多項式の基本５｜多項式の割り算

【多項式の基本４｜３次以上の展開と因数分解の公式】の続きです．

前回までで公式を用いた因数分解について書きました．

因数分解をするための方法として，公式を用いることは一つの重要な方法ですが，もう1つ「因数定理」を用いることは因数分解をするための重要な方法です．

因数定理を用いるためには，多項式の扱いにある程度慣れておく必要があります．特に，多項式の扱いの基本として，「多項式の割り算」が挙げられます．

その準備のために，この記事では多項式の割り算について説明します．

この記事では，「整数の割り算」との対応関係を気にしつつ「多項式の割り算」について説明します．

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1 解説動画
2 整数の割り算
3 多項式の割り算
4 多項式の割り算の計算
5 多項式の割り算の筆算の仕組み

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整数の割り算

小学校では「 $7\div3=2$ あまり1」と習います．割り算を習いたての小学生にとっては，余りのある割り算はこのように表すものですが，数学的にみればあまり良くない表記です．

数学的には「 $7\div3=2$ あまり1」を次のように書きます．

$7=3\times2+1$

言葉で書くと，「7は $3\times2$ よりも1大きい」ということですね．一つの完全な等式になり，「～あまり……」という表記よりも扱いやすくなりました．

これを踏まえて，次のように定義されます．

[整数の割り算]　正の整数 $a$ ， $b$ に対し，

$a=Pb+Q$
$0\leqq Q<b$

を満たす整数 $P$ ， $Q$ をそれぞれ「 $a$ を $b$ で割った商」，「 $a$ を $b$ で割った余り」という．

$a$ は0以下の整数でも構わないのですが，簡単のため正の整数としています．

また， $Q<b$ というのは，余り $Q$ が割る数 $b$ より大きくてはマズイということで，具体的には $7\div3=1$ あまり4というのがマズイということです．

この「整数の割り算」の考え方を「多項式の割り算」に適用してみようというのが次の節です．

「整数の割り算」は等式で表すことができる．

多項式の割り算

この節では「多項式の割り算」をどのように考えれば良いかについて説明します．

なお，正確には「多項式の割り算」ではなく「整式の割り算」と書くべきですが，「整数」と「整式」の読み間違いを防ぐ意味で「多項式」を用いています．なので，この記事では「単項式」も「多項式」に含んでいます．

「多項式の割り算」の考え方は「整数の割り算」と似ていて，多項式の割り算の商と余りも次のように定義します．

[多項式の割り算]　0でない多項式 $f(x)$ ， $g(x)$ に対し，

$f(x)=P(x)g(x)+Q(x)$
( $Q(x)$ の次数) $<$ ( $g(x)$ の次数)

を満たす多項式 $P(x)$ ， $Q(x)$ をそれぞれ「 $f(x)$ を $g(x)$ で割った商」，「 $f(x)$ を $g(x)$ で割った余り」という．

例えば， $2x^3-x^2-6$ を $x^2+x+1$ で割ったときの「商」と「余り」を求めたいなら，

$2x^3-x^2-6=(2x-3)(x^2+x+1)+x-3$

となることから，「商」は $2x-3$ で「余り」は $x-3$ となります．

なぜこのように計算できるのかは，この後の「多項式の割り算の計算」で解説します．

[多項式の割り算]の定義の2にもあるように，大切なことは「余り」 $x-3$ の次数が「割る式」 $x^2+x+1$ の次数より小さくなっていることです．

例えば，

$2x^3-x^2-6=2x(x^2+x+1)-3x^2-2x-6$

というのも正しい式ですが，「余り(??)」 $-3x^2-2x-6$ の次数が「割る式」 $x^2+x+1$ の次数より小さくなっていないので， $2x$ は商でなく $-3x^2-2x-6$ も余りではないのです．

これは， $7=3\times2+1$ から「7を3で割った商が2，余りが1」が正しいところで， $7=3\times1+4$ から「7を3で割った商が1，余りが4」と言っているのと同じで，割り切れていないのです．

どこまで割れるかということはいつでも意識しておいてください．

「多項式の割り算」も最後まで割り切ることが大切である．

多項式の割り算の計算

実際に「多項式の割り算」を計算します．「多項式の割り算」をする方法として「筆算」があります．

次の3つの例を考えます．

$2x^3-x^2-6$ を $x^2+x+1$ で割った商と余りを求めよ．
$x^3+2x^2+2x+3$ を $x+1$ で割った商と余りを求めよ．
$3x^4+x^3-2x^2+x+2$ を $x^2-x+3$ で割った商と余りを求めよ．

筆算の例1

$2x^3-x^2-6$ を $x^2+x+1$ で割った商と余りを求めます．

Step.1

$x^2+x+1$ に $2x$ をかければ $2x^3+2x^3+2x$ となるので， $2x^3-x^2-6$ から引くと $-3x^2-2x-6$ となります．

$\begin{matrix} &&&&2x&& \\ \cline{2-6} x^2+x+1&\!\!\!\big)&2x^3&-x^2&&-6&\\ &&2x^3&2x^2&2x&&\leftarrow&(x^2+x+1)\times 2x\\ \cline{2-6} &&&-3x^2&-2x&-6& \end{matrix}$

