部分積分を使わずに楽に計算する方法

不定積分$\dint e^x\sin{x}\,dx$や$\dint e^x\sin{x}\cos{x}\,dx$は部分積分を使って計算する方法が教科書にも載っており，よく知られています．

しかし，これらの問題は部分積分を何回も使う必要があり，計算量が多くなりがちでミスしてしまうことがよくあります．特に，プラスマイナスの符号ミスがよくみられます．

そこで，部分積分を使わない計算量を減らすことができる計算方法を解説します．

方法としては，[積の微分公式]を使うわけですが，部分積分も積の微分公式も本質的には同じなのです．しかし，この記事で解説する[積の微分公式]による計算の方が見通しよく計算できます．

少し慣れが必要な方法なので無理に使う必要はありませんが，使える人は是非身に付けてください．

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部分積分の公式と積の微分公式

まず，[部分積分の公式]は次の通りです．

[部分積分の公式]　微分可能な関数$f(x)$, $g(x)$に対して，

$\begin{align*} \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx \end{align*}$

が成り立つ．ただし，$’$は微分を表す．

この[部分積分の公式]は，次のように導出されます．[積の微分公式]より，

$\begin{align*} &(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\\iff&f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x) \end{align*}$

なので，両辺$x$に関して積分して

$\begin{align*} \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx \end{align*}$

が成り立ちます．なお，ここで導関数を積分すると元に戻ることを使っています．

さて，この[部分積分の公式]の導出で大切なことは，[積の微分公式]から導出できるということです．

したがって，[部分積分の公式]を用いて計算できる積分は，[積の微分公式]を使っても計算できるということになります．

ポイントとしては，[積の微分公式]$(f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$の$f'(x)g(x)$の部分が，計算したい積分$\dint f'(x)g(x)\,dx$になって欲しいというところです．

これについては，この後で説明する例を実際に見てコツを掴んでください．

[部分積分の公式]は[積の微分公式]から導出できるので，[部分積分の公式]を使って計算できる積分は[積の微分公式]を使って計算できる．

積の微分公式による積分

それでは，実際に以下の不定積分を[部分積分の公式]を使わずに，[積の微分公式]から計算します．

次の不定積分を求めよ．

$\begin{align*} &(1)\quad\int xe^x\,dx, \\&(2)\quad\int e^x\sin{x}\,dx, \\&(3)\quad\int e^x\sin{x}\cos{x}\,dx \end{align*}$

例１

不定積分$\dint xe^x\,dx$を計算します．

[積の微分公式]で$(f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$の$f'(x)g(x)$の部分が，計算したい積分$\dint f'(x)g(x)\,dx$になるので，$f'(x)g(x)=xe^x$となるように$f(x)$と$g(x)$を考えるわけです．

つまり，「何を微分すれば$xe^x$が出てくるのか」と考えるわけです．

そう考えると$f(x)=e^{x}$, $g(x)=x$とすれば，$f'(x)=e^x$ですから$f'(x)g(x)=xe^{x}$となって良さそうな気がしますね．

実際に微分して整理すると

$\begin{align*} \bra{xe^{x}}'=xe^{x}+e^{x} \iff xe^{x}=\bra{xe^{x}}'-e^{x} \end{align*}$

なので，この両辺を$x$で積分して

$\begin{align*} \int xe^{x}\,dx=xe^{x}-e^{x}+C \end{align*}$

と計算されます($C$は積分定数)．

念のため検算しましょう．

$xe^{x}$を積分して$xe^{x}-e^{x}+C$になったので，$xe^{x}-e^{x}+C$を微分して$xe^{x}$となれば正しく積分できていることになります．

$\begin{align*} \bra{xe^{x}-e^{x}+C}' =&\bra{e^{x}+xe^{x}}-e^{x} \\=&xe^{x} \end{align*}$

ですから，正しく積分できていることが分かりました．

ポイントですが，$f'(x)g(x)=xe^x$となるように$f(x)$と$g(x)$を選ぶわけですが，$f(x)=e^{x}$ととれば微分しても$f'(x)=e^{x}$と変わりません．

したがって，$e^{x}$を含んだ積分では$f(x)=e^{x}$と考えることでうまくいくことが多いのです．

[部分積分の公式]を使って積分するなら，

$\begin{align*} \int xe^x\,dx =&\int x\bra{e^x}'\,dx \\=&xe^{x}-\int(x)'e^{x}\,dx \\=&xe^{x}-e^{x}+C \end{align*}$

とすることになるわけですが，最初の等号で$e^{x}$を微分$\bra{e^{x}}$と見ていることから，本質的には結局同じことをしているのが分かりますね．

例２

不定積分$\dint e^x\sin{x}\,dx$を計算します．

この問題では，「何を微分すれば$e^x\sin{x}$が出てくるのか」と考えれば良いですね．具体的には，$e^{x}\sin{x}$を微分すると$e^{x}$の方を微分した$e^{x}\sin{x}$が出てきますね．

