因数定理・剰余の定理は当たり前！考え方と具体例から理解する

３次以上の多項式の因数分解を考えるとき，因数分解公式が使えない場合は因数定理を用いるのが定石です．

因数定理という名前を聞くと難しそうに感じてしまうかも知れませんが，実は因数定理はほとんど当たり前と言ってよいような定理です．

また，因数定理の兄弟姉妹のような定理として剰余の定理があります．

剰余の定理は「多項式$f(x)$を１次式$x-a$で割ったときの余り」がすぐに求められる定理で，やはり剰余の定理もほとんど当たり前の定理です．

この記事では

因数定理の考え方と証明
因数定理の具体例
剰余の定理の考え方と証明
剰余の定理の具体例

を具体例とともに順に説明します．

「多項式」の一連の記事

因数定理の考え方と証明
1. 因数定理の考え方
2. 因数定理の内容と証明
因数定理の具体例
1. 具体例１（${x^3-6x^2+11x-6}$）
2. 具体例２（${3x^3-7x^2-7x+3}$）
剰余の定理の考え方と証明
1. 剰余の定理の考え方と内容
2. 剰余の定理の証明
剰余の定理の具体例
1. 具体例１（$x^3-6x^2+4x+3$を$x-5$で割った余り）
2. 具体例２（${3x^4-4x^2-2x+7}$を$x-2$で割った余り）
発展（因数定理と剰余の定理の関係）
1. 因数定理を用いた剰余の定理の証明
2. 剰余の定理を用いた因数定理の証明

因数定理の考え方と証明

まずは因数定理の考え方を説明し，定理の内容と証明を紹介します．

因数定理の考え方

多項式$f(x)$が

$\begin{align*}f(x)=(x-1)(x^2+x+1)\end{align*}$

と因数分解できたとき，$x=1$のとき$x-1$が０となることから$f(1)=0$ですね．

同様に考えれば，次の［事実１］が成り立ちますね．

［事実１］$a$を定数とする．多項式$f(x)$が$x-a$を因数に持つとき，$f(a)=0$が成り立つ．

「多項式$f(x)$が$f(x)=(x-a)g(x)$（$g(x)$は多項式）の形に因数分解できるとき，$f(a)=0$が成り立つ」と言っても同じことですね．

それでは，この逆は成り立つでしょうか．つまり，多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすなら，$f(x)$は$x-a$を因数にもつでしょうか．

言い換えれば，多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすにもかかわらず，$f(x)=(x-a)g(x)$（$g(x)$は多項式）と表せないことはあるでしょうか．

このように考えると，$f(x)=(x-a)g(x)+b$（$b\neq0$）となっていれば，$f(a)=0$とはならなさそうですから，逆も正しそうですね．

この［事実１］の逆を因数定理といいます．

因数定理の内容と証明

［因数定理］$a$を定数とする．多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすとき，$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

一般に多項式を１次式で割った余りは定数なので，

$\begin{align*}f(x)=(x-a)g(x)+b\end{align*}$

とおける．すなわち，多項式$f(x)$を$x-a$で割った商を多項式$g(x)$，余りを定数$b$とおける．

このとき，仮定$f(a)=0$より

$\begin{align*}0=f(a)=(a-a)g(a)+b=b\end{align*}$

となって$b=0$を得る．よって，$f(x)=(x-a)g(x)$が成り立ち，$f(x)$は$x-a$を因数にもつ．

確かに，もし$f(x)=(x-a)g(x)+b$となる０でない実数$b$が存在すれば，$f(a)=0$となりませんから因数定理が成り立つことは成り立つことは当たり前に思えますね．

因数定理の具体例

具体的に３次多項式を因数定理を用いて因数分解してみましょう．

具体例１（${x^3-6x^2+11x-6}$）

$x^3-6x^2+11x-6$を因数分解せよ．

実際に$x$にいろいろ数を代入してみて，０となるような数$a$を見つけることができれば，因数定理から$x-a$を因数に持つことが分かります．

この場合は$x=1$で０となることが分かるので，因数定理から$x-1$を因数に持つことが分かります．

この３次式に$x=1$を代入すると

$\begin{align*}1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=1-6+11-6=0\end{align*}$

となるから，因数定理より$x^3-6x^2+11x-6$は$x-1$を因数にもつ．

$x^3+4x^2-5$を$x-1$で割ると，多項式の割り算の筆算より

$\begin{align*}\begin{matrix} &&x^2&-5x&-6&\\ \cline{2-6} x-1&\!\!\!\big)&x^3&-6x^2&11x&-6\\ &&x^3&-x^2&&\\ \cline{2-6} &&&-5x^2&11x&-6\\ &&&-5x^2&5x&\\ \cline{2-6} &&&&6x&-6\\ &&&&6x&-6\\ \cline{2-6} &&&&&0 \end{matrix}\end{align*}$

なので，商は$x^2-5x-6$，余りは０である．すなわち，

$\begin{align*}x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x-6)\end{align*}$

が成り立つ．さらに，２次式$x^2-5x-6$は

$\begin{align*}x^2-5x-6=(x-3)(x-2)\end{align*}$

と因数分解できるから，以上をまとめて

$\begin{align*}x^3-6x^2+11x-6=(x-3)(x-2)(x-1)\end{align*}$

を得る．

因数定理から$x^3+4x^2-5$は$x-1$を因数にもつことが既に分かっているので，$x^3+4x^2-5$を$x-1$で割ったときの余りが０となるのは当たり前ですね．

具体例２（${3x^3-7x^2-7x+3}$）

次の問題も考え方は具体例１と全く同じで，実際に$x$に数を代入して$0$になるものを見つけましょう．

$3x^3-7x^2-7x+3$を因数分解せよ．

この３次式に$x=-1$を代入すると，

$\begin{align*}3\cdot(-1)^3-7\cdot(-1)^2-7\cdot(-1)+3=-3-7+7+3=0\end{align*}$

となるから，因数定理より$3x^3-7x^2-7x+3$は$x+1$を因数にもつ．

$3x^3-7x^2-7x+3$を$x+1$で割ると，多項式の割り算の筆算より

$\begin{align*}\begin{matrix} &&3x^2&-10x&3&\\ \cline{2-6} x+1&\!\!\!\big)&3x^3&-7x^2&-7x&3\\ &&3x^3&3x^2&&\\ \cline{2-6} &&&-10x^2&-7x&3\\ &&&-10x^2&-10x&\\ \cline{2-6} &&&&3x&3\\ &&&&3x&3\\ \cline{2-6} &&&&&0 \end{matrix}\end{align*}$