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多項式の基本3|2次関数の最小値・最大値は平方完成が鉄板!

前回と前々回の記事では2次式の因数分解を説明しましたが,そこで扱ったのは「因数分解の公式」が使える2次式であり,因数分解が難しい場合は扱いませんでした.

しかし,ときには因数分解の公式の適用が難しい場合でも因数分解しなければならないこともあります.

そのような,因数分解が難しい2次方程式を解く際には,「2次方程式の解の公式」を用いることになります.

この記事では,

  • 平方完成
  • 2次方程式の解の公式
  • 因数分解の公式が使えない2次式の因数分解

について説明します.

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平方完成

いきなりですが,たとえば次の等式が成り立ちます.

\begin{align*} &x^2+2x=(x+1)^2-1, \\&x^2+6x+1=(x+3)^2-8, \\&3x^2-6x+1=3(x-1)^2-2, \\&2x^2-2x+1=2\bra{x-\frac{1}{2}}^2+\frac{1}{2} \end{align*}

これらの等式のように,左辺の$ax^2+bx+c$ ($a\neq0$)の形の2次式を右辺の$a(x+p)^2+q$の形の式に変形することを「平方完成」といいます.

この「平方完成」は高校数学をやる限り常についてまわるので,必ずできるようにならなければなりません.

平方完成の仕組み

平方完成は次の手順を踏むことでできます.

  1. 2次の係数で,1次と2次をカッコでくくる
  2. 「1次の係数の$\dfrac{1}{2}$の2乗」をカッコの中で足し引きする
  3. 2乗にまとめる

と書いてもよくわからないと思いますので,具体例を用いて考えましょう.

平方完成の例1

$x^2+2x$を平方完成すると

\begin{align*} x^2+2x =&x^2+2x+1-1 \\=&(x^2+2x+1)-1 \\=&(x+1)^2-1 \end{align*}

となります.

1つ目の等号で1を足して引いたのは,$x^2+2x+1$が$(x+1)^2$と2乗にできるからですね.

機械的には,この1は1次の係数2を$\dfrac{1}{2}$倍して2乗して得られますね:$\bra{2\times\frac{1}{2}}^2=1$

平方完成の例2

$x^2+6x+1$を平方完成すると

\begin{align*} x^2+6x+1 =&(x^2+6x)+1 \\=&(x^2+6x+9-9)+1 \\=&(x^2+6x+9)-9+1 \\=&(x+3)^2-8 \end{align*}

となります.

2つ目の等号でカッコの中で4を足して引いたのは,$x^2+4x+4$が$(x+2)^2$と2乗にできるからですね.

機械的には,この4はカッコの1次の係数4を$\dfrac{1}{2}$倍して2乗して得られますね:$\bra{4\times\dfrac{1}{2}}^2=4$

平方完成の例3

$3x^2-6x+1$を平方完成すると

\begin{align*} 3x^2-6x+1 =&3(x^2-2x)+1 \\=&3(x^2-2x+1-1)+1 \\=&3(x^2-2x+1)-3+1 \\=&3(x-1)^2-2 \end{align*}

となります.

2つ目の等号でカッコの中で1を足して引いたのは…….もういいですね.自分で1が出せるかどうか確認してください.

平方完成の例4

$2x^2-2x+1$を平方完成すると

\begin{align*} 2x^2-2x+1 =&2(x^2-x)+1 \\=&2\bra{x^2-x+\dfrac{1}{4}-\frac{1}{4}}+1 \\=&2\bra{x^2-x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}+1 \\=&2\bra{x-\frac{1}{2}}^2+\dfrac{1}{2} \end{align*}

となります.「足して引く数」が分数になっても間違えずにできるようになってください.

平方完成は基本的なツールである.確実に使えるようにする.

2次関数のグラフと最大値・最小値

平方完成を用いると,たとえば

  • 2次式$x^2-4x+1$の最小値
  • 2次式$-x^2-x$の最大値

といったものを求められるようになります.

2時間数のグラフ(放物線)

中学校では,2次関数$y=ax^2$が$xy$平面上の原点を頂点とする放物線を描くことを学びましたが,実は1次の項,定数項が加えられた2次関数$y=ax^2+bx+c$も放物線を描きます.

2次関数$y=ax^2+bx+c$の$xy$平面上のグラフは放物線である.さらに,$a>0$なら下に凸,$a<0$なら上に凸である.

これは2次関数$y=ax^2$が$xy$平面上の原点を頂点とする放物線を描くことを用いると,以下のように説明できます.

$ax^2+bx+c$は

\begin{align*} ax^2+bx+c =a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2-\frac{b^2}{4a}+c \end{align*}

と平方完成できます.つまり,任意の2次式は$a(x-p)^2+q$の形に変形できます.

このとき,$y=a(x-p)^2+q$のグラフは原点を頂点とする$y=ax^2$を

  • $x$軸方向にちょうど$+p$
  • $y$軸方向にちょうど$+q$

平行移動したグラフになるので,$y=a(x-p)^2+q$のグラフは点$(p,q)$を頂点とする放物線となります.

また,$y=ax^2$が描く放物線は

  • $a>0$なら下に凸
  • $a<0$なら上に凸

なので,これを平行移動したグラフを描く$y=a(x-p)^2+q$でも同じとなりますね.

[1] $a>0$のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[2] $a<0$のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

ここで大切なことは,2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは平方完成をすれば描くことができるという点です.

なお,証明の中ではグラフの平行移動を考えていますが,グラフの平行移動については以下の記事で詳しく説明しています.

2次式の最大値と最小値

グラフを描くことができるということは,最小値・最大値もグラフから読み取ることができるということになります.

以下の2次関数のグラフを描き,[ ]の中のものを求めよ.

  1. $y=x^2-2x+2$ [最小値]
  2. $y=-\dfrac{1}{2}x^2-x$ [最大値]

(1) 平方完成により

\begin{align*} x^2-2x+2 =(x-1)^2+1 \end{align*}

となるので,$y=x^2-2x+2$のグラフは

  • 頂点$(1,1)$
  • 下に凸

の放物線となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,$x=1$のときに最小値$y=1$をとる.

(2) 平方完成により

\begin{align*} -\frac{1}{2}x^2-x =-\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{1}{2} \end{align*}

となるので,$y=-\dfrac{1}{2}x^2-x$のグラフは

  • 頂点$\bra{-1,\dfrac{1}{2}}$
  • 下に凸

の放物線となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,$x=-1$のときに最大値$y=\dfrac{1}{2}$をとる.

このように,関数の取りうる値の範囲(最大値・最小値)を考えるときにはグラフを描くのが大切で,とくに2次関数の場合には平方完成によってグラフを描くことができるわけですね.

最後までありがとうございました!

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