対称式は基本対称式を使え！対称式のコツを具体例から解説

次の問題はどのように解きますか？

実数$x$, $y$が$x+y=3$, $xy=1$を満たすとき，$x^4+y^4$の値を求めよ．

「$x+y=3$, $xy=1$を連立方程式だと思って，$x$, $y$を求めて代入！」という方法でも確かに解けますが，実際に$x$, $y$を求めると

$\begin{align*}x,y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{align*}$

なので，これを$x^4+y^4$に代入して計算するのはかなり面倒です．

そこで上手い方法を考えたいわけですが，$x^4+y^4$が対称式であることを利用する方法があります．

この記事では

対称式とは何か？
対称式を利用する問題
３次以上の対称式

を順に解説します．

対称式とは何か？
1. 対称式の定義と重要性質
2. 基本対称式で対称式を表す例
対称式を利用する問題
３変数以上の対称式

対称式とは何か？

まずは対称式について基本事項を解説します．

対称式の定義と重要性質

$x$, $y$の多項式が対称式であるとは，$x$と$y$を入れ替えても元の多項式に等しい多項式のことをいう．

「$x$, $y$の多項式$f(x,y)$が対称式であるとは，$f(x,y)=f(y,x)$が成り立つことをいう」といっても同じことですね．

例えば

$\begin{align*}&xy,\quad x+y,\quad x^2+y^2,\quad (x-y)^2 \\&2x+2y-xy,\quad x^3+98x^2y^2+y^3+7\end{align*}$

などはいずれも$x$, $y$の対称式です．例えば

$\begin{align*}xy=yx,\quad y^2+x^2=x^2+y^2,\quad (x-y)^2=(y-x)^2\end{align*}$

といった具合ですね．

さて，$x$, $y$の対称式の中でも$x+y$, $xy$は基本対称式とよばれる特別な対称式です．

この２つの対称式がどのように特別かというと，実は次の定理が成り立ちます．

任意の$x$, $y$の対称式は基本対称式$x+y$, $xy$の和，差，積で表すことができる．

この定理から基本対称式は対称式の基本単位であるといえますね．

この定理はとても強力で，この定理を背景とした問題は大学入試でも頻出です．

３文字以上の多項式についても対称式は定義されますが，これについてはこの記事の最後を参照してください．

基本対称式で対称式を表す例

それでは実際に$x$, $y$の対称式をいくつか基本対称式$x+y$, $xy$の和，差，積で表してみましょう．

次の$x$, $y$の対称式を基本対称式$x+y$, $xy$の和，差，積で表せ．

$x^2+y^2$
$(x-y)^2$
$x^3+y^3$

(１)　$(x+y)^2$を展開すると，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$なので，$2xy$を移項して

$\begin{align*}x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\end{align*}$

と$x^2+y^2$が基本対称式$x+y$, $xy$の和，差，積で表せる．

(２)　$(x-y)^2$を展開すると，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$であり，(１)と併せると

$\begin{align*}(x-y)^2=\{(x+y)^2-2xy\}-2xy=(x+y)^2-4xy\end{align*}$

と$(x-y)^2$が基本対称式$x+y$, $xy$の和，差，積で表せる．

(３)　$(x+y)^3$を展開すると，$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$なので，$3x^2y+3xy^2$を$3xy$でくくって移項して

$\begin{align*}x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\end{align*}$

と$x^3+y^3$が基本対称式$x+y$, $xy$の和，差，積で表せる．

対称式を利用する問題

次の問題は対称式を用いる典型的な問題です．

$t$の方程式$t^2-3t+1=0$の２解を$x$, $y$とするとき，次の値を求めよ．

$x^2y+x^2y$
$x^2+y^2$
$x^4+y^4$

この問題ではいずれの多項式も対称式なので「$x+y$と$xy$が求まるのではないか」と考えたいところです．

２次方程式の解と係数の関係から$x+y$, $xy$の値が求まるので，対称式であることを利用しましょう．

解と係数の関係から，$x+y=3$, $xy=1$である．

(１)　$x^2y+x^2y=xy(x+y)$だから，この右辺に$x+y$, $xy$を代入して

$\begin{align*}x^2y+x^2y=1\cdot3=3\end{align*}$

である．

(２)　$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$だから，この右辺に$x+y$, $xy$を代入して

$\begin{align*}x^2+y^2=3^2-2\times1=7\end{align*}$

である．

(３)　$(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$だから，$4x^3y+6x^2y^2+4xy^3$を移項して

$\begin{align*}x^4+y^4=&(x+y)^4-(4x^3y+6x^2y^2+4xy^3)\\=&(x+y)^4-\{4xy(x^2+y^2)+6(xy)^2\}\end{align*}$

である．この右辺に$x+y$, $xy$と(２)で求めた$x^2+y^2$を代入して

$\begin{align*}x^4+y^4=3^4-(4\cdot1\cdot7+6\cdot1^2)=47\end{align*}$

である．

$x$, $y$を具体的に求めて代入するよりもよっぽど速いですね．

この問題のように，解と係数の関係と絡めて対称式が出題されることはよくあるので，意識しておくと気付きやすいでしょう．

３変数以上の対称式

３変数以上でも同様に対称式が定義されます．

$x_1,x_2,\dots,x_n$の多項式が対称式であるとは，$x_1,x_2,\dots,x_n$をのように入れ替えても元の多項式に等しい多項式のことをいう．

例えば，３変数$x,y,z$の対称式は

$\begin{align*}&x+y+z,\quad xyz(x+y+z), \\&x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\end{align*}$

などですね．

また，$x$, $y$, $z$の基本対称式は$x+y+z$, $xy+yz+zx$, $xyz$で，やはり任意の$x$, $y$, $z$の対称式は基本対称式の和，差，積で表すことができます．

例えば，$x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2$は

$\begin{align*}&x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\\=&(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz\end{align*}$

と表せます．

一般に$n$次方程式$(t-x_1)(t-x_2)\dots(t-x_n)$を展開したときの係数に現れるもの（符号を全て$+$にしたもの）が基本対称式となります．

例えば，４変数$x,y,z,w$の基本対称式は

$\begin{align*}&(t-x)(t-y)(t-z)(t-w) \\=&t^4-(x+y+z+w)t^3 \\&+(xy+yz+zw+wx)t^2 \\&-(xyz+xyw+xzw+yzw)t+xyzw\end{align*}$

の係数をみて$x+y+z+w$, $xy+yz+zw+wx$, $xyz+xyw+xzw+yzw$, $xyzw$の４つとなります．

対称式は基本対称式を使え！対称式のコツを例題から解説

対称式とは何か？

対称式の定義と重要性質

基本対称式で対称式を表す例

対称式を利用する問題

３変数以上の対称式

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