多項式の基本5|2次方程式の判別式と,2次方程式の虚数解

たとえば,2次方程式$x^2-2x-3=0$は$x=3,-1$と具体的に解けて実数解を2個もつことが分かります.他の場合では

  • $x^2-2x+1=0$の実数解は$x=1$の1個存在し
  • $x^2-2x+2=0$の実数解は存在しない

というように,2次方程式の実数解は2個存在するとは限りません.

結論から言えば,2次方程式の実数解の個数は0個,1個,2個のいずれかであり,この2次方程式の[実数解の個数]が簡単に求められるものとして[判別式]があります.

また,2次方程式が実数解をもたない場合にも虚数解というものを考えることができます.

この記事では,

  • 2次(方程)式の判別式
  • 虚数

について説明します.

判別式

2次方程式の実数解の個数が分かる判別式について説明します.

判別式の考え方

この記事の冒頭でも説明したように

  • $x^2-2x-3=0$の実数解は$x=3,-1$の2個存在し
  • $x^2-2x+1=0$の実数解は$x=1$の1個存在し
  • $x^2-2x+2=0$の実数解は存在しない

のでした.このように2次方程式の実数解の個数を実際に解くことなく調べられるのが判別式で,定理としては以下のようになります.

2次方程式$ax^2+bx+c=0\dots(*)$に対して,$D=b^2-4ac$とすると,次が成り立つ.

  • $D>0$と方程式$(*)$が実数解をちょうど2個もつことは同値
  • $D=0$と方程式$(*)$が実数解をちょうど1個もつことは同値
  • $D<0$と方程式$(*)$が実数解をもたないことは同値

この$b^2-4ac$を2次方程式$ax^2+bx+c=0$ (2次式$ax^2+bx+c$)の判別式といいます.

さて,この判別式$b^2-4ac$ですが,どこかで見た覚えはありませんか?

実は,この$b^2-4ac$は[2次方程式の解の公式]

\begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

の$\sqrt{\quad}$の中身ですね!

一般に,

  • $\sqrt{A}$が実数となるのは$A\geqq0$のときで
  • $A<0$のとき$\sqrt{A}$は実数とはならない

のでした.

このことから,解の公式の$\sqrt{\quad}$の中身が負のとき,すなわち$b^2-4ac<0$のときには実数解を持たないことが分かります.

一方,$b^2-4ac\geqq0$の場合には実数解を持つことになりますが,

  • $b^2-4ac=0$の場合には$\sqrt{b^2-4ac}$も$-\sqrt{b^2-4ac}$も0なので,解は

    \begin{align*}x=-\frac{b}{2a}\end{align*}

    の1つ

  • $b^2-4ac>0$の場合には$\sqrt{b^2-4ac}$と$-\sqrt{b^2-4ac}$は異なるので,解は

    \begin{align*}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}

    の2つ

となります.これで上の定理が成り立つことが分かりましたね.

具体例

それでは具体的に考えてみましょう.

以下の2次方程式の実数解の個数を求めよ.

  1. $x^2-2x+2=0$
  2. $x^2-3x+2=0$
  3. $-2x^2-x+1=0$
  4. $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$

(1) $x^2-2x+2=0$の判別式は

\begin{align*} (-2)^2-4\cdot1\cdot2 =4-8 =-4 <0 \end{align*}

なので,実数解の個数は0個です.

(2) $x^2-3x+2=0$の判別式は

\begin{align*} (-3)^2-4\cdot1\cdot2 =9-8 =1 >0 \end{align*}

なので,実数解の個数は2個です.

(3) $-2x^2-x+1=0$の判別式は

\begin{align*} (-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1 =1+8 =9 >0 \end{align*}

なので,実数解の個数は2個です.

(4) $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$の判別式は

\begin{align*} (-2\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot1 =12-12 =0 \end{align*}

なので,実数解の個数は0個です.

2次方程式の解の個数は判別式が$>0$, $=0$, $<0$どれであるかをみることで判定できる.

2次方程式の虚数解

さて,2次方程式の実数解の個数を[判別式]で判定できるようになりましたが,実数解を持たない場合に「解を持たない」と言ってしまってよいのでしょうか?

少なくとも,$b^2-4ac<0$の場合にも形式的には

\begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

と表せるので,$\sqrt{A}$が$A<0$の場合にもうまくいくように考えたいところです.

虚数

そこで,我々は以下のような数を定めます.

2乗して$-1$になる数を虚数単位といい,$i$で表す.

この定義から

\begin{align*} i^2=-1 \end{align*}

ですね.実数は2乗すると必ず0以上の実数となるので,この虚数単位$i$は実数ではない「ナニカ」ということになります.

さて,$i$を単なる文字のように考えると,たとえば

\begin{align*} (2i)^2 =2^2i^2 =4\cdot(-1) =-4 \end{align*}

ということになります.

一般に,虚数単位$i$は$i^2=-1$を満たす文字のように扱うことができ,$a+bi$ ($a$, $b$は実数,$b\neq0$)で表された数を虚数と言います.

虚数について詳しくは数学IIIで学ぶことになりますが,以下の記事は数学IIIが不要な人にも参考になる内容なので,参照してみてください.

2次方程式の虚数解

虚数単位を定めると$A<0$の場合の$\sqrt{A}$も虚数単位を用いて表すことができるので,実数解を持たない2次方程式の解を虚数として表すことができます.

次の2次方程式を解け.

  1. $x^2+1=0$
  2. $x^2+3=0$
  3. $x^2+2x+2=0$

(1) 2次方程式の解の公式より,$x^2+1=0$の解は

\begin{align*} x =&\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1} \\=&\frac{\pm\sqrt{-4}}{2} \\=&\frac{\pm2i}{2} \\=&\pm i \end{align*}

となります.なお,$i^2=-1$, $(-i)^2=-1$なので,パッと$x=\pm i$と答えることもできますね.

(2) 2次方程式の解の公式より,$x^2+3=0$の解は

\begin{align*} x =&\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} \\=&\frac{\pm\sqrt{-12}}{2} \\=&\frac{\pm2\sqrt{3}i}{2} \\=&\pm\sqrt{3}i \end{align*}

となります.なお,(1)と同様に$(\sqrt{3}i)^2=-3$, $(-\sqrt{3}i)^2=-3$なので,パッと$x=\pm\sqrt{3}i$と答えることもできますね.

(3) 2次方程式の解の公式より,$x^2+2x+2=0$の解は

\begin{align*} x =&\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} \\=&\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2} \\=&\frac{-2\pm2i}{2} \\=&-1\pm i \end{align*}

となります.ただ,これくらいであれば

\begin{align*} &x^2+2x+2=0 \\\iff&(x+1)^2=-1 \\\iff&x+1=\pm i \\\iff&x=-1\pm i \end{align*}

と平方完成して解いたほうが速いですね.

虚数解も解なので,単に「2次方程式を解け」と言われた場合には虚数解も求めてください.

実数解しか求めていなければ,誤答となるので注意してください.

$i^2=-1$を満たす虚数単位$i$を用いることで,2次方程式が実数解を持たない場合にも虚数解として解を表すことができる.

最後までありがとうございました!

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