イメージが分かれば[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！

３次以上の多項式の因数分解を考えるとき，公式が使えれば簡単ですが，公式を適用できないことも多くあります．

その場合には[因数定理]による因数分解を考えるのが定石です．

[因数定理]は決して難しいものではなく，一度分かってしまえばアタリマエにすら思えるものです．

また，似た定理に[剰余の定理]があり，[因数定理]のイメージがつかめていれば，[剰余の定理]も同様に考えることができやはり当たり前に思えることでしょう．

この記事では

因数定理
剰余の定理

を説明します．

一連の記事はこちら

【多項式の基本１｜「展開」と「因数分解」の４つの基本公式】
【多項式の基本２｜たすきがけ因数分解の公式の使い方】
【多項式の基本３｜２次式の最小値・最大値は平方完成が鉄板！】
【多項式の基本４｜２次方程式の[解の公式]の導出と使い方】
【多項式の基本５｜２次方程式の判別式と，２次方程式の虚数解】
【多項式の基本６｜３次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ】
【多項式の基本７｜[多項式の割り算]を考え方から理解しよう】
【多項式の基本８｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】←今の記事
【多項式の基本９｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！】

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因数定理

まず，確認しておきたいのは次の[事実1]です．

[事実１]　多項式$f(x)$と定数$a$を考える．$f(x)$が$x-a$を因数にもつとき，$f(a)=0$となる．

言い換えれば，多項式$g(x)$を用いて

$\begin{align*} f(x)=(x-a)g(x) \end{align*}$

と表せるとき，$f(a)=0$となる．

たとえば，$f(x)=(x-1)(x^2+x+1)$のとき，$x=1$で$x-1=0$となるので$f(1)=0$ですね．

このように，「$f(x)=(x-a)g(x)$と表せていれば$f(a)=0$となる」という[事実１]はアタリマエですね．

さて，[因数定理]はこの[事実１]の逆です．

[因数定理]　多項式$f(x)$と定数$a$を考える．$f(a)=0$となるとき，$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

多項式$f(x)$に$a$を代入して0になるなら，そりゃあ$f(x)$は$x-a$を因数にもっていそうですよね．

[因数定理]はただこれだけのことなのです．

「多項式$f(x)$が$f(x)=(x-a)g(x)$と表せるなら，$f(a)=0$が成り立つ」は当たり前である．この逆の「多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすなら，$f(x)=(x-a)g(x)$と表せる」が[因数定理]である．

因数定理の例１

３次以上の多項式を因数分解するときは，最初に公式で因数分解できないかを考えます．

【前々回の記事：多項式の基本４｜差がつく！３次以上の展開と因数分解の公式】

３次以上の多項式に対しても，いくつか展開/因数分解の公式があります．前々回の記事では，３次以上の多項式に使える展開/因数分解の公式をまとめました．

それでも，公式を使って因数分解できない時には，因数定理を使うのが定石です．

$x^3-6x^2+11x-6$を因数分解します．この３次式に$x=1$を代入すると，

$\begin{align*} 1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=1-6+11-6=0 \end{align*}$

となるので，[因数定理]より$x^3-6x^2+11x-6$は$x-1$を因数にもつことが分かります．

$x^3+4x^2-5$を$x-1$で割ると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &&x^2&-5x&-6&\\ \cline{2-6} x-1&\!\!\!\big)&x^3&-6x^2&11x&-6\\ &&x^3&-x^2&&\\ \cline{2-6} &&&-5x^2&11x&-6\\ &&&-5x^2&5x&\\ \cline{2-6} &&&&6x&-6\\ &&&&6x&-6\\ \cline{2-6} &&&&&0 \end{matrix} \end{align*}$

なので，商は$x^2-5x-6$，余りは0となります(既に$x-1$を因数にもつことが分かっているので，余りが0なのは当たり前です)．すなわち，

$\begin{align*} x^3-6x^2+11x-6=(x^2-5x-6)(x-1) \end{align*}$

が成り立ちます．

【前回の記事：多項式の基本５｜多項式の割り算も整数の割り算と同じ！？】

例えば，小学校では割り算は$7\div3=2\dots1$のように表します．しかし，この表し方は数学的には使いづらく，数学的には$7=3\times2+1$と表します．多項式の割り算もこの整数の割り算と同じ考え方に基づいています．

