ワンステップ数学５｜微分不可能な例と直感的な理解

関数 $f(x)$ を微分することにより， $xy$ 平面上のグラフ $y=f(x)$ の接線の傾きを考えることができます．

また，これにより，関数 $f(x)$ の増減を考えることもできますね．

このように，「微分法」は関数の性質を調べるために非常な重要な役割を果たしますが，関数はいつでも微分可能であるとは限りません．

「微分可能でないこと」を「微分不可能」と言いますが，高校数学では微分不可能であるような関数を扱うことはあまりありません．

とはいえ，微分可能性の定義を習う以上，微分不可能であるような例も知っておくべきでしょう．

本記事では，微分不可能な関数について考えます．

関数 $f(x)$ に対して， $y=f(x)$ のグラフの接線を求めるには，微分係数を用いることになります．微分係数は極限で定義されますが，その本質は平均変化率の極限です．微分係数の求め方が図形的にイメージできていれば，2度と定義式を忘れることはありません．

【微分法４｜関数の増減を調べる方法，増減表の書き方】

関数 $f(x)$ の概形を調べるためには，関数 $f(x)$ の増減を見るのが最も素朴な方法でしょう．増加していれば右上がりの概形に，減少していれば右下がりの概形になります．関数 $f(x)$ の増減はグラフの接線の傾きを見ることで理解することができ，そのために微分法を用います．

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1 微分可能性の定義と性質
2 微分可能性の例

微分可能性の定義と性質

最初に，[微分可能性]の定義と，[微分可能性と連続性の関係]を述べておきます．

微分可能性の定義

[微分可能性]の定義は次のようになっています．

[微分可能性]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して，極限

$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\bra{=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

が有限の値として存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．

また，微分可能でないとき，微分不可能であるという．

[微分可能性]の定義から分かるように，微分可能性を考えるときには，「どの関数」が「どの点」でという2つが重要です．

また，定義式が $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ と $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ の2つありますが，これらが等しいことについては以下の記事で詳しく解説しています．

【ワンポイント数学５｜２つの微分の定義式】

$x=a$ での関数 $f(x)$ の微分係数を求める際には， $f(x)$ の $x=a$ から少し動かした場合の平均変化率を考えることになります．その際，「 $a$ から $a+h$ までの平均変化率」と考えるか「 $a$ から $b$ までの平均変化率」と考えるかで式の形は少し違ってきます．そのため，微分係数には2つの定義式があります．どちらも本質的には全く同じですが，どちらの形でもしっかり対応できるようになっておくことが大切です．

直感的には，「 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能である」とは，「グラフ $y=f(x)$ は $x=a$ で『接線が引ける』=『なめらか』である」ということを表しています．

このことは，後述の例3と例4で解説しています．

また，前後しますが，極限についても定義を確認しておきます．

[極限]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して，極限 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ が存在するとは，

$x>a$ で $x\to a$ とする右極限 $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$
$x<a$ で $x\to a$ とする左極限 $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)$

が共に存在して一致することをいう．

なお， $a=0$ のときは，右極限を $\lim\limits_{x\to +0}f(x)$ と書き，左極限を $\lim\limits_{x\to -0}f(x)$ と書く．

この「右極限」と「左極限」は数IIでは習いませんが，きっちり極限を考えるときには重要なので，ここで説明しておきました．

連続性の定義

[連続性]の定義について復習しておきます．

[連続性]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して， $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ が存在して $f(a)$ に一致するとき， $f(x)$ は $x=a$ で連続であるという．

また，連続でないとき，不連続であるという．

[連続性]の定義から分かるように，連続性を考えるときには，「どの関数」が「どの点」でという2点が重要です．

直感的には，「 $f(x)$ が $x=a$ が連続である」とは，「グラフ $y=f(x)$ が $x=a$ で『繋がって』いる」ということを表しています．

逆に，「 $f(x)$ が $x=a$ が不連続である」とは，「グラフ $y=f(x)$ が $x=a$ で『切れて』いる」ということになります．

また，「 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ が存在して」いても，それが「 $f(a)$ に一致」していなければ連続ではありません．

このことは，後述の例1と例2で解説しています．

微分可能性と連続性の関係

次の[微分可能性と連続性の関係]は微分可能性の重要な性質です．

[微分可能性と連続性の関係]　関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して， $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であれば， $f(x)$ は $x=a$ で連続である．

「微分可能である」が「なめらかである」ということなら，前提として「グラフは繋がっていなければならない」，すなわち「連続でなければならない」ということは直感的に理解できると思います．

念のため，きっちり[微分可能性と連続性の関係]を証明しておきます．

[証明]

関数 $f(x)$ と実数 $a$ に対して， $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であることから，極限

$\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

が有限の値として存在する．この極限値を $\alpha$ とすると，

$\lim\limits_{b\to a}f(b)-f(a)$
$=\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(b-a)$
$=\alpha\cdot0=0$

が成り立つ．以上より， $f(x)$ が $x=a$ で連続であることが従う．

[証明終]

この証明のイメージは，「 $\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が有限の値で，しかも分母について $\lim\limits_{b\to a}(b-a)=0$ やから，分子も極限とったら0になるしかないな」というところです．

