式の計算の基本７｜解と係数の関係

【式の計算の基本６｜因数定理と剰余の定理】の続きです．

この記事では，「解と係数の関係」について説明します．

2次方程式 $x^2+bx+c=0$ が解 $\alpha$ ， $\beta$ をもつとします．このとき，次の関係式が成り立ちます．

$\begin{cases}b=-(\alpha+\beta)\\c=\alpha\beta\end{cases}$

見て分かる通りですが，2次方程式の係数 $b$ ， $c$ と解 $\alpha$ ， $\beta$ の関係式なので，この2つの式を「(2次方程式の)解と係数の関係」といいます．

「解と係数の関係」は2次方程式に限った話だけではなく，3次以上の方程式でも同様の式が成り立ちます．

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1 解説動画
2 2次方程式の解と係数の関係
3 3次以上の方程式の解と係数の関係
4 解と係数の関係と対称式

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2次方程式の解と係数の関係

冒頭にも書きましたが，

[(2次方程式の)解と係数の関係(その1)]　2次方程式 $x^2+bx+c=0$ が解 $\alpha$ ， $\beta$ をもつとき，

$\begin{cases}b=-(\alpha+\beta)\\c=\alpha\beta\end{cases}$

が成り立つ．

この公式は2次方程式の2次の係数が $1$ の場合です．

一般に，2次方程式の2次の係数は $1$ とは限りませんから，2次の係数が $a$ の場合の[解と係数の関係]も知っておきましょう．

[(2次方程式の)解と係数の関係(その2)]　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が解 $\alpha$ ， $\beta$ をもつとき，

$\begin{cases}\dfrac{b}{a}=-(\alpha+\beta)\\\dfrac{c}{a}=\alpha\beta\end{cases}\dots(*)$

が成り立つ．

[解と係数の関係]は，次のように簡単に示すことができます．

[証明]

$\alpha$ , $\beta$ を2解とする2次方程式は

$(x-\alpha)(x-\beta)=0$
$\iff x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$

と表せる．この方程式は $x$ の2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の両辺を $a$ で割った

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

に一致するから，係数を比較して，

$\begin{cases} b=-(\alpha+\beta)\\ c=\alpha\beta \end{cases}$

が成り立つ．

[証明終]

本当は，2次方程式が重解も込めて(複素数の範囲で)ちょうど2つ解を持つことを証明しなければならないのですが，これは大学数学を使わないと難しいですし，高校数学では認めている節があるので省略しています．

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の両辺を $a$ で割れば， $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ となって，2次の係数が $1$ の場合の「解と係数の関係」より $(*)$ が成り立ちます(具体的には下の「例2」参照)．

2次方程式の解と係数の関係の例1

2次方程式 $2x^2+bx+c=0$ の解が $\dfrac{1}{2}$ ， $2$ であるとする．解と係数の関係より，

$\dfrac{b}{2}=-\left(\dfrac{1}{2}+2\right)=-\dfrac{5}{2}$ ，
$\dfrac{c}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot2=1$

だから，

$b=-5$ ， $c=2$

である．よって，もとの2次方程式は $2x^2-5x+2=0$ である．

2次方程式の解と係数の関係の例2

2次方程式 $x^2+bx+1=0$ の解が $\alpha$ ， $3$ であるとする．

解と係数の関係より，

$b=-(\alpha+3)$ ， $1=3\alpha$

だから，

$\alpha=\dfrac{1}{3}$ ， $b=-\left(\dfrac{1}{3}+3\right)=-\dfrac{10}{3}$

である．よって，もとの2次方程式は $x^2-\dfrac{10}{3}x+1=0$ で，解は $\dfrac{1}{3}$ ， $3$ である．

2次方程式の解と係数の関係の例3

2次方程式 $x^2+bx+2=0$ の解が $\alpha$ ， $2\alpha$ ( $\alpha>0$ )であるとする．

解と係数の関係より，

$b=-(\alpha+2\alpha)$ ， $2=2\alpha^2$

だから，

$\alpha=1$ ， $b=-3\cdot1=-3$

である．よって，もとの2次方程式は $x^2-3x+2=0$ で，解は $1$ ， $2$ である．

2次方程式の解と係数の関係の例4

2次方程式 $x^2+2x+4=0$ の解が $\alpha$ , $\beta$ であったとする．このとき，

$2=-(\alpha+\beta),4=\alpha\beta$

である．よって，

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=(-2)^2-2\cdot4=-4$ ，
$\alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\alpha\beta(\alpha+\beta)=4\cdot(-2)=-8$

