２次方程式の判別式の考え方と，２次方程式の虚数解

たとえば，２次方程式$x^2-2x-3=0$は$x=3,-1$と具体的に解けて実数解を２個もつことが分かります．他の場合では

$x^2-2x+1=0$の実数解は$x=1$の１個存在し
$x^2-2x+2=0$の実数解は存在しない

というように，２次方程式の実数解は２個存在するとは限りません．

結論から言えば，２次方程式の実数解の個数は０個，１個，２個のいずれかであり，この２次方程式の[実数解の個数]が簡単に求められるものとして[判別式]があります．

また，２次方程式が実数解をもたない場合にも虚数解というものを考えることができます．

この記事では，

２次(方程)式の判別式
虚数

について説明します．

一連の記事はこちら

1 判別式
- 1.1 判別式の考え方
- 1.2 具体例
2 ２次方程式の虚数解
- 2.1 虚数
- 2.2 ２次方程式の虚数解

判別式

２次方程式の実数解の個数が分かる判別式について説明します．

判別式の考え方

この記事の冒頭でも説明したように

$x^2-2x-3=0$の実数解は$x=3,-1$の２個存在し
$x^2-2x+1=0$の実数解は$x=1$の１個存在し
$x^2-2x+2=0$の実数解は存在しない

のでした．このように２次方程式の実数解の個数を実際に解くことなく調べられるのが判別式で，定理としては以下のようになります．

２次方程式$ax^2+bx+c=0\dots(*)$に対して，$D=b^2-4ac$とすると，次が成り立つ．

$D>0$と方程式$(*)$が実数解をちょうど２個もつことは同値
$D=0$と方程式$(*)$が実数解をちょうど１個もつことは同値
$D<0$と方程式$(*)$が実数解をもたないことは同値

この$b^2-4ac$を２次方程式$ax^2+bx+c=0$ (２次式$ax^2+bx+c$)の判別式といいます．

さて，この判別式$b^2-4ac$ですが，どこかで見た覚えはありませんか？

実は，この$b^2-4ac$は[２次方程式の解の公式]

$\begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}$

の$\sqrt{\quad}$の中身ですね！

【次の記事：多項式の基本４｜２次方程式の解の公式と判別式】

例えば，２次方程式$x^2-2x-3=0$は左辺を因数分解して$(x-3)(x+1)=0$となるので解が$x=3,-1$と分かりますが，簡単には因数分解できない２次方程式を解くには別の方法を採る必要があります．実は，この記事で説明した[平方完成]を用いると２次方程式の解が簡単に分かる[解の公式]を導くことができます．

一般に，

$\sqrt{A}$が実数となるのは$A\geqq0$のときで
$A<0$のとき$\sqrt{A}$は実数とはならない

のでした．

このことから，解の公式の$\sqrt{\quad}$の中身が負のとき，すなわち$b^2-4ac<0$のときには実数解を持たないことが分かります．

一方，$b^2-4ac\geqq0$の場合には実数解を持つことになりますが，

$b^2-4ac=0$の場合には$\sqrt{b^2-4ac}$も$-\sqrt{b^2-4ac}$も０なので，解は
$\begin{align*}x=-\frac{b}{2a}\end{align*}$

の１つ
$b^2-4ac>0$の場合には$\sqrt{b^2-4ac}$と$-\sqrt{b^2-4ac}$は異なるので，解は
$\begin{align*}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$

の２つ

となります．これで上の定理が成り立つことが分かりましたね．

具体例

それでは具体的に考えてみましょう．

以下の２次方程式の実数解の個数を求めよ．

$x^2-2x+2=0$
$x^2-3x+2=0$
$-2x^2-x+1=0$
$3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$

(1)　$x^2-2x+2=0$の判別式は

$\begin{align*} (-2)^2-4\cdot1\cdot2 =4-8 =-4 <0 \end{align*}$

なので，実数解の個数は０個です．

(2)　$x^2-3x+2=0$の判別式は

$\begin{align*} (-3)^2-4\cdot1\cdot2 =9-8 =1 >0 \end{align*}$

なので，実数解の個数は２個です．

(3)　$-2x^2-x+1=0$の判別式は

$\begin{align*} (-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1 =1+8 =9 >0 \end{align*}$