実際に微分すると，

$\begin{align*} \bra{e^{x}\sin{x}}'=e^{x}\sin{x}+e^{x}\cos{x}\quad(1) \end{align*}$

となり，少し困りました．

両辺を$x$で積分すると$\dint e^{x}\cos{x}\,dx$という今は出てきて欲しくないものが出てきそうです．

例１では$\dint e^{x}$だったので積分できましたが，$\dint e^{x}\cos{x}\,dx$はすぐに計算はできません．

この解決法として，微分して$e^{x}\cos{x}$が出てくるものを考えます．$e^{x}\cos{x}$を微分すると$e^{x}\cos{x}$が出てきますね．つまり，

$\begin{align*} \bra{e^{x}\cos{x}}'=e^{x}\cos{x}-e^{x}\sin{x}\quad(2) \end{align*}$

です．ここで，$(1)-(2)$を考えれば，$e^{x}\cos{x}$が消えてくれそうですね．実際，$(1)-(2)$は

$\begin{align*} \bra{e^{x}\sin{x}-e^{x}\cos{x}}'=2e^{x}\sin{x} \end{align*}$

となります．ここで，微分はまとめられることに注意してください．この両辺を$x$で積分すると，

$\begin{align*} e^{x}\bra{\sin{x}-\cos{x}}=2\int e^{x}\sin{x}\,dx \end{align*}$

となります．よって，両辺2で割って，

$\begin{align*} \int e^{x}\sin{x}\,dx=\dfrac{1}{2}e^{x}(\sin{x}-\cos{x}) \end{align*}$

となって，不定積分$\dint e^{x}\sin{x}\,dx$が得られました．

実は，[部分積分の公式]で$\dint e^{x}\sin{x}\,dx$を計算しようとすると，[部分積分の公式]を2回使う必要があります．そう考えると，(1)と(2)で[積の微分公式]を2回使ったことも納得できますね．

[部分積分の公式]を使う計算と見比べて納得してください．

例３

不定積分$\dint e^x\sin{x}\cos{x}\,dx$を計算します．

この問題では，「何を微分すれば$e^x\sin{x}\cos{x}$が出てくるのか」と考えれば良いですね．

具体的には，$e^{x}\sin{x}\cos{x}$を微分すると，

$\begin{align*} \bra{e^{x}\sin{x}\cos{x}}'=e^{x}\sin{x}\cos{x}+e^{x}\cos^{2}{x}-e^{x}\sin^{2}{x}\quad(1) \end{align*}$

となります．

さて，ここで両辺を$x$で積分すると出てきて欲しくない$\dint e^{x}\cos^{2}{x}\,dx$と$\dint e^{x}\sin^{2}{x}\,dx$が出てきますね．そこで，

$\begin{align*} &\bra{e^{x}\cos^{2}{x}}'=e^{x}\cos^{2}{x}-2e^{x}\sin{x}\cos{x}\quad(2) \\&\bra{e^{x}\sin^{2}{x}}'=e^{x}\sin^{2}{x}+2e^{x}\sin{x}\cos{x}\quad(3) \end{align*}$

となります．ここで，$(1)-(2)+(3)$を考えれば，$e^{x}\cos^{2}{x}$, $e^{x}\sin^{2}{x}$が消えてくれそうですね．実際，$(1)-(2)+(3)$は

$\begin{align*} \bra{e^{x}\sin{x}\cos{x}-e^{x}\cos^{2}{x}+e^{x}\sin^{2}{x}}'=5e^{x}\sin{x}\cos{x} \end{align*}$

となります．この両辺を$x$で積分し，5で割って，

$\begin{align*} \dint e^{x}\sin{x}\cos{x}\,dx=\frac{1}{5}e^{x}(\sin{x}\cos{x}-\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}) \end{align*}$

となって，不定積分$\dint e^{x}\sin{x}\cos{x}\,dx$が得られました．

[積の微分公式]を3回使ったことからもわかるように，[部分積分の公式]で$\dint e^{x}\sin{x}\cos{x}\,dx$を計算しようとすると，[部分積分の公式]を3回使う必要があります．

例２でもそうでしたが，そう考えると[積の微分公式]と[積の微分公式]が対応している実感がありますね．

[部分積分の公式]を使う計算と見比べて納得してください．

[積の微分公式]を使って積分計算をするときには，「何を微分すれば，欲しい被積分関数が現れるのか」を考える．

解説動画

部分積分の公式 と 積の微分公式

積の微分公式による積分

例１

例２

例３

部分積分の公式と積の微分公式