三角比３<br>実は当たり前！３つの(90°-θ)型の変換公式

次の問題はどのようにすれば解けるでしょうか？

次の式の値を求めよ．

$\begin{align*}\sin{25^{\circ}}-\cos{65^{\circ}}\end{align*}$

この問題を解くために重要なのが，角度が$90^\circ-\theta$の三角比$\sin{(90^\circ-\theta)}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}$, $\tan{(90^\circ-\theta)}$です．

実はこれらは角度$\theta$の三角比$\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}$に書き直すことができます．

例えば，この記事で示すように$\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$が成り立つので，具体的に$\theta=25^\circ$とすると$\cos{65^\circ}=\sin{25^\circ}$が成り立つことが分かります．よって，

$\begin{align*}\sin{25^{\circ}}-\cos{65^{\circ}}=\sin{25^{\circ}}-\sin{25^{\circ}}=0\end{align*}$

と値が求まります．

この記事では

$(90^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式の考え方
$(90^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式の具体例

を順に説明します．

「三角比」の一連の記事

３つの$(90^\circ-\theta)$型の変換公式
1. 有名角の三角比の復習
2. 公式と証明
具体例
$\theta$が${90^\circ}$以上の場合の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$

３つの$(90^\circ-\theta)$型の変換公式

前回の記事で説明した有名角の三角比を観察してから，$(90^\circ-\theta)$型の公式を紹介します．

有名角の三角比の復習

有名角の三角比（$\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ$の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$）は以下のようになっているのでした．

有名角の三角比
$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\cos{\theta}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\sin{\theta}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan{\theta}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

この表を観察すると

$\sin{30^\circ}=\cos{60^\circ}$
$\sin{45^\circ}=\cos{45^\circ}$
$\sin{60^\circ}=\cos{30^\circ}$

が成り立っています．いずれも両辺の角度を足すと$90^\circ$になることから，一般に$\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$が成り立つのではないかと予想できますね．

また，

$\tan{30^\circ}=\dfrac{1}{\tan{60^\circ}}$
$\tan{45^\circ}=\dfrac{1}{\tan{45^\circ}}$

が成り立っているので，一般に$\tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$が成り立つのではないかと予想できます．

公式と証明

実は今の予想は正しく，次の３つの$(90^{\circ}-\theta)$型の三角比の変換公式が成り立ちます．

$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について，

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

の３つの関係式が成り立つ．

直角三角形を裏返して回転させれば，これらの公式はすぐに導けます．

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$に対して，

$\begin{align*} \cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\quad\dots(*) \end{align*}$

であった．

このとき，$\ang{C}=90^{\circ}-\theta$だから，直角三角形$\tri{ABC}$を裏返すと下図のようになる．

このとき，三角比の定義から

$\begin{align*} \cos{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CA}},\quad \tan{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{BA}}{\mrm{CB}}\quad\dots(**) \end{align*}$

である．よって，$(*)$と$(**)$から

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

が成り立つ．

このように，直角三角形を裏返した図を考えるとこの公式は当たり前ですね．

具体例

それでは具体例を考えましょう．

次の式の値を求めよ．

$\sin^2{25^{\circ}}+\sin^2{65^{\circ}}$
$\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\dfrac{1}{\sin{56^{\circ}}\cos{34^{\circ}}}$

この問題のように角度が統一されていない場合に，$(90^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式を用いれば，角度が揃って上手く計算できる場合があります．

(１)　$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

$\begin{align*} \cos{65^{\circ}} =\cos{(90^{\circ}-25^{\circ})} =\sin{25^{\circ}} \end{align*}$

なので，関係式$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$と併せて

$\begin{align*} \sin^2{25^{\circ}}+\sin^2{65^{\circ}} =&\sin^2{25^{\circ}}+\cos^2{25^{\circ}} =1 \end{align*}$

を得る．

(２)　$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

$\begin{align*} \sin{56^{\circ}} =\sin{(90^{\circ}-56^{\circ})} =\cos{34^{\circ}} \end{align*}$

なので，関係式$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$と併せて

$\begin{align*} &\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\dfrac{1}{\sin{56^{\circ}}\cos{34^{\circ}}} \\=&\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\dfrac{1}{\cos^{2}{34^{\circ}}} \\=&\tan^{2}{34^{\circ}}+1-\bra{\tan^{2}{34^{\circ}}+1} =0 \end{align*}$