なので，実数解の個数は２個です．

(4)　$3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$の判別式は

$\begin{align*} (-2\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot1 =12-12 =0 \end{align*}$

なので，実数解の個数は０個です．

２次方程式の解の個数は判別式が$>0$, $=0$, $<0$どれであるかをみることで判定できる．

２次方程式の虚数解

さて，２次方程式の実数解の個数を[判別式]で判定できるようになりましたが，実数解を持たない場合に「解を持たない」と言ってしまってよいのでしょうか？

少なくとも，$b^2-4ac<0$の場合にも形式的には

$\begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}$

と表せるので，$\sqrt{A}$が$A<0$の場合にもうまくいくように考えたいところです．

虚数

そこで，我々は以下のような数を定めます．

２乗して$-1$になる数を虚数単位といい，$i$で表す．

この定義から

$\begin{align*} i^2=-1 \end{align*}$

ですね．実数は２乗すると必ず０以上の実数となるので，この虚数単位$i$は実数ではない「ナニカ」ということになります．

さて，$i$を単なる文字のように考えると，たとえば

$\begin{align*} (2i)^2 =2^2i^2 =4\cdot(-1) =-4 \end{align*}$

ということになります．

一般に，虚数単位$i$は$i^2=-1$を満たす文字のように扱うことができ，$a+bi$ ($a$, $b$は実数，$b\neq0$)で表された数を虚数と言います．

虚数について詳しくは数学IIIで学ぶことになりますが，以下の記事は数学IIIが不要な人にも参考になる内容なので，参照してみてください．

【複素数１｜虚数単位って一体なに？複素数の考え方と基礎知識】

虚数単位$i$を用いて$a+bi$ ($a$, $b$は実数)で表された数は複素数と呼ばれ，実は現代の科学は複素数なしで語ることは不可能になっています．この記事では，複素数の基本を説明しています．

２次方程式の虚数解

虚数単位を定めると$A<0$の場合の$\sqrt{A}$も虚数単位を用いて表すことができるので，実数解を持たない２次方程式の解を虚数として表すことができます．

次の２次方程式を解け．

$x^2+1=0$
$x^2+3=0$
$x^2+2x+2=0$

(1)　２次方程式の解の公式より，$x^2+1=0$の解は

$\begin{align*} x =&\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1} \\=&\frac{\pm\sqrt{-4}}{2} \\=&\frac{\pm2i}{2} \\=&\pm i \end{align*}$

となります．なお，$i^2=-1$, $(-i)^2=-1$なので，パッと$x=\pm i$と答えることもできますね．

(2)　２次方程式の解の公式より，$x^2+3=0$の解は

$\begin{align*} x =&\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} \\=&\frac{\pm\sqrt{-12}}{2} \\=&\frac{\pm2\sqrt{3}i}{2} \\=&\pm\sqrt{3}i \end{align*}$

となります．なお，(1)と同様に$(\sqrt{3}i)^2=-3$, $(-\sqrt{3}i)^2=-3$なので，パッと$x=\pm\sqrt{3}i$と答えることもできますね．

(3)　２次方程式の解の公式より，$x^2+2x+2=0$の解は

$\begin{align*} x =&\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} \\=&\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2} \\=&\frac{-2\pm2i}{2} \\=&-1\pm i \end{align*}$

となります．ただ，これくらいであれば

$\begin{align*} &x^2+2x+2=0 \\\iff&(x+1)^2=-1 \\\iff&x+1=\pm i \\\iff&x=-1\pm i \end{align*}$

と平方完成して解いたほうが速いですね．

虚数解も解なので，単に「２次方程式を解け」と言われた場合には虚数解も求めてください．

実数解しか求めていなければ，誤答となるので注意してください．

$i^2=-1$を満たす虚数単位$i$を用いることで，２次方程式が実数解を持たない場合にも虚数解として解を表すことができる．

【次の記事：多項式の基本５｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ】

ここまでで２次式の扱いについて考えてきました．次の記事では，３次以上の多項式について考えていきます．まずは３次以上の多項式の展開・因数分解の公式からまとめます．