である．

3次以上の方程式の解と係数の関係

ここでは，「3次以上の方程式の解と係数の関係」について書きますが，本質は「2次方程式の解時計数の関係」と同じなので，実際に書くのは3次の場合に留めます．

実際，私はこれらを覚えているわけではなく，2次方程式の解と係数の関係と同様の方法で毎回導いています．公式の丸暗記は間違いと理解不足の元ですから，可能な限り避けてください．

[3次方程式の解と係数の関係(その1)]　3次方程式 $x^3+bx^2+cx+d=0$ が解 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ をもつとき，

$\begin{cases} b=-(\alpha+\beta+\gamma)\\ c=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\ d=-\alpha\beta\gamma \end{cases}$

が成り立つ．

2次方程式の解と係数の関係の導出と同様に，

$x^3+bx^2+cx+d=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

で右辺を展開して，

$x^3+bx^2+cx+d=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$

なので，2次の係数，1次の係数，定数項を比較して「3次方程式の解と係数の関係」が得られます．

また，3次の係数が $a$ のときは，次のように「3次方程式の解と係数の関係」が得られます．

[3次方程式の解と係数の関係(その2)]　3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ が解 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ をもつとき，

$\begin{cases} \dfrac{b}{a}=-(\alpha+\beta+\gamma)\\ \dfrac{c}{a}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\ \dfrac{d}{a}=-\alpha\beta\gamma \end{cases}$

が成り立つ．

さて，この解と係数の導出は何次の方程式に対しても有効なのが分かりますね．実際に4次方程式の場合を自分で考えてみると良いでしょう．

「解と係数の関係」は非常に強力な関係式で，さまざな場面で出現するのでしっかり押さえてください．

解と係数の関係と対称式

「解と係数の関係」を見て「他のどこかで似た式を見たぞ」とピンとくる人がいたかもしれません．

実は，[解と係数の関係]は「対称式」と相性がとても良いのです．

$x$ と $y$ を入れ替えても変わらない $x$ と $y$ の整式(多項式 or 単項式)を「 $x$ と $y$ の対称式」という．

特に $x+y$ と $xy$ を「 $x$ と $y$ の基本対称式」という．

たとえば，

$xy$ ， $x+y$ ， $x^2y+xy^2$ ， $x^3+y^3$

は全て $x$ と $y$ の対称式で， $x$ と $y$ の対称式のうちでも $xy$ ， $x+y$ をとくに「基本対称式」といいます．

これら対称式について，次の事実があります．

対称式は基本対称式の和，差，積で表せる．

これは非常に重要な定理です．

【参考記事：対称式の基本｜基本対称式を利用する】

たとえば，

$x^2y+xy^2=xy(x+y)$ ， $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

のように対称式はうまく変形すれば，必ず基本対称式 $xy$ ， $x+y$ の和，差，積で表せるわけです．

また，3文字 $x$ ， $y$ ， $z$ に関する対称式は以上についても同様に対称式を考えることができます．

$x$ と $y$ と $z$ をどのように入れ替えても変わらない $x$ と $y$ と　 $z$ の整式(多項式 or 単項式)を「 $x$ と $y$ と $z$ の対称式」という．

特に $x+y+z$ と $xy+yz+zx$ と $xyz$ を「 $x$ と $y$ と $z$ の基本対称式」という．

2文字の場合と同じく，3文字の対称式も3文字の基本対称式の和，差，積で表せます．

[解と係数の関係]は対称式の話題と相性が抜群ですから，[解と係数の関係]と同時に対称式に関する上の定理もしっかり押さえておいてください．

最後まで読んで頂きありがとうございました！ YouTubeの授業動画もあります【授業をみてみる】

式の計算の基本７｜解と係数の関係

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2次方程式の解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係の例1

2次方程式の解と係数の関係の例2

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3次以上の方程式の解と係数の関係

解と係数の関係と対称式

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