[微分可能性と連続性の関係]の対偶も大切です．つまり，

関数 $f(x)$

と実数 $a$

に対して， $f(x)$

が $x=a$

で不連続であれば， $f(x)$

は $x=a$

で微分不可能である．

なお，[微分可能性と連続性の関係]の逆は成り立たないことに注意してください．

つまり，連続であっても，微分不可能であることはありえます．

微分可能性の例

それでは，いくつか例を考えます．

次の1〜4の関数 $f(x)$ は $x=0$ で微分可能か．

$f(x)=\begin{cases}x&(x<0)\\ x+1&(x\ge0)\end{cases}$
$f(x)=\begin{cases}x&(x\neq0)\\ 1&(x=0)\end{cases}$
$f(x)=|x|$
$f(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\ x^2&(x\ge0)\end{cases}$

例1

関数

$f(x)=\begin{cases}x&(x<0)\\ x-1&(x\ge0)\end{cases}$

について， $xy$ 平面上に $y=f(x)$ のグラフを図示すると，以下のようになります．

図から明らかに $f(x)$ は $x=0$ で不連続なので，[微分可能性と連続性の関係の対偶]から， $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能であることが分かります．

この微分不可能性を定義式から証明すると，以下のようになります．

[解答]

まず， $f(x)$ の右極限は

$\lim\limits_{x\to+0}f(x)=\lim\limits_{x\to+0}(x-1)=-1$

であり，左極限は

$\lim\limits_{x\to-0}f(x)=\lim\limits_{x\to-0}x=0$

だから，右極限と左極限は一致しない．

よって，極限 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ が存在しないから $f(x)$ は $x=0$ で不連続である．したがって， $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能である．

[解答終]

例2

関数

$f(x)=\begin{cases}x&(x\neq0)\\ 1&(x=0)\end{cases}$

について， $xy$ 平面上に $y=f(x)$ のグラフを図示すると，以下のようになります．

例1と同じく，図から明らかに $f(x)$ は $x=0$ で不連続なので， $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能であることが分かりますが，式から証明しておきます．

[解答]

まず， $f(x)$ の右極限は

$\lim\limits_{x\to+0}f(x)=\lim\limits_{x\to+0}x=0$

であり，左極限は

$\lim\limits_{x\to-0}f(x)=\lim\limits_{x\to-0}x=0$

だから，右極限と左極限は一致するので，極限 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ が存在して，0となる．

しかし， $f(0)=1$ だから， $\lim\limits_{x\to0}f(x)\neq f(0)$ となって $f(x)$ は $x=0$ で不連続である．したがって， $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能である．

[解答終]

丁寧に書きましたが，右極限 $\lim\limits_{x\to+0}f(x)$ と $f(0)$ が異なっていれば良いので，

「 $\lim\limits_{x\to+0}f(x)=\lim\limits_{x\to+0}x=0\neq1=f(0)$ だから $f(x)$ は $x=0$ で不連続」

としても立派に不連続性を証明できています．

例3

関数

$f(x)=|x|$

について， $xy$ 平面上に $y=f(x)$ のグラフを図示すると，以下のようになります．

この場合は， $f(x)$ は $x=0$ で連続なので，例1，例2のように「不連続性から微分不可能」とはできません．

しかし，「微分可能である」とは，「なめらかである」ということを表していることに注意すると， $f(x)$ は $x=0$ で「とんがって」いるので，微分不可能なように思えます．

実際， $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能で，このことを式から証明します．

[解答]

まず， $\dfrac{f(b)-f(0)}{b-0}$ の右極限は

$\lim\limits_{b\to+0}\dfrac{f(b)-f(0)}{b-0}$
$=\lim\limits_{b\to+0}\dfrac{|b|-|0|}{b}$
$=\lim\limits_{b\to+0}\dfrac{b}{b}$
$=\lim\limits_{b\to+0}1$
$=1$

であり，左極限は

$\lim\limits_{b\to-0}\dfrac{f(b)-f(0)}{b-0}$
$=\lim\limits_{b\to-0}\dfrac{|b|-|0|}{b}$
$=\lim\limits_{b\to-0}\dfrac{-b}{b}$
$=\lim\limits_{b\to-0}(-1)$
$=-1$

だから，右極限と左極限は一致せず， $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能である．

[解答終]

なお，証明において， $b>0$ なら $|b|=b$ であり， $b<0$ なら $|b|=-b$ であることに注意してください．

【参考記事：ワンポイント数学２｜絶対値の定義から一瞬で解ける問題】

$a$ の絶対値 $|a|$ は， $a\geqq0$ のとき $|a|=a$ , $a<0$ のとき $|a|=-a$ となります．ただ，これは定義ではなく，定義から導かれる性質です．定義のイメージがしっかりあれば，不等式 $|x-3|\leqq5$ や方程式 $|x-2|+|x-4|=5$ はほぼ計算することなく解を求めることができます．

例4

関数

$f(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\ x^2&(x\ge0)\end{cases}$

について， $xy$ 平面上に $y=f(x)$ のグラフを図示すると，以下のようになります．

この場合は， $f(x)$ は $x\ge0$ と $x<0$ では別の関数で表されていますが，「繋ぎ目」の $x=0$ では「なめらかに」繋がっているように見えますね．

実際， $f(x)$ は $x=0$ で微分可能で，このことを式から証明します．

[解答]

まず， $\dfrac{f(b)-f(0)}{b-0}$ の右極限は

$\lim\limits_{b\to+0}\dfrac{f(b)-f(0)}{b-0}$
$=\lim\limits_{b\to+0}\dfrac{b^2-0^2}{b}$
$=\lim\limits_{b\to+0}\dfrac{b^2}{b}$
$=\lim\limits_{b\to+0}b$
$=0$