ワンステップ数学４｜1と0.999……は本当に等しいのか

この記事では，“小数第1位以下で無限に9が続く数0.999……”と”1″が等しいのかどうかを考えます．

これを初めて聞いた人は「いやいや，どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ，分からぬ……」と様々な考えが浮かぶと思います．

「無限級数」の知識がなければ”“の”“の意味が曖昧なので，手放しで正しいとは言い難いのですが，実は”“は正しいです．

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんが，この記事を読んで「なるほど」と思ってもらいたいと思います．

途中からは「無限級数」の知識が必要になりますが，そこまでの話まででも雰囲気は掴んでもらえると思います．

怪しい説明

まずは怪しい説明ですが，「成り立ちそう」ということを実感してもらうために1つ書いてみます．

[怪しい説明]

例えば，

である．同様に，と小数第位までが続いたとすると，この時のからの差は

とは小数第位に初めて1が現れる．

いま，はが無限に続くので，はが無限に続く，つまりとなる．

よって，である．

[怪しい説明終]

おお！怪しい！ものすごく怪しい！

ですが，が正しいと主張する気持ちは分かって頂けたのではないかと思います．

それっぽい説明

次に，「それっぽいけど，なんとなく怪しい説明」を2つします．

それっぽい説明1

[それっぽい説明]

である．

左辺を倍するとであり，右辺を倍するとである．

よって，を得る．

[それっぽい説明終]

ううむ，それっぽい．しかし，煙に巻かれたような気もします．

なんとなくが怪しいですね．無限小数に3をかけているのが少し気持ち悪い．

そこまで考えるとが本当に正しいのかも，ちゃんと証明しなければならない気持ちにもなってきます．

同じくつぎの説明も「それっぽい」説明ですが，やはり少し気持ち悪いです．

それっぽい説明2

[それっぽい説明]

とおく．

両辺を倍するとである．これからを引くと，

と分かる．

こうして得られた方程式を解くととなる．もとよりだったので，を得る．

[それっぽい説明終]

ううむ，これもそれっぽいですが，やはり煙に巻かれた感がありますね．

その原因はやはり無限小数を10倍していたり，無限小数から無限小数を引いているあたりでしょう．

しかし，「それっぽい説明1」よりは，少し数学的になった気はします．

無限級数による説明

さて，ここからがやっと数学の話になってきます．上で話をしていて，”“が何やら曲者で

「そもそも”“の”“ってなんやねん！」

という気になってきたと思います．なってきたことにしてください．

では，数学的に”“がどういうことなのかを説明します．

ここで，一番最初にした「怪しい説明」が生きてきます．

たとえば，，，のように，と個並ぶものはと表せることを思い出してください．

これを使って，，を各桁について数を分解すると，

となります．これは

と表せますね．

これをずっと続けていくと，

となります．これは等比数列の無限級数

の部分和です．どうでしょう，見えてきましたか？

無限小数とは

ここで，「なんだかは無限級数に等しそうだなあ」という気持ちになります．

0.999……の定義

しかし，この書き方だと「があって，それがに等しい」ということですが，まだ無限小数をきちんと定義していないので，なんとも言えません．

では，どうするか．

実は「をで定義」してしまうのです．

小学生では，「ってずっと続く小数は無限小数って言うんやで！」と習いますが，本当は数IIIで無限級数を習って初めて厳密に定義できるのです．

さて，で定義したわけですが，右辺は無限等比級数ですから計算ができますね．

なお，無限等比級数については【無限級数３｜無限等比級数の収束条件】で説明していますから，参考にして下さい．

いま，数列は一般項がの等比数列で，この初項はで公比はをみたすので，無限等比級数は

と計算されます！

おお！たしかにとなりましたね！

無限小数の定義

一般にの無限小数は次のように定義できます．

後半の「となるようなより大きい整数が存在する」とは，「どこまでいっても0がずっと続かず，必ず0以外の数字が出てくる」ということを言っています．

0がずっと続けば，それは有限小数ですからね．

どうでしょうか．いままで何気なく使ってきた「無限小数」が，実は「無限級数」で定義されるということが理解できたでしょうか？