$ であることから

$(x+\quad)(6x+\quad)$

または

$(2x+\quad)(3x+\quad)$

と因数分解できることを期待します．

さらに，定数項が $-3$ であることから，因数分解の候補として

$(x+1)(6x-3)$
$(x-1)(6x+3)$
$(x+3)(6x-1)$
$(x-3)(6x+1)$
$(2x+1)(3x-3)$
$(2x-1)(3x+3)$
$(2x+3)(3x-1)$
$(2x-3)(3x+1)$

が挙げられます．

これらの1次の係数は順に $3$ ， $-3$ ， $17$ ， $-17$ ， $-3$ ， $3$ ， $7$ ， $-7$ ですから， $6x^2+7x-3$ と等しいのは1次の係数が $7$ で等しい $(2x+3)(3x-1)$ です．よって，

$6x^2+7x-3=(2x+3)(3x-1)$

と因数分解されることが分かります．

[たすきがけ因数分解の公式]では，2次の係数から候補を絞り一つ一つ検証することになる．慣れればそれほど苦もなく使えるようになる．

【多項式の基本３｜平方完成と２次方程式の解の公式】に続きます．

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