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ワンステップ数学1|「2直線の交点」の3パターンの解法

図の$\Ve{AF}$を$\Ve{AB}$と$\Ve{AC}$を用いて表すのは,ベクトルの基本問題としてよく出題されます.

当然,ベクトルの分野に書かれている問題ですから,「ベクトルを用いた基本解法」を知っておくことは大切です.

ただ,この問題はベクトルを用いない便利な方法で解くこともできます.

この記事では

  • ベクトルを用いた基本解法
  • メネラウスの定理を用いた解法
  • 面積比を用いた解法

を紹介します.

ベクトルができないから便利な解法でカバーするのではなく,ベクトルを用いた解法をいつでも使えるようにしておき,その上で便利な解法を身につけてください.

とくに3つ目の「面積比を用いた解法」はとても速く解けるのでオススメです.

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3パターンの解法

上にも書いたように,次の問題を考えます.

$\tri{ABC}$において,辺ABの中点をD,辺ACを$2:1$に内分する点をEとし,線分BE,CDの交点をFとする.このとき,$\Ve{AF}$を$\Ve{AB}$と$\Ve{AC}$を用いて表せ.

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この問題の解答として,次の3パターンのものが考えられます.

  1. ベクトルを用いた基本解法
  2. メネラウスの定理を用いた解法
  3. 面積比を用いた解法

1の「ベクトルを用いた基本解法」は教科書にも載っている方法ですが,分数係数の連立方程式が現れるので計算が面倒で嫌いな人も多いようです.

一方,2の「メネラウスの定理を用いた解法」,3の「面積比を用いた解法」はどちらもほとんど面倒な計算が必要なく,とても便利な解法です.

ベクトルを用いた基本解法

まずはベクトルを用いた解法です.

この解法は教科書にも載っているので,知っている人も多いでしょう.逆に知らない人はこの機会にしっかり押さえておいてください.

一次独立

この解法で大切なことは[一次独立]です.

2つのベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$が

  1. $\ve{a}\neq\ve{0}$, $\ve{b}\neq\ve{0}$
  2. $\ve{a}$と$\ve{b}$は平行でない

を満たすとき,$\ve{a}$, $\ve{b}$は一次独立であるという.

言葉で言えば,2つのベクトルが零ベクトルでなく,平行でもないとき一次独立というわけですね.

この一次独立について,以下の定理が成り立ちます.

2つのベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$が一次独立であり,

\begin{align*} A\ve{a}+B\ve{b}=A'\ve{a}+B'\ve{b} \end{align*}

が成り立つとき,$A=A’$かつ$B=B’$が成り立つ.

言葉で言えば,一次独立な$\ve{a}$, $\ve{b}$で表された2つのベクトルが等しいとき,$\ve{a}$, $\ve{b}$の係数は等しいというわけですね.

もし$\ve{a}$, $\ve{b}$が一次独立でなければ,$A\ve{a}+B\ve{b}=A’\ve{a}+B’\ve{b}$が成り立っていても,係数が一致するとは限りません.

答案の中でベクトルの係数比較をする際には,必ず「一次独立」という言葉を明記しておいてください.

解答

それでは「ベクトルを用いた基本解法」による解答です.

$\mrm{CF}:\mrm{FD}=(1-t):t$, $\mrm{BF}:\mrm{FE}=(1-s):s$とおく.

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このとき,$\Ve{AD}=\dfrac{1}{2}\Ve{AB}$を用いると,$\Ve{AD}$と$\Ve{AC}$による内分公式から

\begin{align*} \Ve{AF} =&\frac{(1-t)\Ve{AD}+t\Ve{AC}}{(1-t)+t} \\=&\frac{1-t}{2}\Ve{AB}+t\Ve{AC} \end{align*}

である.同様に,$\Ve{AE}=\dfrac{2}{3}\Ve{AC}$を用いると,$\Ve{AB}$と$\Ve{AE}$による内分公式から

\begin{align*} \Ve{AF} =&\frac{(1-s)\Ve{AE}+s\Ve{AB}}{(1-s)+s} \\=&s\Ve{AB}+\dfrac{2(1-s)}{3}\Ve{AC} \end{align*}

である.

よって,$\dfrac{1-t}{2}\Ve{AB}+t\Ve{AC}$と$\dfrac{1-s}{2}\Ve{AB}+s\Ve{AC}$は,どちらも$\Ve{AF}$を表しているので等しい.すなわち,

\begin{align*} \dfrac{1-t}{2}\Ve{AB}+t\Ve{AC}=s\Ve{AB}+\dfrac{2(1-s)}{3}\Ve{AC} \end{align*}

が成り立つ.

いま,$\Ve{AB}$, $\Ve{AC}$は一次独立だから,両辺の$\Ve{AB}$の係数と$\Ve{AC}$の係数が一致するので,

\begin{align*} \begin{cases} \dfrac{1-t}{2}=s\\ t=\dfrac{2(1-s)}{3} \end{cases} \end{align*}

が成り立つ.この$t$, $s$に関する連立方程式を解いて,$t=\dfrac{1}{2}$, $s=\dfrac{1}{4}$が得られる.

よって,$\Ve{AF}=\dfrac{1-t}{2}\Ve{AB}+t\Ve{AC}$に$t=\dfrac{1}{2}$を代入して,

\begin{align*} \Ve{AF}=\dfrac{1}{4}\Ve{AB}+\dfrac{1}{2}\Ve{AC} \end{align*}

となる.

最後に$\Ve{AF}=\dfrac{1-t}{2}\Ve{AB}+t\Ve{AC}$に$t=\dfrac{1}{2}$を代入しましたが,$\Ve{AF}=s\Ve{AB}+\dfrac{2(1-s)}{3}\Ve{AC}$に$s=\dfrac{1}{4}$を代入しても同じ答えが得られます.

