sin,cos,tanの４つの相互関係｜使い方を例題から理解する

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の$\tri{ABC}$に対して，辺の比$\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$, $\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$, $\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}$に

$\begin{align*}\cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\end{align*}$

と名前をつけたものが三角比なのでした．

実は三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$はそれぞれ独立したものではなく，互いに関係性をもっています．

この記事では

三角比の４つの相互関係
４つの相互関係の証明

を順に解説します．

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三角比の相互関係
４つの相互関係の証明

三角比の相互関係

まずはひとつ問題を考えてから三角比の４つの相互関係を説明します．

具体例

三角比の定義をもとに次の問題を解きましょう．

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$（$0<\theta<90^\circ$）が成り立つとき，$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を求めよ．

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$から下図のような直角三角形が描けることが分かる．

このとき，三平方の定理から

$\begin{align*}\mrm{AB}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}\end{align*}$

となるので

$\begin{align*}&\cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CA}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}, \\&\tan{\theta}=\frac{\mrm{CA}}{\mrm{AB}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{align*}$

である．

この問題で大切なことは，$\sin{\theta}$を決めれば直角三角形の辺の比が決まるので，残る２つの三角比$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$も定まるということです．

同様に$\cos{\theta}$または$\tan{\theta}$が与えられている場合にも，残る２つの三角比が求まります．

このことから，三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$にはなんらかの関係があることがみてとれますね．

三角比の４つの相互関係

しかし，いつでも三角形を描いて考えるのは面倒です．そのため，もとから三角比たちの関係が分かっていると便利で，それが次の公式です．

［三角比の４つの相互関係］ひとつの内角の大きさが$\theta$の直角三角形について，４つの等式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

が成り立つ．

教科書によって４つ目の関係式が載っていないこともあります．

それぞれを

$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式
$\sin{\theta},\cos{\theta}$の関係式
$\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式
$\sin{\theta},\tan{\theta}$の関係式

とみると，どういう等式か分かりやすいですね．

公式による解答

これらの公式を用いて先ほどの問題を解いてみましょう．

（再掲）$\sin{\theta}=\dfrac{1}{3}$（$0<\theta<90^\circ$）が成り立つとき，$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を求めよ．

$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の関係式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$より

$\begin{align*}\cos^2{\theta}+\bra{\frac{1}{3}}^2=1 \iff\cos^2{\theta}=\frac{8}{9}\end{align*}$

が成り立つ．$\cos{\theta}>0$だから$\cos{\theta}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$である．

また，$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の関係式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$より

$\begin{align*}\tan{\theta}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{align*}$

を得る．

公式を使えば図を描かなくても計算だけで求まるのが嬉しいところです．

ここでは$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$のどれかが決まると直角三角形の辺の比が決まるから，結果として残りの２つの三角比が求まるという意識をもっておくことは大切です．

４つの相互関係の証明

それでは４つの相互関係を定義に従って丁寧に証明しましょう．

［三角比の４つの相互関係］ひとつの内角の大きさが$\theta$の直角三角形について，４つの等式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

が成り立つ．

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$に対して，

$\begin{align*}\cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\end{align*}$

であることは当たり前にしておきましょう．

$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の定義より

$\begin{align*}\tan{\theta}\cos{\theta} =\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\cdot\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}} =\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}} =\sin{\theta}\end{align*}$

だから両辺を$\cos{\theta}$で割って，$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を得る．

また，$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の定義と三平方の定理$\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2=\mrm{CA}^2$を用いると

$\begin{align*}&\begin{aligned}\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta} =&\bra{\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}}^2+\bra{\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}}^2 \\=&\frac{\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2}{\mrm{AC}^2} =\frac{\mrm{AC}^2}{\mrm{AC}^2} =1,\end{aligned} \\&\begin{aligned}1+\tan^{2}{\theta} &=1+\bra{\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}}^2 =&\frac{\mrm{AB}^2+\mrm{CB}^2}{\mrm{AB}^2} \\&=\frac{\mrm{CA}^2}{\mrm{AB}^2} =\frac{1}{\cos^2{\theta}},\end{aligned} \\&\begin{aligned}1+\frac{1}{\tan^{2}{\theta}} &=1+\bra{\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CB}}}^2 =\frac{\mrm{CB}^2+\mrm{AB}^2}{\mrm{CB}^2} \\&=\frac{\mrm{CA}^2}{\mrm{CB}^2} =\frac{1}{\sin^2{\theta}}\end{aligned}\end{align*}$