この記事では，“小数第1位以下で無限に9が続く数0.999……”と”1″が等しいのかどうかを考えます．
これを初めて聞いた人は
「いやいや，どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ，分からぬ……」
と様々な考えが浮かぶと思いますが，実は$1=0.999\dots$が正しいことが分かります．
「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんね．
詳しくは「無限級数」の知識を使うことで$1=0.999\dots$が導けるのですが，途中まではなんとなくこの等式が成り立ちそうだと思ってもらえるように説明しています．
是非この記事を読んで「なるほど」と思ってください．
怪しい説明
まずは怪しい説明ですが，「成り立ちそう」ということを実感してもらうために１つ書いてみます．
[怪しい説明]
例えば，
$1-0.9=0.1$，
$1-0.99=0.01$，
$1-0.999=0.001$
である．同様に，小数第$n$位まで9が続く実数$0.999\dots9$と1の差は
$1-0.999\dots9=0.00\dots01$
と$0.00\dots01$は小数第$n$位に初めて1が現れる．
いま，$0.999\dots$は9が無限に続くので，$1-0.999\dots$は0が無限に続く，つまり0となる．
よって，$1=0.999\dots$である．
[怪しい説明終]
おお！怪しい！ものすごく怪しい！
ですが，$1=0.999\dots$が正しいと主張する気持ちは分かって頂けたのではないかと思います．
それっぽい説明
次に，「それっぽいけど，なんとなく怪しい説明」を２つします．
それっぽい説明1
[それっぽい説明]
$\dfrac{1}{3}=0.333\dots$である．
左辺を3倍すると$3\times\dfrac{1}{3}=1$であり，右辺を3倍すると$3\times0.333\dots=0.999\dots$である．
よって，$1=0.999\dots$を得る．
[それっぽい説明終]
ううむ，それっぽい．しかし，煙に巻かれたような気もします．
なんとなく$3\times0.333\dots=0.999\dots$が怪しいですね．無限小数に3をかけているのが少し気持ち悪い．
そこまで考えると$\dfrac{1}{3}=0.333\dots$が本当に正しいのかも，ちゃんと証明しなければならない気持ちにもなってきます．
同じくつぎの説明も「それっぽい」説明ですが，やはり少し気持ち悪いです．
それっぽい説明2
[それっぽい説明]
$x=0.999\dots$とおく．
両辺を10倍すると$10x=9.999\dots$である．これから$x=0.999\dots$を引くと，
$\begin{matrix}&10x&=&9.999\dots\\-)&x&=&0.999\dots\\\hline&10x-x&=&9\end{matrix}$
と分かる．
こうして得られた方程式$10x-x=9$を解くと$x=1$となる．もとより$x=0.999\dots$だったので，$1=0.999\dots$を得る．
[それっぽい説明終]
ううむ，これもそれっぽいですが，やはり煙に巻かれた感がありますね．
その原因はやはり無限小数を10倍していたり，無限小数から無限小数を引いているあたりでしょう．
しかし，「それっぽい説明1」よりは，少し数学的になった気はします．
無限級数による説明
さて，ここからがやっと数学の話になってきます．上で話をしていて，”$\dots$”が何やら曲者で
「そもそも”$0.999\dots$”の”$\dots$”ってなんやねん！」
という気になってきたと思います．なってきたことにしてください．
では，数学的に”$0.999\dots$”がどういうことなのかを説明します．
ここで，一番最初にした「怪しい説明」が生きてきます．
たとえば，$0.1=10^{-1}$, $0.01=10^{-2}$, $0.001=10^{-3}$のように，$0.000\dots01$と$n$個並ぶものは$10^{-n}$と表せることを思い出してください．
これを使って$0.9$, $0.99$, $0.999$を各桁について数を分解すると，
$0.9=9\times10^{-1}$，
$0.99=9\times10^{-1}+9\times10^{-2}$，
$0.999=9\times10^{-1}+9\times10^{-2}+9\times10^{-3}$
となります．これは
$0.9=\displaystyle\sum_{k=1}^{1}9\times10^{-k}$，
$0.99=\displaystyle\sum_{k=1}^{2}9\times10^{-k}$，
$0.999=\displaystyle\sum_{k=1}^{3}9\times10^{-k}$
と表せますね．
これをずっと続けていくと，
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}9\times10^{-k}=0.999\dots9$
となります．これは等比数列の無限級数
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}$
の部分和です．どうでしょう，見えてきましたか？
無限小数とは
ここで，「なんだか$0.999\dots$は無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}$に等しそうだなあ」という気持ちになります．
0.999……の定義
しかし，この書き方だと「$0.999\dots$があって，それが$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}$に等しい」ということですが，まだ無限小数$0.999\dots$をきちんと定義していないので，なんとも言えません．
では，どうするか．
実は「$0.999\dots$を$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}$で定義」してしまうのです．
無限級数は数学IIIの範囲ですが，数学IIIを履修していなくてもこのずっと続く気持ちは理解して頂けると思います．
小学生では，「$0.333\dots$ってずっと続く小数は無限小数って言うんやで！」と習いますが，本当は数IIIで無限級数を習って初めて厳密に定義できるのです．
さて，$0.999\dots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}$で定義したわけですが，右辺は無限等比級数ですから計算ができますね．
なお，無限等比級数については【無限級数３｜無限等比級数の収束条件】で説明していますから，参考にして下さい．
いま，数列$\{a_n\}$は一般項が$a_n=9\times10^{-n}$の等比数列で，この初項は$a_1=0.9$で公比$r=10^{-1}$は$-1<r<1$をみたすので，無限等比級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}$は
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}=\dfrac{0.9}{1-10^{-1}}=\dfrac{0.9}{1-0.1}=\dfrac{0.9}{0.9}=1$
と計算されます！
おお！たしかに$1=0.999\dots$となりましたね！
無限小数の定義
一般にの無限小数は次のように定義できます．
各項が0から9までのいずれかの整数をとる数列を$\{a_n\}$とする．このとき，無限級数
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\times10^{-k}$
で定まる実数を$0.a_1a_2a_3\dots$と表す．
任意の正の整数$n$に対して，$a_n’\neq0$となるような$n$より大きい整数$n’$が存在するとき，$0.a_1a_2a_3\dots$を無限小数という．
後半の「$a_n’\neq0$となるような$n$より大きい整数$n’$が存在する」とは，「どこまでいっても0がずっと続かず，必ず0以外の数字が出てくる」ということを言っています．
0がずっと続けば，それは有限小数ですからね．
いままで何気なく使ってきた「無限小数」が，実は「無限級数」で定義されるということが理解できたでしょうか？