また,$\Ve{AB}$, $\Ve{AC}$が一次独立でなければ係数が一致するとは限らないので,途中の「$\Ve{AB}$, $\Ve{AC}$は一次独立」という文言は必ず書くようにしてください.

比を設定して内分公式を用い,一次独立であることから係数を比較する.

メネラウスの定理を用いた解法

次に,メネラウスの定理を用いた解法です.

この解法も有名なので,知っている人も少なくないでしょう.

準備

次の定理をメネラウスの定理といいますね.

[メネラウスの定理] $\tri{ABC}$と直線$\ell$について,$\ell$は$\tri{ABC}$の頂点を通らず,どの辺とも平行でないとする.また,直線AB, BC, CAと直線$\ell$の交点をそれぞれ$\mrm{P}$, $\mrm{Q}$, $\mrm{R}$とする.

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このとき,等式

\begin{align*} \frac{\mrm{PB}}{\mrm{AP}}\cdot\frac{\mrm{QC}}{\mrm{BQ}}\cdot\frac{\mrm{RA}}{\mrm{CR}}=1 \end{align*}

が成り立つ.

[メネラウスの定理]で用意するものは,「直線」と「三角形」の2つです.

答案の中でも,どの直線とどの三角形について[メネラウスの定理]を適用するのかを明記しておくと,スムーズに答案が書けます.

解答

それでは「メネラウスの定理を用いた解法」による解答です.

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$\tri{ABE}$と直線$\mrm{CD}$に関してメネラウスの定理より,

\begin{align*} \frac{\mrm{DB}}{\mrm{AD}}\cdot\frac{\mrm{FE}}{\mrm{BF}}\cdot\frac{\mrm{CA}}{\mrm{EC}}=1 \end{align*}

である.$\dfrac{\mrm{DB}}{\mrm{AD}}=\dfrac{1}{1}$と$\dfrac{\mrm{CA}}{\mrm{EC}}=\dfrac{3}{1}=3$を併せて,

\begin{align*} 1\cdots\dfrac{\mrm{FE}}{\mrm{BF}}\cdot3=1 \end{align*}

だから,$\dfrac{\mrm{FE}}{\mrm{BF}}=\dfrac{1}{3}$となる.よって,点$\mrm{F}$は線分$\mrm{BE}$を$3:1$に内分する.

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$\Ve{AE}=\dfrac{2}{3}\Ve{AC}$を用いると,内分公式から

\begin{align*} \Ve{AF} =&\frac{1\cdot\Ve{AB}+3\cdot\Ve{AE}}{4} \\=&\frac{1}{4}\Ve{AB}+\frac{1}{2}\Ve{AC} \end{align*}

となる.

[解答終]

$\mrm{FE}:\mrm{BF}$が分かれば,内分の公式から$\Ve{AF}$が得られるというアイデアですね.

メネラウスの定理を用いて,交点による内分比を求める.

面積比を用いた解法

最後に,面積比を用いた解法です.

この解答はそれほど知られているわけではありませんが,中学受験ではベクトルもチェバの定理,メネラウスの定理も使えないので,中学受験組はこの面積比を用いた解法を知っている人も多いようです.

辺の比と面積

この解法で大切なことは以下の定理です.

$\tri{ABC}$と,$\tri{ABC}$内部の点$\mrm{P}$を考え,直線$\mrm{CP}$と辺ABの交点を$\mrm{Q}$とする.

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このとき,2つの等式

\begin{align*} \mrm{CQ}:\mrm{PQ} =&\tri{ABC}:\tri{ABP}, \\\mrm{AQ}:\mrm{QB} =&\tri{APQ}:\tri{BPQ} \\=&\tri{ACQ}:\tri{BCQ} \\=&\tri{ACP}:\tri{BCP} \end{align*}

が成り立つ.

基本的ですが,辺の比と面積を結びつける強力な定理ですね.

解答

それでは「面積比を用いた解法」による解答です.

直線AFと直線BCの交点をGとする.

$\mrm{AE}:\mrm{EC}=2:1$と$\mrm{AD}:\mrm{DB}=1:1$から,それぞれ面積比$\tri{BFA}:\tri{BFC}=2:1$と$\tri{CFA}:\tri{CFB}=1:1$を得る.

よって,$\tri{BFA}:\tri{BFC}:\tri{CFA}=2:1:1$である.

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これより,$\tri{ABC}:\tri{FBC}=4:1$なので,$\mrm{AG}:\mrm{FG}=4:1$である.

また,$\tri{BFA}:\tri{CFA}=2:1$なので,$\mrm{BG}:\mrm{GC}=2:1$だから内分公式から$\Ve{AG}=\dfrac{\Ve{AB}+2\Ve{AC}}{3}$である.

よって,

\begin{align*} \Ve{AF} =&\frac{\mrm{AF}}{\mrm{AG}}\Ve{AG} \\=&\frac{3}{4}\Ve{AG} \\=&\frac{1}{4}\Ve{AB}+\frac{1}{2}\Ve{AC} \end{align*}

となる.

$\Ve{AF}=\dfrac{\mrm{AF}}{\mrm{AG}}\Ve{AG}$なので,$\dfrac{\mrm{AF}}{\mrm{AG}}$を求め,$\Ve{AG}$を$\Ve{AD}$と$\Ve{AC}$で表すことができれば,$\Ve{AF}$が得られるというアイデアですね.

辺の比を使って面積比を出し,その面積比から辺の比を出す.辺の比と面積比の関係を意識する.

最後までありがとうございました!

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