Step.2

$x^2+x+1$ に $-3$ をかければ $-3x^3-3x^3-3x$ となるので， $-3x^2-2x-6$ から引くと $x-3$ となります．

$\begin{matrix} &&&&2x&-3& \\ \cline{2-6} x^2+x+1&\!\!\!\big)&2x^3&-x^2&&-6&\\ &&2x^3&2x^2&2x&&\leftarrow&(x^2+x+1)\times 2x\\ \cline{2-6} &&&-3x^2&-2x&-6&\\ &&&-3x^2&-3x&-3&\leftarrow&(x^2+x+1)\times (-3)\\ \cline{2-6} &&&&x&-3& \end{matrix}$

下に染み出してきた「 $x-3$ の次数」は「 $x^2+x+1$ の次数」より小さいので， $x-3$ はこれ以上 $x^2+x+1$ で割れません．

最終的に上に立った $2x-3$ が商で，下に染み出してきた $x-3$ が余りとなります．

筆算の例2

$x^3+2x^2+2x+3$ を $x+1$ で割った商と余りを求めます．

Step.1

$x+1$ に $x^2$ をかければ $x^3+x^2$ となるので， $x^3+2x^2+2x+3$ から引くと $x^2+2x+3$ となります．

$\begin{matrix} &&&x^2&&& \\ \cline{2-6} x+1&\!\!\!\big)&x^3&2x^2&2x&3&\\ &&x^3&x^2&&&\leftarrow&(x+1)\times x^2\\ \cline{2-6} &&&x^2&2x&3& \end{matrix}$

Step.2

$x+1$ に $x$ をかければ $x^2+x$ となるので， $x^2+2x+3$ から引くと $x+3$ となります．

$\begin{matrix} &&&x^2&x&&\\ \cline{2-6} x+1&\!\!\!\big)&x^3&2x^2&2x&3x\\ &&x^3&x^2&&&\leftarrow&(x+1)\times x^2\\ \cline{2-6} &&&x^2&2x&3\\ &&&x^2&x&&\leftarrow&(x+1)\times x\\ \cline{2-6} &&&&x&3& \end{matrix}$

Step.3

$x+1$ に1をかければ $x+1$ となるので， $x+3$ から引くと2となります．

$\begin{matrix} &&&x^2&x&1& \\ \cline{2-6} x+1&\!\!\!\big)&x^3&2x^2&2x&3&\\ &&x^3&x^2&&&\leftarrow&(x+1)\times x^2\\ \cline{2-6} &&&x^2&2x&3&\\ &&&x^2&x&&\leftarrow&(x+1)\times x\\ \cline{2-6} &&&&x&3&\\ &&&&x&1&\leftarrow&(x+1)\times 1\\ \cline{2-6} &&&&&2& \end{matrix}$

下に染み出してきた「2の次数」は「 $x+1$ の次数」より小さいので，2はこれ以上 $x+1$ で割れません．

よって，最終的に上に立った $x^2+x+1$ が商で，下に染み出してきた2が余りとなります．

筆算の例3

$3x^4+x^3-2x^2+x+2$ を $x^2-x+3$ で割った商と余りを求めます．今までのように筆算をすれば，

$\begin{matrix} &&&3x^2&4x&-7&\\ \cline{2-7} x^2-x+3&\!\!\!\big)&3x^4&x^3&-2x^2&x&2\\ &&3x^4&-3x^3&9x^2&&\\ \cline{2-7} &&&4x^3&-11x^2&x&2\\ &&&4x^3&-4x^2&12x&\\ \cline{2-7} &&&&-7x^2&-11x&2\\ &&&&-7x^2&7x&-21\\ \cline{2-7} &&&&&-18x&23 \end{matrix}$

となるので， $3x^2+4x-7$ が商で，下に染み出してきた $-18x+23$ が余りです．

多項式の筆算は当たり前にできるようにしておく．

多項式の割り算の筆算の仕組み

多項式の割り算を筆算を上で説明しましたが，なぜこれで多項式の割り算ができているのか疑問に思う人もいるでしょう．

そこで，この筆算がどのような式変形に対応しているのかをみます．

たとえば，上の「例3」では $3x^4+x^3-2x^2+x+2$ を $x^2-x+3$ で割った商と余りを筆算で求めましたが，この筆算がどのような式変形になっているのかを以下で見比べます．

[筆算]

$\begin{matrix} &&&\underline{3x^2}&\underline{4x}&\underline{-7}&\\ \cline{2-7} x^2-x+3&\!\!\!\big)&3x^4&x^3&-2x^2&x&2\\ &&3x^4&-3x^3&9x^2&&\\ \cline{2-7} &&&4x^3&-11x^2&x&2\\ &&&4x^3&-4x^2&12x&\\ \cline{2-7} &&&&-7x^2&-11x&2\\ &&&&-7x^2&7x&-21\\ \cline{2-7} &&&&&-18x&23 \end{matrix}$

[式変形]

$3x^4+x^3-2x^2+x+2$
$=\underline{3x^2}(x^2-x+3)+4x^3-11x^2+x+2$
$=3x^2(x^2-x+3)+\underline{4x}(x^2-x+3)-7x^2-11x+2$
$=3x^2(x^2-x+3)+4x(x^2-x+3)\underline{-7}(x^2-x+3)-18x+23$
$=(\underline{3x^2+4x-7})(x^2-x+3)-18x+23$