さらに，２次式$x^2-5x-6$は

$\begin{align*} x^2-5x-6=(x-3)(x-2) \end{align*}$

と因数分解できます．したがって，

$\begin{align*} x^3-6x^2+11x-6=(x-3)(x-2)(x-1) \end{align*}$

が得られます．

因数定理の例２

$3x^3-7x^2-7x+3$を因数分解します．この３次式に$x=-1$を代入すると，

$\begin{align*} 3\cdot(-1)^3-7\cdot(-1)^2-7\cdot(-1)+3=-3-7+7+3=0 \end{align*}$

となるので，[因数定理]より$3x^3-7x^2-7x+3$は$x+1$を因数にもつことが分かります．$3x^3-7x^2-7x+3$を$x+1$で割ると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &&3x^2&-10x&3&\\ \cline{2-6} x+1&\!\!\!\big)&3x^3&-7x^2&-7x&3\\ &&3x^3&3x^2&&\\ \cline{2-6} &&&-10x^2&-7x&3\\ &&&-10x^2&-10x&\\ \cline{2-6} &&&&3x&3\\ &&&&3x&3\\ \cline{2-6} &&&&&0 \end{matrix} \end{align*}$

なので，

$\begin{align*} 3x^3-7x^2-7x+3=(3x^2-10x+3)(x+1) \end{align*}$

です．さらに，２次式$x^2-5x-6$は次のように因数分解できます．

$\begin{align*} 3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3) \end{align*}$

したがって，

$\begin{align*} 3x^3-7x^2-7x+3=(3x-1)(x-3)(x+1) \end{align*}$

が分かります．

$f(a)=0$となる数$a$を具体的に見つけることで，[因数定理]から$f(x)$が$x-a$を因数にもつことが分かる．

因数定理の証明

[因数定理]の証明はとても簡単で，多項式の割り算が分かっていればすぐに導出できます．

[因数定理(再掲)]　多項式$f(x)$と定数$a$に対して$f(a)=0$となるとき，$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

[証明]

$f(x)$を$x-a$で割った商を$g(x)$とし，余りを$c$とする(１次式で割った余りは定数となるから，$c$は定数である)．このとき，

$\begin{align*} f(x)=(x-a)g(x)+c \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} 0=f(a)=(a-a)g(a)+c=c \end{align*}$

となって，$c=0$を得る．よって，$f(x)=(x-a)g(x)$が成り立つ．すなわち，$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

[証明終]

剰余の定理

次に，[剰余の定理]の説明に移ります．

[因数定理]は，以下の当たり前な[事実１]の逆なのでした．

[事実１]　多項式$f(x)$と定数$a$を考える．$f(x)$が$x-a$を因数にもつとき，$f(a)=0$となる．

言い換えれば，多項式$g(x)$を用いて

$\begin{align*} f(x)=(x-a)g(x) \end{align*}$

と表せるとき，$f(a)=0$となる．

この[事実１]と同様に，以下の[事実２]も当たり前です．

[事実２]　多項式$f(x)$と定数$a$, $c$を考える．$f(x)$を$x-a$で割った余りが$c$であるとき，$f(a)=c$となる．

言い換えれば，多項式$g(x)$を用いて

$\begin{align*} f(x)=(x-a)g(x)+c \end{align*}$

と表せるとき，$f(a)=c$となる．

[事実１]と[事実２]の違いは，余りが0なのか$c$なのかという点ですね．

そして，[因数定理]が[事実1]の逆であったように，[剰余の定理]は[事実2]の逆です．

[剰余の定理]　多項式$f(x)$と定数$a$, $c$を考える．$f(a)=c$となるとき，$f(x)$を$x-a$で割った余りは$c$である．

[事実１]と[因数定理]の関係と，[事実２]と[剰余の定理]の関係が同じであることが納得できるでしょうか？

さて，１次式で割ったときの余りを求める問題では「剰余の定理」は非常に強力な武器になります．

実際に多項式の割り算をして余りを求めるのと，[剰余の定理]を用いてあまりを求めるのとでは天と地ほどのスピードの差が出ます．

「多項式$f(x)$が$f(x)=(x-a)g(x)+c$と表せるなら，$c=f(a)$が成り立つ」は当たり前である．一方，この逆の「多項式$f(x)$が$f(a)=c$を満たすなら，$f(x)=(x-a)g(x)+c$と表せる」が[剰余の定理]である．

