２次関数の最小値・最大値を求めるには平方完成が鉄板！

前回と前々回の記事では２次式の因数分解を説明しましたが，そこで扱ったのは「因数分解の公式」が使える２次式であり，因数分解が難しい場合は扱いませんでした．

しかし，ときには因数分解の公式の適用が難しい場合でも因数分解しなければならないこともあります．

そのような，因数分解が難しい２次方程式を解く際には，「２次方程式の解の公式」を用いることになります．

この記事では，

平方完成
２次方程式の解の公式
因数分解の公式が使えない２次式の因数分解

について説明します．

一連の記事はこちら

1 平方完成
2 ２次関数のグラフと最大値・最小値
- 2.1 ２時間数のグラフ(放物線)
- 2.2 ２次式の最大値と最小値

平方完成

いきなりですが，たとえば次の等式が成り立ちます．

$\begin{align*} &x^2+2x=(x+1)^2-1, \\&x^2+6x+1=(x+3)^2-8, \\&3x^2-6x+1=3(x-1)^2-2, \\&2x^2-2x+1=2\bra{x-\frac{1}{2}}^2+\frac{1}{2} \end{align*}$

これらの等式のように，左辺の$ax^2+bx+c$ ($a\neq0$)の形の２次式を右辺の$a(x+p)^2+q$の形の式に変形することを「平方完成」といいます．

この「平方完成」は高校数学をやる限り常についてまわるので，必ずできるようにならなければなりません．

平方完成の仕組み

平方完成は次の手順を踏むことでできます．

２次の係数で，１次と２次をカッコでくくる
「１次の係数の$\dfrac{1}{2}$の２乗」をカッコの中で足し引きする
２乗にまとめる

と書いてもよくわからないと思いますので，具体例を用いて考えましょう．

平方完成の例１

$x^2+2x$を平方完成すると

$\begin{align*} x^2+2x =&x^2+2x+1-1 \\=&(x^2+2x+1)-1 \\=&(x+1)^2-1 \end{align*}$

となります．

１つ目の等号で１を足して引いたのは，$x^2+2x+1$が$(x+1)^2$と２乗にできるからですね．

機械的には，この１は１次の係数２を$\dfrac{1}{2}$倍して２乗して得られますね：$\bra{2\times\frac{1}{2}}^2=1$

平方完成の例２

$x^2+6x+1$を平方完成すると

$\begin{align*} x^2+6x+1 =&(x^2+6x)+1 \\=&(x^2+6x+9-9)+1 \\=&(x^2+6x+9)-9+1 \\=&(x+3)^2-8 \end{align*}$

となります．

２つ目の等号でカッコの中で４を足して引いたのは，$x^2+4x+4$が$(x+2)^2$と２乗にできるからですね．

機械的には，この４はカッコの１次の係数４を$\dfrac{1}{2}$倍して２乗して得られますね：$\bra{4\times\dfrac{1}{2}}^2=4$

平方完成の例３

$3x^2-6x+1$を平方完成すると

$\begin{align*} 3x^2-6x+1 =&3(x^2-2x)+1 \\=&3(x^2-2x+1-1)+1 \\=&3(x^2-2x+1)-3+1 \\=&3(x-1)^2-2 \end{align*}$

となります．

２つ目の等号でカッコの中で１を足して引いたのは……．もういいですね．自分で１が出せるかどうか確認してください．

平方完成の例４

$2x^2-2x+1$を平方完成すると

$\begin{align*} 2x^2-2x+1 =&2(x^2-x)+1 \\=&2\bra{x^2-x+\dfrac{1}{4}-\frac{1}{4}}+1 \\=&2\bra{x^2-x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}+1 \\=&2\bra{x-\frac{1}{2}}^2+\dfrac{1}{2} \end{align*}$

となります．「足して引く数」が分数になっても間違えずにできるようになってください．

平方完成は基本的なツールである．確実に使えるようにする．

２次関数のグラフと最大値・最小値

平方完成を用いると，たとえば

２次式$x^2-4x+1$の最小値
２次式$-x^2-x$の最大値

といったものを求められるようになります．

２時間数のグラフ(放物線)

中学校では，２次関数$y=ax^2$が$xy$平面上の原点を頂点とする放物線を描くことを学びましたが，実は１次の項，定数項が加えられた２次関数$y=ax^2+bx+c$も放物線を描きます．

２次関数$y=ax^2+bx+c$の$xy$平面上のグラフは放物線である．さらに，$a>0$なら下に凸，$a<0$なら上に凸である．

これは２次関数$y=ax^2$が$xy$平面上の原点を頂点とする放物線を描くことを用いると，以下のように説明できます．

$ax^2+bx+c$は

$\begin{align*} ax^2+bx+c =a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2-\frac{b^2}{4a}+c \end{align*}$

と平方完成できます．つまり，任意の２次式は$a(x-p)^2+q$の形に変形できます．

このとき，$y=a(x-p)^2+q$のグラフは原点を頂点とする$y=ax^2$を

$x$軸方向にちょうど$+p$
$y$軸方向にちょうど$+q$

平行移動したグラフになるので，$y=a(x-p)^2+q$のグラフは点$(p,q)$を頂点とする放物線となります．

また，$y=ax^2$が描く放物線は

$a>0$なら下に凸
$a<0$なら上に凸

なので，これを平行移動したグラフを描く$y=a(x-p)^2+q$でも同じとなりますね．

[1]　$a>0$のとき

[2]　$a<0$のとき

ここで大切なことは，２次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは平方完成をすれば描くことができるという点です．

なお，証明の中ではグラフの平行移動を考えていますが，グラフの平行移動については以下の記事で詳しく説明しています．

【図形と方程式２｜「方程式が表すグラフ」ってそもそも何？】

先ほどから$y=ax^2+bx+c$の描く「グラフ」などと書いていますが，「グラフ」がそもそも何なのか正確に言えるでしょうか？この記事では，「方程式が描くグラフ」を考え方から説明します．

２次式の最大値と最小値

グラフを描くことができるということは，最小値・最大値もグラフから読み取ることができるということになります．

以下の２次関数のグラフを描き，[　]の中のものを求めよ．

$y=x^2-2x+2$　[最小値]
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-x$　[最大値]

(1)　平方完成により

$\begin{align*} x^2-2x+2 =(x-1)^2+1 \end{align*}$

となるので，$y=x^2-2x+2$のグラフは

頂点$(1,1)$
下に凸

の放物線となります．

よって，$x=1$のときに最小値$y=1$をとる．

(2)　平方完成により

$\begin{align*} -\frac{1}{2}x^2-x =-\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{1}{2} \end{align*}$

となるので，$y=-\dfrac{1}{2}x^2-x$のグラフは

頂点$\bra{-1,\dfrac{1}{2}}$
下に凸

の放物線となります．

よって，$x=-1$のときに最大値$y=\dfrac{1}{2}$をとる．

このように，関数の取りうる値の範囲(最大値・最小値)を考えるときにはグラフを描くのが大切で，とくに２次関数の場合には平方完成によってグラフを描くことができるわけですね．

【次の記事：多項式の基本４｜２次方程式の解の公式と判別式】

例えば，２次方程式$x^2-2x-3=0$は左辺を因数分解して$(x-3)(x+1)=0$となるので解が$x=3,-1$と分かりますが，簡単には因数分解できない２次方程式を解くには別の方法を採る必要があります．実は，この記事で説明した[平方完成]を用いると２次方程式の解が簡単に分かる[解の公式]を導くことができます．