多項式４<br>２次方程式の解の公式の導出と使い方

２次方程式$x^2-2x-3=0$は左辺を因数分解して$(x-3)(x+1)=0$となるので，解が$x=3,-1$と分かります．

では，次の方程式はどのように解けば良いでしょうか？

$x$の２次方程式$x^2-2x-2=0$を解け．

この方程式は簡単には因数分解できないので，この２次方程式を解くには別の方法を採る必要がありますが，実は前回の記事で紹介した平方完成を用いることで解くことができます．

どのような２次方程式も平方完成を用いれば原理的には必ず解くことができますが，平方完成が面倒な場合も少なくありません．

そのような場合には２次方程式の解の公式を用いることで解を求めることもできます．

この記事では，

平方完成による２次方程式の解法
２次方程式の解の公式
２次式の因数分解

を順に説明します．

「多項式」の一連の記事

平方完成による２次方程式の解法
２次方程式の解の公式
公式に頼らない２次式の因数分解

平方完成による２次方程式の解法

あえて何も言わず冒頭の問題を平方完成により解いてみましょう．

平方完成については以下の前回の記事を参照してください．

多項式３
２次関数の最小値・最大値は平方完成が鉄板！

２次関数y=ax²+bx+cのグラフは放物線となりますが，中学のときとは異なり放物線の頂点は原点ではなくなります．この記事では平方完成を用いて，２次関数のグラフを描き，２次関数の最大値・最小値を求める方法を説明します．

（再掲）$x$の２次方程式$x^2-2x-2=0$を解け．

左辺$x^2-2x-2$は

$\begin{align*}x^2-2x-2=(x-1)^2-3\end{align*}$

と平方完成できる．

よって，方程式は

$\begin{align*}(x-1)^2-3=0\iff(x-1)^2=3\end{align*}$

である．$X=x-1$とおくと$X^2=3$なので$X=\pm\sqrt{3}$となる．$X$を$x$に戻して

$\begin{align*}x-1=\pm\sqrt{3}\iff x=1\pm\sqrt{3}\end{align*}$

と解ける．

つまり，平方完成を用いることで，２次方程式は

$\begin{align*}(x-A)^2=B\end{align*}$

の形に変形することができ，ここから$x-A=\pm\sqrt{B}$となって$x=A\pm\sqrt{B}$が得られるわけですね．

２次方程式の解の公式

いまの平方完成による２次方程式の解法はどんな２次方程式に対しても用いることができます．

そのため，２次方程式$ax^2+bx+c=0$の解を求めておけば，その式に$a,b,c$を代入することで解が得られることになりますね．

このようにして得られる公式を２次方程式の解の公式といいます．

導出

[２次方程式の解の公式]　$x$の２次方程式の$ax^2+bx+c=0$の解は

$\begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}$

である．

２次式$ax^2+bx+c$は

$\begin{align*}ax^2+bx+c =&a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2-\frac{b^2}{4a}+c \\=&a\bra{x+\dfrac{b}{2a}}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{align*}$

と平方完成できます．よって，２次方程式$ax^2+bx+c=0$は

$\begin{align*}&ax^2+bx+c=0 \\\iff&a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \\\iff&\bra{x+\frac{b}{2a}}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{align*}$

となる．よって，両辺で平方根をとって

$\begin{align*}&x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\iff&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$

を得る．

２次方程式の解の公式はさっと使えるくらいに覚えておいてください．

いま私が早口で言ってみると３秒で言えました．ここまで速く言えなくても，スラスラ感があるくらいにはしっかり覚えてください．

例１

２次方程式$2x^2+x-3=0$を解け．

上の２次方程式の解の公式の$(a,b,c)=(2,1,-3)$の場合なので，解の公式より，

$\begin{align*} x =&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\=&\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-3)}}{2\times2} \\=&\frac{-1\pm\sqrt{25}}{4} =\frac{-1\pm5}{4} =1,-\frac{3}{2} \end{align*}$

である．

このように解の公式を用いてもいいですが，因数分解$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$に気付けば

$\begin{align*} 2x^2+x-3=0 \iff&(2x+3)(x-1)=0 \\\iff& x=1,-\dfrac{3}{2} \end{align*}$

とも解けます．

因数分解に気付かなくても解の公式を使えば解けてしまうという意味で解の公式は優秀ですが，因数分解できる場合には因数分解で解いた方が計算ミスは少ないですね．

例２

２次方程式$x^2+2x-2=0$を解け．

上の２次方程式の解の公式の$(a,b,c)=(1,2,-2)$の場合なので，解の公式より，

$\begin{align*} x=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\=&\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1} \\=&\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2} =-1\pm\sqrt{3} \end{align*}$

ですから，解は$-1+\sqrt{3}$と$-1-\sqrt{3}$です．

このように解の公式を用いてもいいですが，平方完成から

$\begin{align*} x^2+2x-2=0 \iff& (x+1)^2=3 \\\iff& x+1=\pm\sqrt{3} \\\iff& x=-1\pm\sqrt{3} \end{align*}$

とも解けます．

これくらいの２次方程式なら平方完成の方が速いし計算ミスも少ないでしょう．

例３

２次方程式$2x^2+x-2=0$を解け．

上の２次方程式の解の公式の$(a,b,c)=(2,1,-2)$の場合なので，解の公式より，

$\begin{align*} x =&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\=&\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-2)}}{2\times1} \\=&\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2} \end{align*}$

ですから，解は$\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$と$\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$です．

これくらいの２次方程式になると，解の公式を使うのが良いでしょう．

公式に頼らない２次式の因数分解

最後に因数分解公式からは簡単に因数分解できない２次式を平方完成する方法を紹介します．

それでは，上の例２，例３で登場した

$x^2+2x-2$
$2x^2+x-2$

などのように，基本の因数分解の公式を適用するのが難しいですね．

しかし，実は解が先に分かっている２次方程式は次のように因数分解することができます．

２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもてば，$ax^2+bx+c$は

$\begin{align*}ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\end{align*}$

と因数分解できる．

これは解が$\alpha,\beta$なら因数分解したときに$(x-\alpha)(x-\beta)$が現れるはずで，加えて２次の係数が$a$だからですね．

この定理を用いて次の問題を解きましょう．

$x$の２次式$x^2+2x-2$, $2x^2+x-2$をそれぞれ因数分解せよ．

$x^2+2x-2=0$と$2x^2+x-2=0$の解は上の例より

$\begin{align*}&x^2+2x-2=0\iff x=-1\pm\sqrt{3}, \\&2x^2+x-2=0\iff x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\end{align*}$

だったから，

$\begin{align*}x^2+2x-2 =&\brb{x-\bra{-1+\sqrt{3}}}\brb{x-\bra{-1-\sqrt{3}}} \\=&\bra{x+1-\sqrt{3}}\bra{x+1+\sqrt{3}}, \\2x^2+x-2 =&\bra{x-\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\bra{x-\frac{-1-\sqrt{17}}{2}} \\=&\bra{x+\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\bra{x+\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{align*}$