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多項式の基本９｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！

2015/11/6 2020/4/8 多項式

２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，関係式

$\begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*}$

が成り立ちます．この関係式は，

２次方程式の係数$a$, $b$, $c$
解$\alpha$, $\beta$

の関係式なので，この２つの等式を(２次方程式の)[解と係数の関係]といいます．

この[解と係数の関係]は覚えている必要はなく，考え方が分かっていればすぐに導くことができ，同様の考え方で３次以上の方程式でも[解と係数の関係]はすぐに導くことができます．

この記事では[解と係数の関係]の考え方を理解し，すぐに導けるようになることを目指します．

一連の記事はこちら

【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】
【多項式の基本２｜たすきがけ因数分解の公式の使い方】
【多項式の基本３｜２次式の最小値・最大値は平方完成が鉄板！】
【多項式の基本４｜２次方程式の[解の公式]の導出と使い方】
【多項式の基本５｜２次方程式の判別式と，２次方程式の虚数解】
【多項式の基本６｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ】
【多項式の基本７｜[多項式の割り算]を考え方から理解しよう】
【多項式の基本８｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】
【多項式の基本９｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！】←今の記事

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２次方程式の解と係数の関係

冒頭にも書きましたが，

[(２次方程式の)解と係数の関係１]　２次方程式$x^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-b,\quad \alpha\beta=c \end{align*}$

が成り立つ．

この公式は２次方程式の２次の係数が1の場合です．

一般に，２次方程式の２次の係数は1の場合に帰着させられますが，２次の係数が$a$の場合の[解と係数の関係]も書いておきましょう．

[(２次方程式の)解と係数の関係２]　２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*}$

が成り立つ．

[証明]

$\alpha$, $\beta$を2解とする２次方程式は

$\begin{align*} &(x-\alpha)(x-\beta)=0 \\\iff& x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0 \end{align*}$

と表せます．この方程式は$x$の２次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の両辺を$a$で割った

$\begin{align*} x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{align*}$

に一致するから，係数を比較して，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-b,\quad \alpha\beta=c \end{align*}$

が成り立ちます．

[証明終]

単純に$(x-\alpha)(x-\beta)$を展開すると$x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$になるので，係数を比較しただけなので瞬時に導けますね．

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x-\alpha)(x-\beta)$の両辺で係数を比較すれば，解と係数の関係が直ちに得られる．

例１

２次方程式$2x^2+bx+c=0$の解が$\dfrac{1}{2}$, 2であるとします．解と係数の関係より，

$\begin{align*} \frac{1}{2}+2=-\frac{b}{2},\quad \frac{1}{2}\cdot2=\frac{c}{2} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} b=-5,\quad c=2 \end{align*}$

となって，もとの２次方程式は$2x^2-5x+2=0$と分かります．

例２

２次方程式$x^2+bx+1=0$の解の１つが3であるとします．もう１つの解を$\alpha$とすると，解と係数の関係より，

$\begin{align*} 3+\alpha=-b,\quad 3\alpha=1 \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \alpha=\frac{1}{3},\quad b=-\bra{\dfrac{1}{3}+3}=-\frac{10}{3} \end{align*}$

である．よって，もとの２次方程式は$x^2-\dfrac{10}{3}x+1=0$で，この解は$\dfrac{1}{3}$, 3である．

例３

２次方程式$x^2+bx+2=0$の解が$\alpha$, $2\alpha$ ($\alpha>0$)であるとします．解と係数の関係より，

$\begin{align*} \alpha+2\alpha=-b,\quad 2\alpha\cdot\alpha=2 \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \alpha=1,\quad b=-3\cdot1=-3 \end{align*}$

である．よって，もとの２次方程式は$x^2-3x+2=0$で，この解は1, 2である．

例４

２次方程式$x^2+2x+4=0$の解を$\alpha$, $\beta$とする．このとき，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-2,\quad \alpha\beta=4 \end{align*}$

である．よって，例えば

$\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\=&(-2)^2-2\cdot4=-4, \\\alpha^2\beta+\alpha\beta^2 =&\alpha\beta(\alpha+\beta) \\=&4\cdot(-2)=-8 \end{align*}$

である．

３次以上の方程式の解と係数の関係

ここまでで，２次方程式の[解と係数の関係]を説明してきましたが，３次以上になっても同様の考え方で解と係数の関係が求まります．

そのため，３次以上の[解と係数の関係]も一切覚える必要はなく，考え方が分かっていればすぐに導くことができます．

[３次方程式の解と係数の関係１]　３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$が解$\alpha$, $\beta$, $\gamma$をもつとき，

$\begin{align*} &\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}, \\&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}, \\&\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \end{align*}$

が成り立つ．

２次方程式の解と係数の関係の導出と同様に，

$\begin{align*} x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \end{align*}$

で右辺を展開して，

$\begin{align*} &x^3+bx^2+cx+d \\=&x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{align*}$

なので，２次の係数，１次の係数，定数項を比較して「３次方程式の解と係数の関係」が得られます．

やはり，この[解と係数の関係]の考え方は何次の方程式に対しても有効なのが分かりますね．

「解と係数の関係」は非常に強力な関係式で，さまざな場面で出現するのでしっかり押さえてください．

解と係数の関係と対称式

「解と係数の関係」を見て「他のどこかで似た式を見たぞ」とピンとくる人がいたかもしれません．

実は，[解と係数の関係]は「対称式」と相性がとても良いのです．

$x$と$y$を入れ替えても変わらない$x$と$y$の整式(多項式 or 単項式)を「$x$と$y$の対称式」という．

特に$x+y$と$xy$を「$x$と$y$の基本対称式」という．

たとえば，

$xy$
$x+y$
$x^2y+xy^2$
$x^3+y^3$

は全て$x$と$y$の対称式で，$x$と$y$の対称式のうちでも$xy$, $x+y$をとくに「基本対称式」といいます．

これら対称式について，次の事実があります．

対称式は基本対称式の和，差，積で表せる．

たとえば，

$\begin{align*} &x^2y+xy^2=xy(x+y), \\&x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \end{align*}$

などのように対称式はうまく変形すれば，必ず基本対称式$xy$, $x+y$の和，差，積で表せるわけです．

基本対称式については，以下の記事でより詳しく説明しています．

【対称式は基本対称式から！対称式のコツを具体例から解説！】

今述べた「対称式は基本対称式の和，差，積で表せる」という定理は対称式を扱う上で基本的な定理です．具体例を用いて，対称式のコツを説明します．

また，3文字$x$, $y$, $z$に関する対称式は以上についても同様に対称式を考えることができます．

$x$と$y$と$z$をどのように入れ替えても変わらない$x$と$y$と　$z$の整式(多項式 or 単項式)を「$x$と$y$と$z$の対称式」という．特に

$x+y+z$
$xy+yz+zx$
$xyz$

を「$x$と$y$と$z$の基本対称式」という．

2文字の場合と同じく，3文字の対称式も3文字の基本対称式の和，差，積で表せます．

[解と係数の関係]は対称式の話題と相性が抜群ですから，[解と係数の関係]と同時に対称式に関する上の定理もしっかり押さえておいてください．