sinθ,cosθ,tanθの超重要な４つの基本関係式

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$に対して，辺の比$\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$, $\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$, $\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}$に

$\begin{align*} \cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}} \end{align*}$

と名前をつけたものが三角比なのでした．

さて，三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$はそれぞれ独立したものではなく，互いに関係性をもっています．

この三角比の間に成り立つ基本の関係式は

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

の４つあり，三角比の計算をする上では非常に重要です．

「三角比」の一連の記事

三角比の関係式
４つの関係式の証明
角度が$(90^\circ-\theta)$の三角比

三角比の関係式

まずはひとつ問題を考えてから三角比の４つの基本関係式を説明します．

具体例

前回の記事の知識で次の問題を解きましょう．

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$ ($0<\theta<90^\circ$)が成り立つとき，$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を求めよ．

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$から下図のような直角三角形が描けることが分かる．

このとき，三平方の定理から

$\begin{align*}\mrm{AB}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}\end{align*}$

となるので

$\begin{align*} &\cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CA}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}, \\&\tan{\theta}=\frac{\mrm{CA}}{\mrm{AB}}=\frac{1}{2\sqrt{2}} \end{align*}$

である．

この問題で大切なことは，$\sin{\theta}$を決めれば直角三角形の辺の比が決まるので，残る２つの三角比$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$も定まるということです．

同様に$\cos{\theta}$または$\tan{\theta}$が与えられている場合にも，残る２つの三角比が求まります．

このことから，三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$にはなんらかの関係があることがみてとれますね．

三角比の４つの基本関係式

しかし，この問題のように三角形を描いて考えるのは面倒なこともあります．

のちの記事で$\theta$が$90^\circ$以上の場合も考えるようになるのですが，そうなるとわざわざ図を描くのは大変です．

そこで，三角比たちの関係について次の公式が成り立ちます．

$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

の４つの関係式が成り立つ．

それぞれを

$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式
$\sin{\theta},\cos{\theta}$の関係式
$\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式
$\sin{\theta},\tan{\theta}$の関係式

とみると，どういう等式か分かりやすいですね．

教科書によって４つ目の関係式が載っていないこともありますが，便利なので知っておいてください．

別解

この公式を用いて先ほどの問題を解いてみましょう．

（再掲）$\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$ ($0<\theta<90^\circ$)が成り立つとき，$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を求めよ．

$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の関係式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$より

$\begin{align*}\cos^2{\theta}+\bra{\frac{1}{3}}^2=1 \iff\cos^2{\theta}=\frac{8}{9}\end{align*}$

が成り立つ．$\cos{\theta}>0$だから$\cos{\theta}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$である．

また，$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$より

$\begin{align*}\tan{\theta}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{align*}$

を得る．

$\tan{\theta}$は$\sin{\theta},\tan{\theta}$の関係式$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$からも求まりますが，上の解答のように三角比が２つ求まっている場合には$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を使う方が楽なことが多いです．

公式を使えば図を描かなくても計算で求まるのがメリットですね．

しかし，あくまで$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$のどれかが決まると直角三角形の辺の比が決まるから，結果として残りの２つの三角比が求まるという意識をもっておくことは大切です．

４つの関係式の証明

それでは４つの基本関係式を定義に従って丁寧に証明しましょう．

[三角比の４つの基本関係式]　$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

の４つの関係式が成り立つ．

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$に対して，

$\begin{align*} \cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}} \end{align*}$

であった．

$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の定義より

$\begin{align*} \tan{\theta}\cos{\theta} =\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\cdot\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}} =\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}} =\sin{\theta} \end{align*}$

だから両辺を$\cos{\theta}$で割って，$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を得る．

また，$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の定義と三平方の定理$\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2=\mrm{CA}^2$を用いると

$\begin{align*} &\begin{aligned}\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta} =&\bra{\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}}^2+\bra{\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}}^2 \\=&\frac{\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2}{\mrm{AC}^2} =\frac{\mrm{AC}^2}{\mrm{AC}^2} =1,\end{aligned} \\&\begin{aligned}1+\tan^{2}{\theta} =&1+\bra{\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}}^2 \\=&\frac{\mrm{AB}^2+\mrm{CB}^2}{\mrm{AB}^2} =\frac{\mrm{CA}^2}{\mrm{AB}^2} =\frac{1}{\cos^2{\theta}},\end{aligned} \\&\begin{aligned}1+\frac{1}{\tan^{2}{\theta}} =&1+\bra{\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CB}}}^2 \\=&\frac{\mrm{CB}^2+\mrm{AB}^2}{\mrm{CB}^2} =\frac{\mrm{CA}^2}{\mrm{CB}^2} =\frac{1}{\sin^2{\theta}}\end{aligned} \end{align*}$

が得られる．

ただ定義に従って$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を辺の比を用いて表し，必要なら三平方の定理を用いて変形しただけですね．

角度が$(90^\circ-\theta)$の三角比

三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$で角度を$90^\circ-\theta$とした$\sin{(90^\circ-\theta)}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}$, $\tan{(90^\circ-\theta)}$はいずれも$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$で表すことができます．

また，これらの公式の証明は非常にシンプルであり，理解できればほとんど当たり前で覚える必要もないことが分かります．

次の記事では，この３つの角度の変換公式を説明します．

「三角比」の一連の記事