剰余の定理の例１

$x^3-6x^2+4x+3$を$x-5$で割った余りは，[剰余の定理]より，

$\begin{align*} 5^3-6\cdot5^2+4\cdot5+3=125-150+20+3=-2 \end{align*}$

と分かります．

[剰余の定理]を使わなくても，具体的に$x^3-6x^2-4x+3$を$x-5$で割って

$\begin{align*} x^3-6x^2+4x+3=(x-5)(x^2-x-1)-2 \end{align*}$

となることから，余りが$-2$であることは分かりますが，余りを求めるだけなら代入してすぐに求まる[剰余の定理]がいかに強力か分かりますね．

剰余の定理の例２

$3x^4-4x^2-2x+7$を$x-2$で割った余りは，[剰余の定理]より，

$\begin{align*} 3\cdot2^4-4\cdot2^2-2\cdot2+7=48-16-4+7=35 \end{align*}$

である．

多項式を１次式で割ったときの余りを求める際には，[剰余の定理]が非常に強力である．

剰余の定理の証明

[剰余の定理]は[因数定理]を用いれば，簡単に証明できます．

[剰余の定理(再掲)]　多項式$f(x)$と定数$a$, $c$に対して$f(a)=c$となるとき，$f(x)$を$x-a$で割った余りは$c$である．

[証明]

$F(x)=f(x)-f(a)$とする．

$F(a)=f(a)-f(a)=0$だから，[因数定理]より$F(x)$は$x-a$を因数にもつ．よって，$F(x)=(x-a)g(x)$が成り立つ．左辺は$f(x)-f(a)$だから，$f(a)$を移項して

$\begin{align*} f(x)-f(a)=(x-a)g(x) \end{align*}$

となるから，$f(a)$を移項して$f(x)=(x-a)g(x)+f(a)$を得る．

すなわち，$f(x)$を$x-a$で割った余りは$f(a)$である．

[証明終]

要は，[剰余の定理]は$f(x)-f(a)$に[因数定理]を適用した場合に相当するというわけですね．

因数定理と剰余の定理の関係

この記事では

先に[因数定理]を証明し，[因数定理]を用いて[剰余の定理]を証明しましたが，
[剰余の定理]を先に証明し，[剰余の定理]を用いて[因数定理]を証明することも

できます．

おまけとして，[剰余の定理]→[因数定理]の順の証明を書いて終わります．

[剰余の定理(再掲)]　多項式$f(x)$と定数$a$, $c$に対して$f(a)=c$となるとき，$f(x)$を$x-a$で割った余りは$c$である．

[証明]

$f(x)$を$x-a$で割った商を$g(x)$とし，余りを$b$とする．このとき，

$\begin{align*} f(x)=(x-a)g(x)+b \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} c=f(a)=(a-a)g(a)+b=b \end{align*}$

となって，$c=f(a)$を得る．よって，$f(x)=(x-a)g(x)+f(a)$が成り立つ．すなわち，$f(x)$を$x-a$で割った余りは$f(a)$である．

[証明終]

次に，[剰余の定理]を用いて[因数定理]を証明します．

[因数定理(再掲)]　多項式$f(x)$と定数$a$に対して$f(a)=0$となるとき，$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

[証明]

[剰余の定理]から，$f(x)$を$x-a$で割った余りは$f(a)$なので，$f(a)=0$のときは$f(x)$を$x-a$で割った余りは0となる．

すなわち，$f(a)=0$のときは$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

[証明終]

要は，[因数定理]は[剰余の定理]の余りが0の場合に相当するというわけですね．

このことが分かっていれば，[剰余の定理]も[因数定理]が密接に関わっていることが納得できますね．

[剰余の定理]は$f(x)-f(a)$に[因数定理]を適用した場合に相当する．一方，[因数定理]は[剰余の定理]の余りが0の場合に相当する．

すなわち，[因数定理]と[剰余の定理]は同じことを述べている．

【次の記事：多項式の基本７｜[解と係数の関係]は覚える必要なし！】

２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，[解と係数の関係]とよばれる$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$, $\alpha\beta=\frac{c}{a}$が成り立ちますが，このことは覚えていなくても瞬時に導けます．同様に，３次以上の方程式でも[解と係数の関係]は覚える必要はありません．