多項式の基本７｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が解 $\alpha$ , $\beta$ をもつとき，関係式

$\begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*}$

が成り立ちます．この関係式は，

2次方程式の係数 $a$ , $b$ , $c$
解 $\alpha$ , $\beta$

の関係式なので，この2つの等式を(2次方程式の)[解と係数の関係]といいます．

この[解と係数の関係]は覚えている必要はなく，考え方が分かっていればすぐに導くことができ，同様の考え方で3次以上の方程式でも[解と係数の関係]はすぐに導くことができます．

この記事では[解と係数の関係]の考え方を理解し，すぐに導けるようになることを目指します．

一連の記事はこちら

【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】
【多項式の基本２｜[たすきがけ因数分解]の公式のコツ】
【多項式の基本３｜[平方完成]と[２次方程式の解の公式]】
【多項式の基本４｜差がつく！３次以上の展開と因数分解の公式】
【多項式の基本５｜多項式の割り算も整数の割り算と同じ！？】
【多項式の基本６｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】
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2次方程式の解と係数の関係

冒頭にも書きましたが，

[(2次方程式の)解と係数の関係１]　2次方程式 $x^2+bx+c=0$ が解 $\alpha$ , $\beta$ をもつとき，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-b,\quad \alpha\beta=c \end{align*}$

が成り立つ．

この公式は2次方程式の2次の係数が1の場合です．

一般に，2次方程式の2次の係数は1の場合に帰着させられますが，2次の係数が $a$ の場合の[解と係数の関係]も書いておきましょう．

[(2次方程式の)解と係数の関係２]　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が解 $\alpha$ , $\beta$ をもつとき，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*}$

が成り立つ．

[証明]

$\alpha$ , $\beta$ を2解とする2次方程式は

$\begin{align*} &(x-\alpha)(x-\beta)=0 \\\iff& x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0 \end{align*}$

と表せます．この方程式は $x$ の2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の両辺を $a$ で割った

$\begin{align*} x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{align*}$

に一致するから，係数を比較して，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-b,\quad \alpha\beta=c \end{align*}$

が成り立ちます．

[証明終]

単純に $(x-\alpha)(x-\beta)$ を展開すると $x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$ になるので，係数を比較しただけなので瞬時に導けますね．

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x-\alpha)(x-\beta)$ の両辺で係数を比較すれば，解と係数の関係が直ちに得られる．

例1

2次方程式 $2x^2+bx+c=0$ の解が $\dfrac{1}{2}$ , 2であるとします．解と係数の関係より，

$\begin{align*} \frac{1}{2}+2=-\frac{b}{2},\quad \frac{1}{2}\cdot2=\frac{c}{2} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} b=-5,\quad c=2 \end{align*}$

となって，もとの2次方程式は $2x^2-5x+2=0$ と分かります．

例2

2次方程式 $x^2+bx+1=0$ の解の1つが3であるとします．もう1つの解を $\alpha$ とすると，解と係数の関係より，

$\begin{align*} 3+\alpha=-b,\quad 3\alpha=1 \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \alpha=\frac{1}{3},\quad b=-\bra{\dfrac{1}{3}+3}=-\frac{10}{3} \end{align*}$

である．よって，もとの2次方程式は $x^2-\dfrac{10}{3}x+1=0$ で，この解は $\dfrac{1}{3}$ , 3である．

例3

2次方程式 $x^2+bx+2=0$ の解が $\alpha$ , $2\alpha$ ( $\alpha>0$ )であるとします．解と係数の関係より，

$\begin{align*} \alpha+2\alpha=-b,\quad 2\alpha\cdot\alpha=2 \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \alpha=1,\quad b=-3\cdot1=-3 \end{align*}$

である．よって，もとの2次方程式は $x^2-3x+2=0$ で，この解は1, 2である．

例4

2次方程式 $x^2+2x+4=0$ の解を $\alpha$ , $\beta$ とする．このとき，

$\begin{align*} \alpha+\beta=-2,\quad \alpha\beta=4 \end{align*}$

である．よって，例えば

$\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\=&(-2)^2-2\cdot4=-4, \\\alpha^2\beta+\alpha\beta^2 =&\alpha\beta(\alpha+\beta) \\=&4\cdot(-2)=-8 \end{align*}$

である．

3次以上の方程式の解と係数の関係

ここまでで，2次方程式の[解と係数の関係]を説明してきましたが，3次以上になっても同様の考え方で解と係数の関係が求まります．

そのため，3次以上の[解と係数の関係]も一切覚える必要はなく，考え方が分かっていればすぐに導くことができます．

[3次方程式の解と係数の関係１]　3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ が解 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ をもつとき，

$\begin{align*} &\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}, \\&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}, \\&\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \end{align*}$