三角比3
実は当たり前!3つの(90°-θ)型の変換公式

三角比
三角比

次の問題はどのようにすれば解けるでしょうか?

次の式の値を求めよ.

    \begin{align*}\sin{25^{\circ}}-\cos{65^{\circ}}\end{align*}

この問題を解くために重要なのが,角度が$90^\circ-\theta$の三角比$\sin{(90^\circ-\theta)}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}$, $\tan{(90^\circ-\theta)}$です.

実はこれらは角度$\theta$の三角比$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$に書き直すことができます.

例えば,この記事で示すように$\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$が成り立つので,具体的に$\theta=25^\circ$とすると$\cos{65^\circ}=\sin{25^\circ}$が成り立つことが分かります.よって,

    \begin{align*}\sin{25^{\circ}}-\cos{65^{\circ}}=\sin{25^{\circ}}-\sin{25^{\circ}}=0\end{align*}

と値が求まります.

この記事では

  • $(90^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式の考え方
  • $(90^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式の具体例

を順に説明します.

3つの$(90^\circ-\theta)$型の変換公式

前回の記事で説明した有名角の三角比を観察してから,$(90^\circ-\theta)$型の公式を紹介します.

有名角の三角比の復習

有名角の三角比($\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ$の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$)は以下のようになっているのでした.

有名角の三角比
$\theta$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
$\cos{\theta}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$
$\sin{\theta}$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan{\theta}$ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $1$ $\sqrt{3}$

この表を観察すると

  • $\sin{30^\circ}=\cos{60^\circ}$
  • $\sin{45^\circ}=\cos{45^\circ}$
  • $\sin{60^\circ}=\cos{30^\circ}$

が成り立っています.いずれも両辺の角度を足すと$90^\circ$になることから,一般に$\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$が成り立つのではないかと予想できますね.

また,

  • $\tan{30^\circ}=\dfrac{1}{\tan{60^\circ}}$
  • $\tan{45^\circ}=\dfrac{1}{\tan{45^\circ}}$

が成り立っているので,一般に$\tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$が成り立つのではないかと予想できます.

公式と証明

実は今の予想は正しく,次の3つの$(90^{\circ}-\theta)$型の三角比の変換公式が成り立ちます.

$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について,

  • $\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
  • $\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
  • $\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

の3つの関係式が成り立つ.

直角三角形を裏返して回転させれば,これらの公式はすぐに導けます.

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$に対して,

    \begin{align*} \cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\quad\dots(*) \end{align*}

であった.

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このとき,$\ang{C}=90^{\circ}-\theta$だから,直角三角形$\tri{ABC}$を裏返すと下図のようになる.

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このとき,三角比の定義から

    \begin{align*} \cos{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CA}},\quad \tan{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{BA}}{\mrm{CB}}\quad\dots(**) \end{align*}

である.よって,$(*)$と$(**)$から

  • $\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
  • $\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
  • $\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

が成り立つ.

このように,直角三角形を裏返した図を考えるとこの公式は当たり前ですね.

具体例

それでは具体例を考えましょう.

次の式の値を求めよ.

  1. $\sin^2{25^{\circ}}+\sin^2{65^{\circ}}$
  2. $\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\dfrac{1}{\sin{56^{\circ}}\cos{34^{\circ}}}$

この問題のように角度が統一されていない場合に,$(90^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式を用いれば,角度が揃って上手く計算できる場合があります.

(1) $(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

    \begin{align*} \cos{65^{\circ}} =\cos{(90^{\circ}-25^{\circ})} =\sin{25^{\circ}} \end{align*}

なので,関係式$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$と併せて

    \begin{align*} \sin^2{25^{\circ}}+\sin^2{65^{\circ}} =&\sin^2{25^{\circ}}+\cos^2{25^{\circ}} =1 \end{align*}

を得る.

(2) $(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

    \begin{align*} \sin{56^{\circ}} =\sin{(90^{\circ}-56^{\circ})} =\cos{34^{\circ}} \end{align*}

なので,関係式$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$と併せて

    \begin{align*} &\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\dfrac{1}{\sin{56^{\circ}}\cos{34^{\circ}}} \\=&\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\dfrac{1}{\cos^{2}{34^{\circ}}} \\=&\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\bra{\tan^{2}{34^{\circ}}+1} =0 \end{align*}

を得る.

この解答で用いている関係式$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$と$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$については,前回の記事で詳しく説明しています.

いずれの問題も角度を統一することで計算できているという点を意識しましょう.

$\theta$が${90^\circ}$以上の場合の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$

三角比では直角三角形を元にして定義されたため,$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$の角度$\theta$は$0^\circ<\theta<90^\circ$の場合にしか考えることができませんでした.

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しかし,上手く考えることで直角三角形の三角比の定義に反することなく,$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$なる$\theta$に対しても$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$を考えることができます.

次の記事では,より広い角度$\theta$に対して三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考える方法を説明します.

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